专题16 相交线与平行线复习 优等生讲义 (9考点精讲+压轴题+课后巩固)2025-2026学年沪教版（五四制）数学七年级下册

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专题16 相交线与平行线复习 优等生讲义 (9大考点精讲+创新压轴题+课后巩固)思维导图 · 课程内容总览课程目标 · 精准把握学习方向掌握 对顶角、邻补角的概念与性质，能运用其进行角度计算。理解 垂线的定义及性质，会利用垂线段最短解决实际问题。识别 同位角、内错角、同旁内角，并能从复杂图形中准确找出三线八角。掌握 平行公理及推论，灵活运用平行线的判定与性质进行推理和计算。理解 命题的概念，会区分真命题与假命题，能写出一个命题的逆命题。熟练运用 平行线的知识解决几何综合题、实际应用问题(如翻折、旋转、光线折射等)。✨ 核心思想：转化思想 · 模型观念 · 逻辑推理知识梳理 · 核心知识点☆对顶角与邻补角•邻补角： 有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，和为180°。•对顶角： 一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，对顶角相等。*两条直线相交，形成两对对顶角，四对邻补角。☆垂线•垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直。•垂线的性质： ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。•点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度。☆三线八角•同位角： 在截线的同旁，被截线的同一方向（F型）。•内错角： 在截线的两旁，被截线之间（Z型）。•同旁内角： 在截线的同旁，被截线之间（U型）。☆平行线•平行公理： 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。•平行公理的推论： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。•平行线的判定： ①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一条直线的两直线平行；⑤垂直于同一条直线的两直线平行（在同一平面内）。•平行线的性质： ①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。☆命题与证明•命题： 判断一件事情的语句，由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式。•真命题： 正确的命题；假命题： 错误的命题（举反例可说明）。•逆命题： 交换原命题的题设和结论得到的命题。•证明： 根据已知条件，运用定义、定理、公理进行推理的过程。❀相交线与平行线核心知识速查表 核心考点 ·9类题型精讲【考点1】对顶角与邻补角（1-5题）❤ 方法总结•对顶角相等是角度计算的基础，常与邻补角（和为180°）结合使用。•在复杂图形中，先找出对顶角、邻补角关系，再列方程求解。•角平分线、垂直等条件可进一步建立等量关系。 1．（2025春•嘉定区期中）如图，两条直线交于点O，若∠2+∠4＝100°，则∠3的度数为（　　）A．130°B．125°C．120°D．110°【考点】对顶角、邻补角．【分析】根据对顶角相等得∠2＝∠4＝50°，再根据邻补角的和为180°求∠3的度数即可．【解答】解：∵∠2+∠4＝100°，∠2＝∠4，∴∠2＝∠4＝50°，∵∠2+∠3＝180°，∴∠3＝180°﹣∠2＝180°﹣50°＝130°．故选：A．【点评】本题考查了对顶角，邻补角，熟练掌握相关性质是解题的关键．2．（2024春•长宁区期末）下列图中，∠1、∠2是对顶角的是（　　）A．B．C．D．【考点】对顶角、邻补角．【分析】根据对顶角的定义逐项判断即可．【解答】解：由一个公共端点，并且一个角的两边分别与另一个角的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角即为对顶角，则A，B，C中的图形不符合此定义；D中的图形符合此定义；故选：D．【点评】本题考查对顶角的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．3．（2025春•虹口区校级月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC+∠DOE＝45°，则∠COB＝ 　150　 °．【考点】对顶角、邻补角；角的概念；角平分线的定义．【分析】根据角平分线的定义以及邻补角的定义进行计算即可．【解答】解：∵OE平分∠BOD，∠AOC＝∠BOD，∴∠DOE＝∠BOE=12∠AOC，又∵∠AOC+∠DOE＝45°，∴∠AOC=21+2×45°＝30°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝150°．故答案为：150．【点评】本题考查对顶角、邻补角以及角平分线，掌握对顶角、邻补角的定义以及角平分线的定义是正确解答的关键．4．（2025春•普陀区期中）如图，直线a、b所成的夹角跑到画板外面了．已知∠1＝71°，∠2＝78°，则直线a、b的夹角的度数为　31°　 ．【考点】对顶角、邻补角．【分析】根据对顶角相等以及三角形内角和定理进行计算即可．【解答】解：如图，延长a、b相交于点A，在△ABC中，∠ABC＝∠1＝71°，∠ACB＝∠2＝78°，∴∠A＝180°﹣71°﹣78°＝31°，即直线a，直线b的夹角为31°，故答案为：31°．【点评】本题考查对顶角、邻补角，掌握对顶角相等以及三角形内角和定理是正确解答的关键．5．（2025春•闵行区校级月考）如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOE．（1）若∠BOE＝84°，求∠AOC的度数；（2）若∠BOE：∠AOE＝4：5，求∠AOC的度数．【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．【分析】（1）由∠BOE＝84°，OD平分∠BOE，根据对顶角的性质，即可求解．（2）由∠BOE：∠AOE＝4：5，∠DOE+∠COE＝180°，可得∠BOE＝80°，∠BOD＝40°，结合对顶角相等求解即可．【解答】（1）解：∵OD平分∠BOE，∴∠BOD=∠EOD=12∠BOE（角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线），又∵∠BOE＝84°，∴∠BOD=12×84°=42°．又∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC＝42°．（2）∵∠BOE：∠AOE＝4：5，∠BOE+∠AOE＝180°，∴∠BOE=180°×49=80°．∵OD平分∠BOE，∴∠BOD=∠EOD=12∠BOE，∴∠BOD=12×80°=40°，又∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC＝40°．【点评】本题考查了角平分线的定义，邻补角互补，对顶角相等．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．【考点2】垂线（6-14题）❤ 方法总结•垂线的定义：相交成直角⇒∠=90°；反之，∠=90°⇒垂直。•垂线段最短常用于实际最值问题（如跳远成绩、修路最短等）。•点到直线的距离是垂线段长度，注意区分垂线与垂线段。•在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。6．（2025春•长宁区校级期中）立定跳远是常州体育中考项目之一，女生成绩达到或超过1.85m获得满分，达到或超过1.95m获得加分．如图，一女生在起跳线l上的点A处起跳，BC⊥l，垂足为C．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（　　）A．BC可能为1.95mB．BC可能为1.8mC．AB可能为1.85mD．AB可能为1.95m【考点】垂线段最短；垂线．【分析】根据题意和垂线段最短的性质判断即可．【解答】解：∵该女生获得满分但未加分，∴1.85m≤BC＜1.95m，∵AB＞BC，∴AB可能为1.95m，故选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段的性质是关键．7．（2025春•普陀区校级月考）如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE在∠AOD内部，且OE⊥CD于点O．若OA平分∠COE，则∠BOE的度数为（　　）A．125°B．135°C．145°D．155°【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角．【分析】根据垂线的定义得出∠COE＝90°，根据角平分线的定义得出∠AOE的度数，再根据邻补角互补即可求出∠BOE的度数．【解答】解：∵OE⊥CD，∴∠COE＝90°，∵OA平分∠COE，∴∠AOE=12∠COE=45°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣45°＝135°，故选：B．【点评】本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角、邻补角，熟练掌握这些知识点是解题的关键．8．（2025春•闵行区校级月考）已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，射线OF⊥CD于点O，且∠BOF＝40°，则∠COE＝　65°或25°　 ．【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角．【分析】已知∠BOF，根据垂直的定义可求∠BOC，进而求出∠AOC，分两种情况根据角平分线的定义求出∠COE即可．【解答】解：如图，∵∠COF是直角，∠BOF＝40°，∴∠COB＝90°﹣40°＝50°，∴∠AOC＝180°﹣50°＝130°，又∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝∠COE＝65°；∵∠COF是直角，∠BOF＝40°，∴∠COB＝90°+40°＝130°，∴∠AOC＝180°﹣130°＝50°，又∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝∠COE＝25°，综上所述，∠COE的度数为65°或25°．故答案为：65°或25°．【点评】此题主要考查了角平分线的定义，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．9．（2025春•宝山区月考）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O．若∠BOD：∠BOC＝2：7，则∠AOE的度数为 　130°　 ．【考点】垂线；对顶角、邻补角．【分析】先求得∠BOD的度数，再根据对顶角相等得出∠BOD＝∠AOC，根据垂直的定义即可求解．【解答】解：∵∠BOD：∠BOC＝2：7，∠BOD+∠BOC＝180°，∴∠BOD=29×180°=40°，∴∠BOD＝∠AOC＝40°∵EO⊥CD，∴∠EOC＝90°，∴∠AOE＝∠EOC+∠AOC＝90°+40°＝130°，故答案为：130°．【点评】本题考查了对顶角相等，垂直的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．10．（2025春•长宁区校级期中）在平面中，我们称一组平行直线为“平行线族”，对于“平行线族”中的任意两条直线，它们之间的“线距”是指这两条直线之间的垂直距离．已知“平行线族”中有三条直线a、b、c，已知直线a与b的线距为5，直线a与c的线距为2，那么直线b与c的线距是 　3或7　 ．【考点】垂线．【分析】分两种情况进行讨论：当直线c在直线a与b之间时，当直线c在直线a与b外侧时，分别画出图形，求出结果即可．【解答】解：当直线c在直线a与b之间时，如图所示：∵直线a与b的线距为5，直线a与c的线距为2，∴直线b与c的线距为3；当直线c在直线a与b外侧时，如图所示：∵直线a与b的线距为5，直线a与c的线距为2，∴直线b与c的线距为7；故答案为：3或7．【点评】本题主要考查了平行线间的距离，解题的关键是注意进行分类讨论．11．（2025春•闵行区校级月考）如图，AB与CD交于点F，EF⊥CF，垂足为F，若∠AFE＝35°，则∠BFD＝　125°　 ．【考点】垂线．【分析】利用垂直的定义可知∠CEF＝90°，再运用∠BFD＝∠AFC＝∠CEF+∠AFE求解即可．【解答】解：∵AB与CD交于点F，EF⊥CF，∴∠CEF＝90°，∵∠AFE＝35°，∴∠BFD＝∠AFC＝∠CEF+∠AFE＝90°+35°＝125°，故答案为：125°．【点评】本题考查垂直的定义，掌握角的和差关系，对顶角相等等知识是解题的关键．12．（2025春•闵行区校级月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠AOD．（1）若∠BOD＝40°，求∠COF的度数；（2）若∠AOC：∠COE＝2：3，求∠DOF的度数．【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角．【分析】（1）根据角平分线的定义，得出∠AOF＝∠DOF，利用∠COF＝∠COA+∠AOF计算即可得解；（2）根据∠AOC：∠COE＝2：3与∠AOC+∠COE+∠EOB＝180°，求出∠AOC，再利用∠AOF+∠FOD+∠BOD＝180°解答即可．【解答】解：（1）∵OF平分∠AOD，∠BOD＝40°，∴∠AOF＝∠DOF＝（180°﹣40°）÷2＝70°，∵∠COA＝40°，∴∠COF＝∠COA+∠AOF＝40°+70°＝110°；（2）∵∠AOC：∠COE＝2：3，设∠AOC＝x，则∠COE=32x，∵∠AOC+∠COE+∠EOB＝180°，∴x+32x+90°＝180°，解得：x＝36°，∵∠BOD＝∠AOC＝36°，∠AOF＝∠DOF，∠AOF+∠FOD+∠BOD＝180°，∴2∠DOF+36°＝180°，解得：∠DOF＝72°．【点评】本题考查了垂线、角平分线的定义以及对顶角、邻补角，正确找出各个角之间的关系是解答本题的关键．13．（2025秋•徐汇区校级期中）如图，直线AB和CD相交于点O，OE把∠AOC分成两部分，且∠AOE：∠COE＝2：3，OF平分∠BOE．（1）如图1，如果AB⊥CD，求∠BOF的度数；（2）如图2，如果∠BOF＝∠AOC+12°，则∠BOF的度数为　77°　 ．【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角．【分析】（1）求解∠AOC＝∠BOC＝90°，∠AOE=25×90°=36°，∠COE=35×90°=54°，结合角平分线的定义进一步求解即可；（2）设∠AOC＝x°，可得∠AOE=25∠AOC=25x°，∠COE=35∠AOC=35x°，∠BOF=∠EOF=12∠BOE，∠BOF＝∠AOC+12°＝x°+12°，进一步列方程求解即可．【解答】解：（1）由条件可知∠AOC＝∠BOC＝90°，∵∠AOE：∠COE＝2：3，∴∠AOE=25×90°=36°，∠COE=35×90°=54°，∴∠BOE＝90°+54°＝144°，∵OF平分∠BOE，∴∠BOF=12∠BOE=72°．（2）设∠AOC＝x°，则∠AOE=25∠AOC=25x°，∠COE=35∠AOC=35x°，∠BOF=∠EOF=12∠BOE，∵∠BOF＝∠AOC+12°，∴∠BOF＝∠AOC+12°＝x°+12°，∵∠BOE+∠AOE＝180°，∴2(x+12)+25x=180，解得：x＝65，∴∠AOE=25×65°=26°，∴∠BOE＝180°﹣26°＝154°，∴∠BOF=12×154°=77°．【点评】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义．熟练掌握以上知识点是关键．14．（2025春•闵行区校级月考）如图，直线AB、CD交于点O，∠AOC＝120°，射线OE将∠BOC分成两个角，∠BOE＝2∠COE．（1）求∠COE的度数；（2）若OF⊥OE，且射线OF在∠AOC内部，求∠DOF的度数．【考点】垂线；对顶角、邻补角．【分析】（1）根据∠AOC＝120°，得出∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°，根据∠BOE＝2∠COE，∠BOE+∠COE＝60°，求出∠COE＝20°即可；（2）根据垂线定义得出∠EOF＝90°，求出∠COF＝90°﹣∠COE＝70°，根据邻补角求出∠DOF＝180°﹣∠COF＝110°．【解答】解：（1）因为∠AOC＝120°，所以∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°，因为∠BOE＝2∠COE，∠BOE+∠COE＝60°，所以2∠COE+∠COE＝60°，所以∠COE＝20°．（2）因为OE⊥OF，所以∠EOF＝90°，所以∠COF＝90°﹣∠COE＝70°，所以∠DOF＝180°﹣∠COF＝110°．【点评】本题主要考查了垂线定义，邻补角定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握角度间的关系．【考点3】平行公理（15-18题）❤ 方法总结•平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。•平行公理推论：平行于同一条直线的两直线互相平行（传递性）。•同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。•注意“过一点”包含点在直线上和直线外两种情况，只有直线外一点才能作平行线。 15．（2025春•浦东新区校级期中）下列说法中正确的是（　　）A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行B．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段叫做这个点到这条直线的距离D．平面内，如果直线a与b相交，b与c相交，那么a与c相交【考点】平行公理及推论；垂线；点到直线的距离．【分析】根据平行公理及推论，垂线的定义，点到直线的距离的定义逐一判断即可解答．【解答】解：A、平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故不符合题意；B、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故符合题意；C、直线外一点到已知直线引垂线，点和垂足之间的垂线段的长叫做这个点到这条直线的距离，故不符合题意；D、平面内，如果直线a与b相交，b与c相交，那么a与c不一定相交，故不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了平行公理及推论，垂线的定义，点到直线的距离的定义，熟练掌握这些知识点是解题的关键．16．（2025秋•临汾期末）如图是一个可折叠的衣架，AB是水平地面，点A，B，M，N，P在同一平面内．当∠1＝∠2且∠3＝∠4时，可判定点N，P，M在同一条直线上，判定依据是（　　）A．两点确定一条直线B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【考点】平行公理及推论．【分析】根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可．【解答】解：当∠1＝∠2时，PM∥AB；∠3＝∠4时，PN∥AB，根据“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”就可以确定点N，P，M在同一直线上．故选：C．【点评】本题考查了平行公理，理解并熟记平行公理是解题的关键．17．（2025春•冠县校级月考）如果a∥b，b∥c，则a∥c ，因为　平行于同一直线的两条直线平行　 ．【考点】平行公理及推论．【分析】利用平行公理，平行于同一直线的两条直线平行，即可得出答案．【解答】解：如果a∥b，b∥c，则a∥c，因为平行于同一直线的两条直线平行．故答案为：a∥c，平行于同一直线的两条直线平行．【点评】此题主要考查了平行公理及推论，正确掌握相关性质是解题关键．18．（2025春•蒙阴县期末）在相交线与平行线这一章节中我们学习了垂直的定义，仿照垂直的定义方法给出以下新定义：两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是60°，就称这两条直线互为完美交线，交点叫完美点，已知直线AB、CD互为完美交线，O为它们的完美点，OE⊥AB，则∠EOC的度数为　30或150°　 ．【考点】平行线；对顶角、邻补角；垂线．【分析】分当OE在直线AB的上方时及当OE在直线AB的下方时两种情况进行讨论，求得∠EOC的度数．【解答】解：如图所示，当OE在直线AB的上方时，由题意可得：∠BOC＝60°，∵OE⊥AB，∴∠COE＝∠BOE﹣∠BOC＝30°，如图所示，当OE在直线AB的下方时，由题意可得：∠BOC＝60°，∵OE⊥AB，∴∠COE＝∠BOE+∠BOC＝150°，故答案为：30°或150°．【点评】本题考查了垂直定义和邻补角定义，熟练掌握概念是解题的关键．【考点4】同位角、内错角、同旁内角（19-23题）❤ 方法总结•识别三线八角的关键：确定截线和被截线。•同位角：F型；内错角：Z型；同旁内角：U型。•在复杂图形中，通过分离基本图形来识别角的关系。 19．（2025春•静安区校级期中）如图，下列结论中错误的是（　　）A．∠1与∠3是同位角B．∠4与∠5是同旁内角C．∠3与∠6是对顶角D．∠1与∠4是内错角【考点】同位角、内错角、同旁内角；对顶角、邻补角．【分析】根据两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角；据此分别进行分析可得答案．【解答】解：A、∠1与∠3是同位角，正确，A不符合题意；B、∠4与∠5是同旁内角，正确，B不符合题意；C、∠3与∠6是对顶角，正确，C不符合题意；D、∠1与∠4不是内错角，不正确，D符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角和对顶角的定义，掌握同位角，内错角，同旁内角和对顶角的定义是解题的关键．20．（2025春•黄浦区期中）如图，∠1的同位角是（　　）A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5【考点】同位角、内错角、同旁内角．【分析】在两条直线的同一侧，在截线的同一旁，所得的两个角是同位角，根据定义判断．【解答】解：∠1与∠2不是同位角，故A不符合题意；∠1与∠3不是同位角，故B不符合题意；∠1与∠4是同位角，故C符合题意；∠1与∠5不是同位角，故D不符合题意；故选：C．【点评】此题考查了同位角、内错角、同旁内角，正确理解定义及图形特征是解题的关键．21．（2025春•普陀区期中）如图，∠2的对顶角是　∠4　 ，∠3的同位角是　∠A、∠D ．【考点】同位角、内错角、同旁内角；对顶角、邻补角．【分析】根据对顶角、同位角的定义，即可解答．【解答】解：如图，∠2的对顶角是∠4，∠3的同位角是∠A、∠D，故答案为：∠4；∠A、∠D．【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，对顶角、邻补角，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．22．（2025春•杨浦区校级月考）如图，直线b、c被直线a所截，如果∠1＝55°，∠2＝100°，那么∠3与其内错角的角度之和等于 　135°　 ．【考点】同位角、内错角、同旁内角；对顶角、邻补角．【分析】先根据对顶角的性质得∠3＝∠1＝55°，根据邻补角的性质得∠4＝80°，再根据∠3与∠4是内错角，即可得出答案．【解答】解：如图，∵∠1＝55°，∴∠3＝∠1＝55°，∵∠2＝100°，∴∠4＝180°﹣∠2＝80°，∵∠3与∠4是内错角，∴∠3+∠4＝55°+80°＝135°．故答案为：135°．【点评】本题主要考查了对顶角、邻补角的性质和内错角的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行判断．23．（2025春•松江区期末）如图，下列结论：①∠2与∠3是内错角；②∠2 与∠B是同位角；③∠1与∠B是同旁内角，其中正确的有　①②③　 （只填序号）．【考点】同位角、内错角、同旁内角．【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的意义，结合图形逐个判断即可．【解答】解：∠2与∠3是直线AB、直线BC，被直线CD所截的一对内错角，因此①符合题意；∠2与∠B是直线CD、直线BC，被直线AB所截的一对同位角，因此②符合题意；∠1与∠B是直线DC、直线BC，被直线AB所截的一对同旁内角，因此③符合题意．故答案为：①②③．【点评】本题考查同位角、内错角、同旁内角的意义，理清哪两条直线被第三条直线所截，形成的角进行判断是关键．【考点5】平行线的判定（24-30题）❤ 方法总结•根据同位角相等、内错角相等或同旁内角互补判定两直线平行。•注意隐含条件：平行公理推论、垂直同一直线等也是平行判定依据。•证明书写格式：因为∠1=∠2，所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）。 24．（2024春•杨浦区期中）如图所示，在下列四组条件中，不能判定AD∥BC的是（　　）A．∠1＝∠2B．∠3＝∠4C．∠BAD+∠ABC＝180°D．∠BAC＝∠ACD【考点】平行线的判定．【分析】根据平行线的判定方法分别对四个选项进行判断．【解答】解：A、当∠1＝∠2时，AD∥BC，本选项不符合题意；B、当∠3＝∠4时，AD∥BC，本选项不符合题意；C、当∠BAD+∠ABC＝180°时，AD∥BC，本选项不符合题意；D、当∠BAC＝∠ACD时，AB∥CD，本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．25．（2025春•上海校级期中）如图，下列推理中，正确的是（　　）A．如果∠1＝∠3，那么AD∥BCB．如果∠2＝∠4，那么AD∥BCC．如果∠1＝∠3，那么AB∥CDD．如果∠BCD+∠D＝180°，那么AB∥CD【考点】平行线的判定．【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可．【解答】解：A．如果∠1＝∠3，由内错角相等，两直线平行可知，那么AD∥BC，故此选项符合题意；B．如果∠2＝∠4，由内错角相等，两直线平行可知，那么AB∥CD，不能得到AD∥BC，故此选项不符合题意；C．如果∠1＝∠3，由内错角相等，两直线平行可知，那么AD∥BC，不能得到AB∥CD，故此选项不符合题意；D．如果∠BCD+∠D＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可知，那么AD∥BC，不能得到AB∥CD，故此选项不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的判定方法，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．26．（2025春•宝山区校级期末）下列说法中错误的个数是（　　）（1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行（2）不相交的两条直线叫做平行线（3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种（4）相等的角是对顶角A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】平行线的判定；对顶角、邻补角；平行线；平行公理及推论．【分析】（1）根据平行公理判断；（2）根据平行线的定义判断；（3）根据两直线的位置关系判断；（4）根据对顶角的定义判断．【解答】解：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．故说法错误；（2）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．故说法错误；（3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种，故说法正确；（4）相等的角不一定是对顶角，故说法错误．故选：C．【点评】本题考查了平行公理，平行线的判定，对顶角与邻补角，是基础题，熟练掌握定义与性质是解题的关键．27．（2025春•闵行区校级月考）如图，在条件：①∠1＝∠2，②∠3＝∠4，③∠A+∠ABC＝180°，④∠A＝∠5中能判定AB∥DC的条件有　②④　 ．（填序号）【考点】平行线的判定．【分析】利用平行线的判定方法逐一判断即可．【解答】解：①∵∠1＝∠2，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），无法判定AB∥DC，故①选项错误，不符合题意；②∵∠3＝∠4，∴AB∥DC（内错角相等，两直线平行），故②选项正确，符合题意；③∵∠A+∠ABC＝180°，∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行），无法判定AB∥DC，故③选项错误，不符合题意；④∵∠A＝∠5，∴AB∥DC（同位角相等，两直线平行），故④选项正确，符合题意；综上所述，能判定AB∥DC的条件有②④，故答案为：②④．【点评】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．28．（2025春•虹口区校级月考）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，若∠2﹣∠1＝75°，则∠3与∠4的度数和是 　105°　 ．【考点】平行线的判定．【分析】由平行线的性质推出∠4+∠2＝180°，∠1＝∠3，而∠2﹣∠1＝75°，即可得到∠4+∠3＝105°．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠4+∠2＝180°，∴AE∥BF，∴∠1＝∠3，∵∠2﹣∠1＝75°，∴∠2﹣∠3＝75°，∴∠4+∠2﹣（∠2﹣∠3）＝180°﹣75°＝105°，∴∠4+∠3＝105°．故答案为：105°．105°．【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠4+∠2＝180°，∠1＝∠3．29．（2025春•普陀区期中）如图，已知：在△ABC中，AC⊥BC，∠B+∠BCD＝90°，点E、F分别为边AB、AC上的点，且∠AFE＝∠B．求证：EF∥CD．证明：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°（ 　垂直的定义　 ），∴∠ACD+∠BCD＝90°．又∵∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD ＝∠B ．∵∠AFE＝∠B，∴∠AFE＝∠ACD ．∴EF∥CD（ 　同位角相等，两直线平行　 ）．【考点】平行线的判定．【分析】由余角的性质推出∠ACD＝∠B，得到∠AFE＝∠ACD．判定EF∥CD．【解答】证明：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°（垂直的定义），∴∠ACD+∠BCD＝90°，又∵∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵∠AFE＝∠B，∴∠AFE＝∠ACD，∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）．故答案为：垂直的定义；ACD；B；ACD；同位角相等，两直线平行．【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．30．（2025春•金山区期中）科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图（1）所示，图（2）是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图．如图（2），∠EOF+∠OFC＝180°，OE平分∠AOC，CF平分∠OCD．求证：AB∥CD．【考点】平行线的判定．【分析】由同旁内角互补，两直线平行推出OE∥CF，得到∠COE＝∠OCF，由角平分线定义得到∠AOC＝∠OCD，推出AB∥CD．【解答】解：∵∠EOF+∠OFC＝180°，∴OE∥CF，∴∠COE＝∠OCF，∵OE平分∠AOC，CF平分∠OCD，∴∠AOC＝2∠COE，∠OCD＝2∠OCF，∴∠AOC＝∠OCD，∴AB∥CD．【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法：内错角相等，两直线平行．【考点6】平行线的性质（31-39题）❤ 方法总结•两直线平行⇒同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。•常与角平分线、翻折、旋转结合，利用平行线传递角的关系。•构造辅助线（过折点作平行线）是解决“折线”问题的关键。 31．（2025春•长宁区校级期中）如图，木条a、b、c用螺丝固定在木板上且∠ABM＝50°，∠DEM＝70°，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面内的三条直线AC、DF、MN，若使直线AC、直线DF达到平行的位置关系，则下列描述正确的是（　　）A．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20°B．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转20°C．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转20°D．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转50°【考点】平行线的性质．【分析】由同位角相等，两直线平行，即可判断．【解答】解：A、木条b绕点E逆时针旋转20°后，∠DEM变成了70°﹣20°＝50°，得到∠ABE＝∠DEM，判定AC∥DF，故A符合题意；B、木条b绕点E顺时针旋转20°后，∠DEM变成了70°+20°＝90°，因此∠ABE≠∠DEM，不能判定AC∥DF，故B不符合题意；C、木条a绕点B逆时针旋转20°后，∠ABE变成了50°﹣20°＝30°，因此∠ABE≠∠DEM，不能判定AC∥DF，故C不符合题意；D、木条a绕点B顺时针旋转50°后，∠ABE变成了50°+50°＝100°，因此∠ABE≠∠DEM，不能判定AC∥DF，故D不符合题意．故选：A．【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．32．（2025春•普陀区期中）如图，AB∥DE，BC∥EF，那么下列关系不一定成立的是（　　）A．∠3＝∠2+∠4B．∠3＝∠4+∠5C．∠3+∠5﹣∠6＝180°D．∠1+∠5﹣∠6+∠7＝180°【考点】平行线的性质．【分析】这道题是平行线性质的综合应用，核心考察“折线角”（铅笔头、猪蹄模型）的角度转化规律．【解答】解：选项A：∵AB∥DE，BC∥EF，利用平行线的“折线角”模型，可知∠3可拆分为与∠2、∠4相关的角，∴∠3＝∠2+∠4是成立的；选项B：∵BC∥EF，但∠5是DE与EF形成的角，没有直接的平行性质能将∠3、∠4、∠5联系成∠3＝∠4+∠5，∴∠3＝∠4+∠5这个关系不一定成立；选项C：由BC∥EF，可得∠3+∠6的同旁内角为180°，再结合AB∥DE，∠5与相关角的关系，可导出∠3+∠5+∠6＝180°成立；选项D：利用AB∥DE，BC∥EF的平行线性质，将∠1、∠5、∠6、∠7进行交的转化与组合，可推导出∠1+∠5﹣∠6﹣∠7＝180°成立．故选：B．【点评】这道题是平行线性质的综合应用，非常适合考查学生对平行线相关角度转化规律的掌握程度．33．（2025秋•浦东新区期末）如图，从甲楼的一窗口观测点A处测得乙楼的楼顶端B的仰角是37°，那么从乙楼顶端B处看A处的俯角是　37°　 ．【考点】平行线的性质．【分析】作AC⊥BC于点C，BD⊥BC，由平行线的性质得到∠DBA＝∠CAB＝37°，得出答案．【解答】解：如图，作BD⊥BC，AC⊥BC于点C，∴BD∥AC，∴∠DBA＝∠CAB＝37°，∴从甲楼的一窗口观测点A处测得乙楼的楼顶端B的仰角是37°，则从乙楼顶端B处看A处的俯角是37°，故答案为：37°．【点评】本题考查了仰角俯角的定义，平行线的性质，掌握相关知识是解题的关键．34．（2025春•长宁区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，BC＞AC，点D在边BC上，将△ADC沿着AD翻折，点C落在点E处，若DE恰好与△ABC的一条边平行，若∠C＝m°，则∠DAC的度数为 　(35−12m)或(90−12m)　 °．（结果用含m的代数式表示）【考点】平行线的性质；列代数式．【分析】分两种情况DE∥AB时及DE∥AC时，分别画出图形，根据平行线的性质和折叠的性质，求出结果即可．【解答】解：由题知，当DE∥AB时，由折叠可知，∠E＝∠C＝m°．∵AB∥DE，∴∠BAE＝∠E＝m°．∵∠BAC＝70°，∴∠CAE＝（70﹣m）°．由折叠可知，∠DAC=12∠CAE＝（35−12m）°．当DE∥AC时，由折叠可知，∠E＝∠C＝m°．∵DE∥AC，∴∠E+∠EAC＝180°，∴∠EAC＝（180﹣m）°．由折叠可知，∠DAC=12∠EAC＝（90−12m）°，综上所述，∠DAC的度数为（35−12m）°或（90−12m）°．故答案为：（35−12m）或（90−12m）．【点评】本题主要考查了平行线的性质及列代数式，熟知平行线的性质及巧用整体思想是解题的关键．35．（2025春•长宁区校级期中）如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为A、B、G、C、D、E、F，将A、B、G、C、D、E、F顺次首尾连接．若B、G、C三点共线，AF恰好经过点G，且AF∥DE，∠B＝∠BCD+8°，∠D＝110°，则∠B﹣∠CGF＝ 　118°　 ．【考点】平行线的性质．【分析】过点C作CH∥AF，则AF∥DE∥CH，得到∠CGF＝∠GCH，∠D＝∠DCH，进而得出∠BCD＝110°+∠CGF，计算即可得到答案．【解答】解：过点C作CH∥AF，∵AF∥DE，∴AF∥DE∥CH，∴∠CGF＝∠GCH（两直线平行，内错角相等），∠D＝∠DCH（两直线平行，内错角相等），∴∠BCD＝∠DCH+∠GCH＝∠D+∠CGF＝110°+∠CGF，∵∠B＝∠BCD+8°，∴∠B﹣∠CGF＝∠BCD+8°﹣∠CGF＝110°+∠CGF+8°﹣∠CGF＝118°．故答案为：118°．【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．36．（2025春•静安区校级期中）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数为 　160°　 ．【考点】平行线的性质．【分析】过拐点作平行线即可得解（方法提示：平行线之间有几个拐点，就作几条平行线）．【解答】解：如图，过A作直线m平行工作篮，因为工作篮平行支撑平台，所以直线m也与支撑平台平行，所以∠1＝∠5＝30°，∠3+∠4＝180°，因为∠2＝∠4+∠5＝50°所以∠4＝∠5﹣∠2＝20°，所以∠3＝180°﹣∠4＝160°；故答案为：160°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．37．（2025春•普陀区期中）已知：如图，AD∥BE，∠1＝∠2．试说明：∠A＝∠E．【考点】平行线的性质．【分析】先根据∠1＝∠2可得DE∥AC，进而得到∠E＝∠3，再根据AD∥EB可得∠A＝∠3，进而得到∠E＝∠A．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴DE∥AC，∴∠E＝∠3，∵AD∥EB，∴∠A＝∠3，∴∠E＝∠A．【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．38．（2025春•普陀区期中）如图，已知：AB∥DE，CM平分∠BCE，∠MCN＝90°，∠B＝50°，求∠DCN的度数．解：因为AB∥DE，所以∠B+　∠BCE ＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　 ）．因为∠B＝50°，所以∠BCE＝　130　 °．因为CM平分∠BCE，所以　∠ECM =12∠BCE=　65　 °．因为∠ECM+∠MCN+∠NCD＝180°（平角的意义）又因为∠MCN＝90°，所以∠DCN＝　25　 °．【考点】平行线的性质．【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．【解答】解：因为AB∥DE，所以∠B+∠BCE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．因为∠B＝50°，所以∠BCE＝130°．因为CM平分∠BCE，所以∠ECM=12∠BCE=65°．因为∠ECM+∠MCN+∠NCD＝180°（平角的意义）又因为∠MCN＝90°，所以∠DCN＝25°．故答案为：∠BCE；两直线平行，同旁内角互补；130；∠ECM；65；25．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．39．（2025春•闵行区校级月考）“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，将图1抽象成一个数学问题：（1）如图2，若AB∥|CD，∠EAB＝75°，∠ECD＝110°，求∠E的度数．（2）已知AB∥CD，点E为AB，CD之外任意一点．①如图3，探究∠BED与∠B，∠D之间的数量关系，请直接写出结果；②如图4，探究∠CDE与∠B，∠BED之间的数量关系，请直接写出结果．【考点】平行线的性质．【分析】（1）过点E作EF∥CD，则EF∥CD∥AB，根据平行线的性质可知∠FEA＝105°，∠FEC＝70°，进而可求解；（2）①过点E作EF∥CD，则EF∥CD∥AB，根据平行线的性质可得∠B+∠FEB＝180°，∠D+∠FED＝180°，进而得到结果；②过点E作EF∥CD，则EF∥CD∥AB，根据平行线的性质可得∠B＝∠FEB，∠D＝∠FED，进而得到结论．【解答】解：（1）过点E作EF∥CD，∵AB∥CD，∴EF∥CD∥AB，∴∠EAB+∠FEA＝180°，∠ECD+∠FEC＝180°，∵∠EAB＝75°，∠ECD＝110°，∴∠FEA＝180°﹣75°＝105°，∠FEC＝180°﹣110°＝70°，∵∠FEC+∠AEC＝∠FEA，∴∠AEC＝105°﹣70°＝35°；（2）①∠BED＝∠D﹣∠B，过点E作EF∥CD，则EF∥CD∥AB，∴∠B+∠FEB＝∠D+∠FED＝180°，∵∠FEB＝∠BED+∠FED，∴∠B+∠BED+∠FED＝∠D+∠FED，∴∠BED＝∠D﹣∠B；②∠B＝∠BED+∠CDE，过点E作EF∥CD，则EF∥CD∥AB，∴∠B＝∠FEB，∠CDE＝∠FED，∴∠B＝∠BED+∠FED，∴∠B＝∠BED+∠CDE．【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解决此题的关键．【考点7】平行线的判定与性质综合（40-43题）❤ 方法总结•先用判定证明平行，再用性质得出角的关系；或者先用性质得角，再用判定证平行。•需理清已知条件与待证结论之间的逻辑链条，规范书写推理过程。•常与三角形内角和、外角性质、垂直等知识综合。 40．（2025春•浦东新区校级期中）补全下列推理过程：如图，EF⊥BC，AD⊥BC，∠1＝∠2，试说明DG∥BA．解：∵EF⊥BC，AD⊥BC，（已知），∴∠BFE＝90°，∠BDA＝90°（　垂直的定义　 ），∴∠BFE＝∠BDA，∴EF∥AD（　同位角相等，两直线平行　 ）．∴∠2＝∠3（　两直线平行，同位角相等　 ）．∵∠1＝∠2（已知），∴　∠1＝∠3　 （等量代换）．∴DG∥AB（　内错角相等，两直线平行　 ）．【考点】平行线的判定与性质．【分析】根据条件与结论因果关系，平行线的判定和性质直接填写即可得到答案．【解答】解：∵EF⊥BC，AD⊥BC（已知），∴∠BFE＝∠BDA＝90°（垂直的定义），∴EF∥AD（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等），∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠3（等量代换），∴DG∥AB（内错角相等，两直线平行）．故答案为：垂直的定义，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等，∠1＝∠3，内错角相等，两直线平行．【点评】本题考查平行线的判定和性质，关键是相关性质和定理的熟练掌握．41．（2025春•上海校级月考）如图，已知在△ABC中，点D、G分别在边BC、AC上，且∠B＝∠GDC，点F在线段DG的延长线上，点E在边GC上，如果∠1＝∠3，说明AD∥EF的理由．解：∵∠B＝∠GDC（已知），∴AB ∥FD （　同位角相等，两直线平行　 ）．∴∠1＝　∠2　 （　两直线平行，内错角相等　 ）．∵∠1＝∠3（已知），∴∠3＝　∠2　 （等量代换）．∴AD∥EF（　内错角相等，两直线平行　 ）．【考点】平行线的判定与性质．【分析】先得出AB∥FD，由平行线的性质得出∠1＝∠2，结合已知条件可得出∠3＝∠2，进而可得出AD∥EF．【解答】解：∵△ABC中，∠B＝∠GDC，∴AB∥FD（同位角相等，两直线平行），∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），∵∠1＝∠3（已知），∴∠3＝∠2，∴AD∥EF（内错角相等，两直线平行）．故答案为：AB；FD；同位角相等，两直线平行；∠2；两直线平行，内错角相等；∠2，内错角相等，两直线平行．【点评】本题主要考查了平行线的判定以及性质，关键是平行线性质和判定定理的熟练掌握．42．（2025春•闵行区期中）如图，点D、E、H分别在线段AB、BC、AC上，连接DE，过点C画CF交DH的延长线于点F，且满足∠BDE＝∠FCA，若BC∥DF，∠B＝∠F，求证DE∥AC．【考点】平行线的判定与性质．【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求证即可．【解答】证明：∵BC∥DF，∴∠B+∠BDF＝180°，∠F+∠BCF＝180°，∠ACB＝∠AHD，∵∠B＝∠F，∴∠BDF＝∠BCF，∵∠BDE＝∠FCA，∠BDE+∠FDE＝∠BDF，∠FCA+∠ACB＝∠BCF，∴∠FDE＝∠ACB，∴∠FDE＝∠AHD，∴DE∥AC．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．【考点8】命题与证明（44-51题）❤ 方法总结•命题由题设和结论组成，改写为“如果…那么…”形式。•判断真假命题：真命题需证明，假命题只需举反例。•逆命题：交换原命题的条件和结论。•定理都有逆命题，但逆命题不一定为真。 43．（2025秋•松江区期末）已知命题：①腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似；②底边和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似．下列对这两个命题的判断，正确的是（　　）A．①和②都是真命题B．①和②都是假命题C．①是真命题，②是假命题D．①是假命题，②是真命题【考点】命题与定理．【分析】根据等腰三角形的性质、相似三角形的判定定理判断即可．【解答】解：①两个三角形都是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形时，腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似，本小题说法是假命题；②底边和一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似，本小题说法是真命题；故选：D．【点评】本题考查的是命题的真假判断，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．44．（2025秋•浦东新区校级期末）下列命题中，判断错误的是（　　）A．所有定理都有逆命题B．对顶角相等的逆命题是真命题C．两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行D．假命题的逆命题不一定是假命题【考点】命题与定理；对顶角、邻补角；平行线的性质．【分析】根据命题，定理的定义，逆命题的定义一一判断即可．【解答】解：A、所有定理都有逆命题，正确，不符合题意；B、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，原说法错误，符合题意；C、两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行，正确，不符合题意；D、假命题的逆命题不一定是假命题，例如相等的角是对顶角是假命题，而此命题的逆命题是对顶角相等，是真命题，正确，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．45．（2025春•青浦区校级期中）对于命题“如果∠1+∠2＝180°，那么∠1＝∠2”，能说明它是假命题的反例是（　　）A．∠1＝∠2＝90°B．∠1＝60°，∠2＝120°C．∠1＝50°，∠2＝50°D．∠1+∠2＝90°【考点】命题与定理．【分析】要说明命题“如果∠1+∠2＝180°，那么∠1＝∠2”是假命题，需找到满足条件但结论不成立的例子．【解答】解：∠1＝∠2＝90°，和为180°且两角相等，满足命题结论，不能作为反例，不符合题意；∠1＝60°，∠2＝120°，和为180°，但两角不相等，结论不成立，符合题意；∠1＝50°，∠2＝50°，和为100°，不满足条件，无法作为反例，不符合题意；∠1+∠2＝90°，不满足条件，无法作为反例，不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了假命题，熟练掌握假命题是解题的关键．46．（2025春•长宁区校级期中）命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是　假　 ．【考点】命题与定理．【分析】先写出原命题的逆命题，再根据全等三角形的判定定理判断即可．【解答】解：原命题的逆命题为：面积相等的两个三角形是全等三角形，该逆命题为假命题，故答案为：假．【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．47．（2025春•长宁区校级期中）下列说法中，是假命题的是 　①②③　 ．①如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；③过直线外一点P向直线m作垂线段，这条垂线段就是点P到直线的距离；④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．【考点】命题与定理；对顶角、邻补角；垂线；点到直线的距离；同位角、内错角、同旁内角；平行线的性质．【分析】根据平行线的性质，根据点到直线的距离的定义和垂直的性质求解即可．【解答】解：①如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或者互补，原命题是假命题，符合题意；②两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题，符合题意；③过直线外一点P向直线m作垂线段，这条垂线段的长度就是点P到直线的距离，原命题是假命题，符合题意；④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是真命题，不符合题意．故答案为：①②③．【点评】本题主要考查了判断命题真假，点到直线的距离，平行线的性质，垂直的定义，解题的关键是熟练掌握各自的概念和性质．48．（2025秋•浦东新区校级期末）要说明命题“若a2≥4，则a＞2”是假命题，请举出一个反例：a＝　﹣4（答案不唯一）　 ．【考点】命题与定理．【分析】要使得a2≥4成立，则a＜﹣2或a＞2，因此举反例可列举a＜﹣2的数字即可．【解答】解：当a＝﹣4时，a2＝16＞4，但不满足a＞2，故命题“若a2≥4，则a＞2”是假命题，故答案为：﹣4（答案不唯一）．【点评】本题考查的是命题与定理，理解命题的定义，能够根据命题适当的举出反例是解题关键．49．（2025春•上海期末）请写出“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题：　等边三角形的三个角都相等　 ．【考点】命题与定理．【分析】把原命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”的题设与结论进行交换即可．【解答】解：“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题为“等边三角形的三个角都相等”．故答案为等边三角形的三个角都相等．【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．50．（2025春•闵行区校级月考）将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为 　如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等　 ．【考点】命题与定理．【分析】“同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等．据此即可写成所要求的形式．【解答】解：“同角的补角相等”的条件是：两个角是同一个角的补角，结论是：这两个角相等．则将命题“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．【点评】本题考查了命题的叙述，正确分清命题的条件和结论是把命题写成“如果…那么…”的形式的关键．【考点9】创新及压轴题（1-5题）❤ 方法总结•综合应用平行线性质、判定及角平分线、翻折、旋转等知识。•常需添加辅助线（作平行线）构造基本图形。•探究角度关系时，注意整体思想、设元列方程。•动态问题（如三角板旋转）要分类讨论不同位置。1．（2025春•上海校级月考）已知，AB∥CD．（1）如图1，若EF⊥FG垂足为点F，∠FGD＝50°，则∠AEF＝　140　 °．（2）如图2，∠BEF，∠FGD的角平分线交于点H，若∠EFG＝60°，则∠H＝　30　 °．（3）如图2，∠BEF，∠FGD的角平分线交于点H，若∠BEF＝x°，∠DGF＝y°，则∠H＝　12(x+y)　 °．（用x，y的代数式表示）．（4）如图3，在图2的基础上，EP、GP分别平分∠BEH和∠DGH，若∠F＝α，则∠P＝　α4　 °．（用含有α的代数式表示）【考点】平行线的性质；列代数式；垂线．【分析】（1）过点F作FH∥AB，根据平行的性质得到∠EFG＝∠BEF+∠FGD，即可求出答案；（2）过点F作FM∥AB，过点H作HN∥AB，证明∠EFG＝∠BEF+∠FGD，∠H＝∠BEH+∠HGD，得到∠H=12∠EFG，即可得到答案；（3）由（2）得到∠H=∠BEH+∠HGD=12∠BEF+12∠DGF，即可得到答案；（4）由（2）知，∠EHG=12∠EFG=12α，证明∠P=12∠H，即可得到结论．【解答】解：（1）过点F作FH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥FH∥DC，∴∠BEF＝∠EFH，∠HFG＝∠FGD（两直线平行，内错角相等），∵∠EFH+∠HFG＝∠EFG，∴∠BEF+∠FGD＝∠EFG，∵EF⊥FG，∴∠BEF+∠FGD＝90°，∵∠FGD＝50°，∴∠BEF＝40°，∴∠AEF＝180°﹣∠BEF＝180°﹣40°＝140°，故答案为：140；（2）过点F作FM∥AB，过点H作HN∥AB，∵AB∥CD，∴FM∥AB∥CD，HN∥AB∥CD，∴∠BEF＝∠EFM，∠MFG＝∠FGD，∠BEH＝∠EHN，∠NHG＝∠HGD，∵∠EFM+∠MFG＝∠EFG，∠EFG＝60°，∴∠BEF+∠FGD＝60°，∵EH、GH是∠BEF与∠FGD的平分线，∴∠BEH=12∠BEF，∠HGD=12∠FGD（角平分线的性质），∴∠BEH+∠HGD=12(∠BEF+∠FGD)=30°，∵∠EHN+∠MHG＝∠EHG，∴∠EHG＝∠BEH+∠HGD＝30°，故答案为：30°；（3）由（2）知，∵EH、GH是∠BEF与∠FGD的平分线，∴∠BEH=12∠BEF，∠HGD=12∠FGD（角平分线的性质），∴∠BEH+∠HGD=12(∠BEF+∠FGD)=12(x°+y°)，∵HN∥AB∥CD，∴∠BEH＝∠EHM，∠NHG＝∠HGD，∵∠EHN+∠MHG＝∠EHG，∴∠EHG=∠BEH+∠HGD=12(x°+y°)，故答案为：12(x+y)；（4）根据（2）知，∠EHG=12∠EFG=12α，∵EP、GP分别平分∠BEH和∠DGH，∴∠BEP=12∠BEH，∠PGD=12∠HGD，∴∠P=12(∠BEH+∠HGD)=12∠EHG=12⋅12α=14α．故答案为：14α．【点评】本题主要考查平行的性质，列代数式，垂线，熟练掌握平行的性质是解题的关键．2．（2025春•浦东新区校级期中）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知∠MAC＝120°，∠NBE＝60°．（1）已知驱逐舰在AC方向上航行，巡洋舰在BE方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由；（2）已知驱逐舰到达点C后沿C﹣D继续航行，巡洋舰到达点E后沿E﹣F继续航行，且MN∥EF，∠ACD＝140°．若驱逐舰在原航向上向左转动α（0°＜α＜180°）后，才能与巡洋舰航向相同，求α的值．【考点】平行线的性质．【分析】（1）根据平行线的判定证明AC∥BE，利用平行线的定义判断即可；（2）判断出若与巡洋舰航向相同，则EF∥HG，利用平行公理得到HG∥MN，求出∠CHG，即可求出α的值．【解答】解：（1）不会，理由是：∵∠MAC＝120°，∴∠CAN＝60°，∵∠NBE＝60°，∴∠CAN＝∠NBE，∴AC∥BE，∴这两艘舰艇不会相撞；（2）如图，若要驱逐舰与巡洋舰航向相同，则EF∥HG，∵MN∥EF，∴HG∥MN，∴∠CHG+∠CAN+ACD＝360°，∴∠CHG＝160°∴α＝180°﹣∠CHG＝20°．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理，解题的关键是读懂题意，了解实际情景的意义．3．（2025春•长宁区期末）已知点A，B，C，D，E均为定点，直线AB∥CD，点P为射线EA上一个动点（点P不与点A重合），连接PC．（1）如图1，当点P在线段AE上时，若∠A＝30°，∠C＝72°，求∠APC的度数．（2）点M为直线CD下方的动点，连接CM，使得CM平分∠DCP，①如图2，当点P在线段AE上时，连接AM，若AM平分∠BAE，探究∠AMC与∠APC之间的数量关系，并证明；②如图3，当点P在直线CD的下方运动时（点P在射线EA上），射线PN平分∠APC，点K在直线CD的下方，且满足射线CK∥PN，若∠BAE＝34°，请直接写出∠MCK的度数．【考点】平行线的性质．【分析】（1）过点P作PF∥AB，则PF∥CD，两次利用两直线平行，内错角相等即可求解；（2）①过点P作PO∥CD，过点M作MH∥AB，设∠DCM＝∠1＝x，∠BAM＝∠2＝y，可得AB∥OP，CD∥MH，然后根据角的和差关系即可求证；②当点P在线段AE上时，过点P作QR∥AB，而AB∥CD，则CD∥QR，通过平行线的性质即可建立方程进行求解；当点P在线段EA延长线上时，过点P作PQ∥CD，AB∥PQ，设∠APC＝2α，∠MCK＝t，通过平行线的性质和角平分线的意义可建立方程进行求解．【解答】（1）解：过点P作PF∥AB．由题意可得：AB∥CD，∴∠A＝∠APF＝30°，∵PF∥CD，∴∠C＝∠CPF＝70°，∴∠APC＝∠CPF﹣∠APF＝40°；（2）①∠APC＝2∠AMC，设∠DCM＝∠1＝x，∠BAM＝∠2＝y，∵∠DCP＝2∠1＝2x，∵AM平分∠BAE，∴∠BAE＝2∠2＝2y，过点P作PO∥CD，过点M作MH∥AB，∴∠OPC＝∠DCP＝2x，∠3＝∠2＝y，由题意可得：AB∥OP，MH∥CD，∴∠CMH＝∠1＝x，∠APO＝∠BAE＝2y，∴∠APC＝2x﹣2y，∠AMC＝x﹣y，∴∠APC＝2∠AMC；②当点P在线段AE上时，过点P作QR∥AB，而AB∥CD，则QR∥CD，设∠APC＝2α，设∠MCK＝t，∴∠CPN＝α，∴∠PCK＝α，∴∠DCM＝∠PCM＝α+t，∵QR∥CD，∴∠CPQ＝∠DCP＝2α+2t，∵QR∥AB，∴∠BAE＝∠APQ＝34°，∵∠CPQ﹣∠CPA＝∠APQ，∴2α+2t﹣2α＝34°，解得t＝17°；当点P在线段EA延长线上时，过点P作PQ∥CD，则AB∥PQ，设∠APC＝2α，∠MCK＝t，∵∠CPN＝∠APN＝α，∴∠PCK＝180°﹣α，∴∠PCM＝180°﹣α﹣t＝∠DCM，∴∠DCK＝180°﹣α﹣t﹣t＝180°﹣α﹣2t，∵AB∥PQ，∴∠QPA＝∠BAE＝34°，∴∠QAN＝34°﹣α，∴∠CPQ＝2α﹣34°，∵PQ∥CD，∴∠4＝2α﹣34°，∵∠4+∠ACK+∠DCK＝180°，∴2α﹣34°+180°﹣α+180°﹣α﹣2t＝180°，解得t＝73°，综上：∠MCK的度数为17°或73°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，正确添加辅助线是解决本题的关键．4．（2025春•普陀区期中）我们知道，插入水中的筷子，从水面上看，水下部分看上去向上弯折了，这是因为光从水中进入空气时发生了折射现象．如图1，线段AC表示筷子，筷子的底部点A发出的入射光线AO、AP进入空气时发生折射，变为折射光线OE、PF，两条折射光线的反向延长线的交点D即为我们眼睛看到的筷子底部，所以看上去筷子向上弯折即折线CBD了．如图2，已知OM⊥OB，OB∥AH，折射角∠1＝35°，折射光线OE∥AC时，求∠CAH的大小．解：∵OM⊥OB，∴∠MOB＝ 　90　 °，∴∠1+∠EOB＝90°．∵∠1＝35°，∴∠EOB＝ 　55　 °．（完成以下解题过程）【考点】平行线的性质；垂线．【分析】由垂直的定义得∠MOB＝90°，可得∠EOB＝90°﹣∠1＝55°，根据平行线的性质得∠CBG＝∠EOB，∠CBG＝∠CAH，即可求解．【解答】解：∵OM⊥OB，∴∠MOB＝90°，∴∠1+∠EOB＝90°．∵∠1＝35°，∴∠EOB＝55°，∵OB∥AH，OE∥AC，∴∠CBG＝∠CAH，∠CBG＝∠EOB＝55°，∴∠CAH＝55°，故答案为：90，55．【点评】本题考查了垂线，平行线的性质，解题的关键掌握平行线的性质．5．（2025春•普陀区校级月考）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．如图2，固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）．（1）当α为 　15　 度时，AD∥BC，并在图3中画出相应的图形；（2）如图4，在旋转过程中，当0°＜α＜45°时，试探究∠CAD与∠BAE之间的数量关系；（3）若△ADE旋转速度为5°/秒，当它的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值．【考点】平行线的判定与性质．【分析】（1）先根据平行线的性质可求出∠CAD＝∠ACB＝30°，再根据角的和差即可得出α的度数，然后画图即可；（2）画出图形，根据角的和差即可得出结论；（3）分AD∥BC，DE∥AB，DE∥BC，DE∥AC，AE∥BC五种情况，分别利用平行线的性质、角的和差求出旋转角α的度数，从而可求出时间的值．【解答】解：（1）若AD∥BC，则∠CAD＝∠ACB＝30°，∴α＝∠CAE＝∠DAE﹣∠CAD＝45°﹣30°＝15°，故答案为：15；（2）如图，当0°＜α＜45°时，α+∠CAD＝45°，α+∠BAE＝90°，则∠BAE﹣∠CAD＝45°；（3）依题意，分以下五种情况：①当AD∥BC时由（1）知，α＝15°，则t=α5=3（秒），②当DE∥AB时，此时，AD与AC重合则α＝45°，t=a5=9（秒），③当DE∥BC时，此时，AD⊥BC，则α＝90°﹣∠ACB+∠DAE＝90°﹣30°+45°＝105°，t=a5=21（秒），④当DE∥AC时，此时，AD与AB重合，则α＝90°+∠DAE＝90°+45°＝135°，t=α5=27（秒），⑤当AE∥BC时，则∠BAE＝∠ABC＝60°，α＝90°+∠BAE＝90°+60°＝150°，t=α5=30（秒），综上，所有符合要求的t的值为3秒或9秒或21秒或27秒或30秒．【点评】本题考查了图形的旋转、平行线的性质、三角尺中角的和差的计算，解答此题的关键是通过画图，确定旋转后△ADE的位置．随堂检测 · 精选练习•练习1 对顶角、邻补角与角平分线的综合计算。•练习2 角平分线与对顶角、邻补角的计算（同题3实际是重复，视为同类型）。•练习3 平行线性质与方程思想求角度（内错角、同旁内角）。•练习4 北斗七星模型中的角度计算（平行线、三角形内角和、外角性质）。•练习5 角平分线与平行线性质的综合证明（补全推理过程）。 1．（2025春•上海校级期中）如图，直线AB，CD相交于点O．若∠AOD＝120°，∠BOE＝40°，则∠COE的大小为 　80°　 ．【考点】对顶角、邻补角．【分析】先根据对顶角相等可得∠AOD＝∠BOC＝120°，再根据∠BOE＝40°，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：∵直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝120°，∴∠BOC＝∠AOD＝120°，∵∠BOE＝40°，∴∠COE＝∠BOC﹣∠BOE＝80°，故答案为：80°．【点评】本题考查了对顶角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．2．（2025春•虹口区校级月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC+∠DOE＝45°，则∠COB＝ 　150　 °．【考点】对顶角、邻补角；角的概念；角平分线的定义．【分析】根据角平分线的定义以及邻补角的定义进行计算即可．【解答】解：∵OE平分∠BOD，∠AOC＝∠BOD，∴∠DOE＝∠BOE=12∠AOC，又∵∠AOC+∠DOE＝45°，∴∠AOC=21+2×45°＝30°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝150°．故答案为：150．【点评】本题考查对顶角、邻补角以及角平分线，掌握对顶角、邻补角的定义以及角平分线的定义是正确解答的关键．3．（2025春•普陀区期中）如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A＝（4x+30）°，∠ADB＝（x+15）°，那么∠A＝　110°　 ．【考点】平行线的性质．【分析】根据平行线的性质进行计算即可．【解答】解：由题知，∵AD∥BC，∠ADB＝（x+15）°，∴∠DBC＝∠ADB＝（x+15）°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠DBC＝（2x+30）°，∵AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∴（4x+30）°+（2x+30）°＝180°，解得x＝20，∴∠A＝110°．故答案为：110°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．4．（2025春•长宁区校级期中）如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为A、B、G、C、D、E、F，将A、B、G、C、D、E、F顺次首尾连接．若B、G、C三点共线，AF恰好经过点G，且AF∥DE，∠B＝∠BCD+8°，∠D＝110°，则∠B﹣∠CGF＝ 　118°　 ．【考点】平行线的性质．【分析】过点C作CH∥AF，则AF∥DE∥CH，得到∠CGF＝∠GCH，∠D＝∠DCH，进而得出∠BCD＝110°+∠CGF，计算即可得到答案．【解答】解：过点C作CH∥AF，∵AF∥DE，∴AF∥DE∥CH，∴∠CGF＝∠GCH（两直线平行，内错角相等），∠D＝∠DCH（两直线平行，内错角相等），∴∠BCD＝∠DCH+∠GCH＝∠D+∠CGF＝110°+∠CGF，∵∠B＝∠BCD+8°，∴∠B﹣∠CGF＝∠BCD+8°﹣∠CGF＝110°+∠CGF+8°﹣∠CGF＝118°．故答案为：118°．【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．5．（2025春•长宁区校级期中）将下面证明过程补充完整．如图，已知∠ADC＝∠ABC，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC且∠1＝∠2．求证：∠A＝∠C．证明：∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，∴∠1=12∠ABC，∠3=12∠ADC．∵∠ABC＝∠ADC，∴∠　1　 ＝∠　3　 ．∵∠1＝∠2，∴∠　2　 ＝∠　3　 ．∴AB ∥CD （ 　内错角相等，两直线平行　 ）．∴∠A+∠ADC ＝180°，∠C+∠ABC ＝180°（ 　两直线平行，同旁内角互补　 ）．∴∠A＝∠C．【考点】平行线的判定与性质．【分析】根据两直线平行的判定和性质，补齐相应的条件或结论，即可得到结果．【解答】证明：∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，∴∠1=12∠ABC，∠3=12∠ADC，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），∴∠A+∠ADC＝180°，∠C+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠A＝∠C．故答案为：1，3；2，3；AB，CD，内错角相等，两直线平行；ADC，ABC，两直线平行，同旁内角互补．【点评】本题考查两直线平行的判定和性质的应用，熟练掌握两直线平行的判定方法是解题的关键．课后巩固 · 针对性练习•题1 平行线的判定（结合图形选择条件）。•题2 平行公理及垂直性质的综合判断。•题3 平行线的判定（从角的关系识别）。•题4 平行线性质、垂线、点到直线距离等概念辨析。•题5 平行线性质求角度（补角、邻补角）。•题6 命题改写（等腰三角形性质）。•题7 垂线、对顶角、邻补角综合求角度。•题8 实际背景中的平行线与垂线应用（消防云梯）。•题9 角平分线、平行线、三角形内角和综合（含参表示）。•题10 平行线性质与角平分线结合求角度。•题11 平行线判定与性质的综合证明（角平分线、垂直）。•题12 平行线判定与性质填空推理（补全过程）。•题13 实际情境中的平行线判定与性质（躺椅模型）。•题14 平行线综合探究（角平分线、垂直、设元求角）。※ 复习建议 本专题是几何证明的基础，务必熟练掌握对顶角、邻补角的计算，准确识别三线八角，灵活运用平行线的判定与性质。对于综合题，要学会添加辅助线（过折点作平行线）来转化角度关系。命题部分要理解真假命题的判断方法及逆命题的构造。1．（2024春•杨浦区期中）如图所示，在下列四组条件中，不能判定AD∥BC的是（　　）A．∠1＝∠2B．∠3＝∠4C．∠BAD+∠ABC＝180°D．∠BAC＝∠ACD【考点】平行线的判定．【分析】根据平行线的判定方法分别对四个选项进行判断．【解答】解：A、当∠1＝∠2时，AD∥BC，本选项不符合题意；B、当∠3＝∠4时，AD∥BC，本选项不符合题意；C、当∠BAD+∠ABC＝180°时，AD∥BC，本选项不符合题意；D、当∠BAC＝∠ACD时，AB∥CD，本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．2．（2024春•普陀区校级月考）已知同一平面内的三条不同直线a，b，c，则下述错误的是（　　）A．若a∥b，b∥c，则a∥cB．若a⊥b，b⊥c，则a⊥cC．若a⊥b，b⊥c，则a∥cD．若a∥b，b⊥c，则a⊥c【考点】平行线的判定与性质；平行公理及推论．【分析】根据平行线的判定与性质、平行公理及推论一一判断即可．【解答】解：若a∥b，b∥c，则a∥c，故A说法正确，不符合题意；若a⊥b，b⊥c，则a∥c，故B说法错误，符合题意；若a⊥b，b⊥c，则a∥c，故C说法正确，不符合题意；若a∥b，b⊥c，则a⊥c，故D说法正确，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查平行线的判定与性质、平行公理及推论，解题的关键是掌握在同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．3．（2024春•松江区校级月考）如图，在下列条件中，不能说明AB∥DF的是（　　）A．∠A＝∠CFDB．∠BED＝∠EDFC．∠BED＝∠AD．∠A+∠AFD＝180°【考点】平行线的判定．【分析】利用平行线的判定定理，逐一判断即可得出结论．【解答】解：A、∵∠A＝∠CFD，∴AB∥DF（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意；B、∵∠BED＝∠EDF，∴AB∥DF（内错角相等，两直线平行），故本选不项符合题意；C、∠BED＝∠A，∴AC∥DE（同位角相等，两直线平行），不能判定AB∥DF，故本选项符合题意；D、∵∠A+∠AFD＝180°，∴AB∥DF（同旁内角互补，两直线平行），故本选不项符合题意；故选：C．【点评】本题考查了平行线的判定；正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．4．（2024春•闵行区期中）下列说法中，正确的是（　　）A．如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补B．点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度C．如果两条直线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相平行D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行【考点】平行线的判定与性质；点到直线的距离；同位角、内错角、同旁内角；平行公理及推论．【分析】根据平行线的判定与性质，点到直线的距离，同位角，内错角，同旁内角，平行公理及推论，逐一判断即可解答．【解答】解：A、如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补，故A不符合题意；B、点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度，故B符合题意；C、如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相平行，故C不符合题意；D、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，点到直线的距离，同位角，内错角，同旁内角，平行公理及推论，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．5．（2024春•宝山区期末）如图，直线AB、CD分别与EF、GH相交，已知∠1＝100°，∠2＝115°，∠3＝65°，那么∠4＝　100°　 ．【考点】对顶角、邻补角．【分析】根据对顶角相等，平行线的判定和性质进行计算即可．【解答】解：如图，∵∠5＝∠2＝115°，∠3＝65°，∴∠5+∠3＝115°+65°＝180°，∴AB∥CD，∴∠4＝∠1＝100°，故答案为：100°．【点评】本题考查对顶角、邻补角，掌握对顶角相等以及平行线的判定和性质是正确解答的关键．6．（2024秋•上海月考）请将命题“等腰三角形的底角相等”改写为“如果…，那么…”的形式　如果两个角为等腰三角形的底角，那么这两个角相等　 ．【考点】命题与定理．【分析】命题中的条件是一个三角形是等腰三角形，放在“如果”的后面，结论是它的两个底角相等，应放在“那么”的后面．【解答】解：题设为：一个三角形是等腰三角形，结论为：这个三角形的两个底角相等，故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角为等腰三角形的底角，那么这两个角相等．故答案为：如果两个角为等腰三角形的底角，那么这两个角相等．【点评】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．7．（2024春•路北区校级期中）如图，AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠COE＝44°，则∠AOD＝　134°　 ．【考点】垂线；对顶角、邻补角．【分析】首先根据垂直定义可得∠EOB＝90°，再根据角的和差关系可得∠COB＝134°，再根据对顶角相等可得∠AOD的度数．【解答】解：∵OE⊥AB，∴∠EOB＝90°，∵∠COE＝44°，∴∠COB＝90°+44°＝134°，∴∠AOD＝134°，故答案为：134°．【点评】此题主要考查了垂线以及对顶角，关键是算出∠EOB的度数，掌握对顶角相等．8．（2024春•杨浦区期中）消防云梯的示意图如图1所示，其由救援台AB、延展臂BC（B在C的左侧）、伸展主臂CD、支撑臂EF构成，在作业过程中，救援台AB、车身GH及地面MN三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图2．使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且∠EFH＝70°，这时展角∠ABC＝　160°　 ．【考点】平行线的性质；垂线．【分析】延长BC、FE交于P，过P作PQ∥AB，则AB∥GH∥PQ，根据平行线的性质得到∠QPF＝∠EFH＝70°，∠ABC+∠BPQ＝180°，据此求解即可．【解答】解：延长BC、FE交于P，过P作PQ∥AB，∵AB∥GH，∴AB∥GH∥PQ，∴∠QPF＝∠EFH＝70°，∠ABC+∠BPQ＝180°，∵BC⊥EF，∴∠BPF＝90°，∴∠BPQ＝90°﹣∠QPF＝90°﹣70°＝20°，∴∠ABC＝180°﹣∠BPQ＝180°﹣20°＝160°，故答案为：160°．【点评】本题考查平行线的性质与判定、垂直定义，理解题意，添加辅助线，利用平行线的性质解决实际问题是解答的关键．9．（2024春•虹口区期中）如图，已知AB∥CD，点M、N分别是直线AB、CD上的点，点E、F在AB、CD之间，且位于MN的两侧，MF、NF分别平分∠AME与∠CNE，点G在△MNE内部，且∠GMN=25∠EMN，∠GNM=25∠ENM．如果∠MGN＝α°，那么∠MFN的度数为 　315°−54α　 ．（用含α的代数式表示）【考点】平行线的性质．【分析】过点F作FK∥AB，证AB∥FK∥CD，则∠MFK＝∠AMF，∠NFK＝∠CNF，由此得∠MFN＝∠AMF+∠CNF，根据∠GMN=52∠EMN，∠GNM=52∠ENM，设∠GMN＝2β，∠EMN＝5β，∠GNM＝2θ，∠ENM＝5θ，设∠FMN＝x，∠FNM＝y，则∠FME＝∠FMN+∠EMN＝x+5β，∠FNE＝∠FNM+∠ENM＝y+5θ，再根据角平分线定义得∠AMF＝∠FME＝x+5β，∠CNF＝∠FNE＝y+5θ，则∠MFN＝∠AMF+∠CNF＝x+5β+y+5θ＝x+y+5（β+θ）①，然后由三角形内角和定理得：∠GMN+∠GMN+∠GNM＝180°，∠FMN+∠FNM+∠MFN＝180°，即β+θ＝90°−12α°②，x+y＝180°﹣∠MFN③，将②③代入①即可得出∠MFN的度数．【解答】解：过点F作FK∥AB，如图所示：∵AB∥CD，∴AB∥FK∥CD，∴∠MFK＝∠AMF，∠NFK＝∠CNF，∴∠MFK+∠NFK＝∠AMF+∠CNF，即∠MFN＝∠AMF+∠CNF，∵∠GMN=52∠EMN，∠GNM=52∠ENM，∴设∠GMN＝2β，∠EMN＝5β，∠GNM＝2θ，∠ENM＝5θ，设∠FMN＝x，∠FNM＝y，则∠FME＝∠FMN+∠EMN＝x+5β，∠FNE＝∠FNM+∠ENM＝y+5θ，∵MF、NF分别平分∠AME与∠CNE，∴∠AMF＝∠FME＝x+5β，∠CNF＝∠FNE＝y+5θ，∠MFN＝∠AMF+∠CNF＝x+5β+y+5θ＝x+y+5（β+θ）①，由三角形内角和定理得：∠GMN+∠GMN+∠GNM＝180°，∠FMN+∠FNM+∠MFN＝180°，即α°+2β+2θ＝180°，x+y+∠MFN＝180°，∴β+θ＝90°−12α②，x+y＝180°﹣∠MFN③，将②③代入①得：∠MFN＝180°﹣∠MFN+5（90°−12α），整理得：∠MFN＝315°−54α．故答案为：315°−54α．【点评】此题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角的计算，熟练掌握平行线的性质，三角形内角和定理，角的计算是解决问题的关键．10．（2024春•长宁区期末）如图，已知AB∥CD，BE∥DF，∠B＝30°，试求∠CDH的度数．【考点】平行线的性质．【分析】先根据BE∥DF，∠B＝30°得出∠FMA＝∠B＝30°，再由AB∥CD即可得出∠CDM的度数，再由平角的定义即可得出结论．【解答】解：∵BE∥DF，∠B＝30°，∴∠FMA＝∠B＝30°，∵AB∥CD，∴∠CDM＝∠FMA＝30°，∴∠CDH＝180°﹣∠CDM＝180°﹣30°＝150°．【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键．11．（2024秋•嘉定区校级期中）如图1，点C，D在直线AB上，∠ACE+∠BDF＝180°，EF∥AB．（1）求证：CE∥DF；（2）如图2，∠DFE的角平分线FG交AB于点G，过点F作FM⊥FG交CE的延长线于点M．若∠CMF＝55°，求∠CDF的度数．【考点】平行线的判定与性质．【分析】（1）根据平角的性质进行等量代换，得到∠BDF＝∠BCE，利用同位角相等两直线平行即可；（2）根据两直线平行，同旁内角互补得到∠DFM＝125°，进而得到∠DFG＝35°，再根据角平分线的定义，得到∠DFE＝2∠DFG＝70°，最后利用平行线的性质，即可求出∠CDF的度数．【解答】（1）证明：∵∠ACE+∠BDF＝180°，∠ACE+∠BCE＝180°∴∠BDF＝∠BCE∴CE∥DF；（2）解：∵CE∥DF∴∠CMF+∠DFM＝180°∵∠CMF＝55°∴∠DFM＝125°∵FM⊥FG∴∠GFM＝90°∴∠DFG＝∠DFM﹣∠GFM＝125°﹣90°＝35°∵FG是∠DFE的角平分线，∴∠DFE＝2∠DFG＝70°∵EF∥AB∴∠CDF+∠DFE＝180°∴∠CDF＝110°．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键．12．（2024春•闵行区期末）如图，已知在△ABC中，点D、G分别在边BC、AC上，且∠B＝∠GDC，点F在线段DG的延长线上，点E在边GC上，如果∠1＝∠3，说明AD∥EF的理由．解：因为∠B＝∠GDC（已知），所以AB∥DF （ 　同位角相等，两直线平行　 ）．所以∠1＝　∠2　 （ 　两直线平行，内错角相等　 ）．因为∠1＝∠3（已知），所以∠3＝　∠2　 （等量代换）．所以AD∥EF（ 　内错角相等，两直线平行　 ）．【考点】平行线的判定与性质．【分析】先根据同位角相等，两直线平行可得AB∥DF，然后利用平行线的性质可得∠1＝∠2，从而可得∠3＝∠2，再根据内错角相等，两直线平行可得AD∥EF，即可解答．【解答】解：因为∠B＝∠GDC（已知），所以AB∥DF（同位角相等，两直线平行）．所以∠1＝∠2（ 两直线平行，内错角相等）．因为∠1＝∠3（已知），所以∠3＝∠2（等量代换）．所以AD∥EF（内错角相等，两直线平行），故答案为：DF；同位角相等，两直线平行；∠2；两直线平行，内错角相等；∠2；内错角相等，两直线平行．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．13．（2024秋•杨浦区校级月考）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面EF，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，∠AOE＝∠BNM．（1）求证：OE∥DM；（2）若OE平分∠AOF，∠ODC＝30°，求扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM的度数．【考点】平行线的判定与性质．【分析】（1）结合题意，根据对顶角相等推出∠AOE＝∠AND，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解；（2）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可．【解答】（1）证明：∵∠BNM＝∠AND，∠AOE＝∠BNM，∴∠AOE＝∠AND，∴OE∥DM；（2）解：∵AB与底座CD都平行于地面EF，∴AB∥CD，∴∠BOD＝∠ODC＝30°，∵∠AOF+∠BOD＝180°，∴∠AOF＝150°，∵OE平分∠AOF，∴∠EOF=12∠AOF＝75°，∴∠BOE＝∠BOD+∠EOF＝105°，∵OE∥DM，∴∠ANM＝∠BOE＝105°．【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质的运用，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．14．（2024春•杨浦区期中）已知AB∥CD．（1）如图1，若EF⊥FG垂足为点F，∠FGD＝50°，则∠AEF＝　140°　 ．（2）如图2，EF⊥FG垂足为点F，过点F作FH⊥AB于点H，说明∠HFE＝∠FGD．（3）如图3，∠BEF、∠FGD的角平分线交于点H，若∠EFG＝α°，则∠H＝　12α°　 （用含α的式子表示）．【考点】平行线的性质；列代数式；垂线．【分析】（1）过点F作FM∥AB，利用猪脚模型可求出∠BEF＝∠EFG﹣∠DGF＝40°，然后利用平角定义可得∠AEF＝140°，即可解答；（2）根据垂直定义可得∠FHE＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BEF+∠HFE＝90°，再利用（1）的结论可得：∠BEF+∠DGF＝90°，然后利用同角的余角相等可得：∠HFE＝∠FGD，即可解答；（3）利用（1）的结论可得：∠EFG＝∠BEF+∠DGF＝α°，∠H＝∠BEH+∠DGH，再利用角平分线的定义可得∠BEH=12∠BEF，∠DGH=12∠DGF，然后利用等量代换可得∠H=12∠EFG=12α°，即可解答．【解答】解：（1）过点F作FM∥AB，∴∠BEF＝∠EFM，∵AB∥CD，∴FM∥CD，∴∠DGF＝∠GFM，∵∠EFG＝∠EFM+∠GFM，∴∠EFG＝∠BEF+∠DGF，∵EF⊥FG，∴∠EFG＝90°，∵∠FGD＝50°，∴∠BEF＝∠EFG﹣∠DGF＝40°，∴∠AEF＝180°﹣∠BEF＝140°，故答案为：140°；（2）∵FH⊥AB，∴∠FHE＝90°，∴∠BEF+∠HFE＝90°，由（1）可得：∠BEF+∠DGF＝∠EFG＝90°，∴∠HFE＝∠DGF；（3）由（1）可得：∠EFG＝∠BEF+∠DGF＝α°，∠H＝∠BEH+∠DGH，∵EH平分∠BEF，GH平分∠FGD，∴∠BEH=12∠BEF，∠DGH=12∠DGF，∴∠H=12∠BEF+12∠DGF=12（∠BEF+∠DGF）=12∠EFG=12α°，故答案为：12α°．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握猪脚模型是解题的关键．类别核心内容关键点对顶角对顶角相等两条直线相交形成邻补角邻补角互补和为180°垂线垂直定义、垂线段最短过一点有且只有一条垂线三线八角同位角、内错角、同旁内角准确识别截线与被截线平行判定同位角/内错角相等、同旁内角互补转化思想平行性质两直线平行⇒角相等/互补推理证明的基础命题真命题、假命题、逆命题举反例证明假命题