初中数学沪教版（五四制）（2024）七年级下册（2024）三角形的内角和精品课堂检测

这是一份初中数学沪教版（五四制）（2024）七年级下册（2024）三角形的内角和精品课堂检测，共10页。

课程目标
理解 三角形内角和定理，掌握其证明方法（通过平行线构造）。
掌握 与平行线、角平分线相关的三角形内角和问题的解法。
能运用 三角形内角和定理及外角性质解决角度计算问题。
理解 三角形外角的定义和性质，能灵活运用外角定理。
体会 转化思想、方程思想在几何计算中的应用。
✨ 核心思想：三角形三个内角的和等于180°，这是解决角度问题的基本工具；通过平行线、角平分线、外角等可以建立等量关系。
知识梳理（详细版）
☆三角形内角和定理
定理：三角形三个内角的和等于 180°。
证明方法：撕角拼凑法、平行线法（过顶点作对边平行线，利用同位角、
内错角转化）。
推论：直角三角形的两个锐角互余。
☆三角形的外角
定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角。
性质：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
☆平行线与三角形内角
平行线带来同位角、内错角相等，同旁内角互补。
常用于将角转移位置，构造三角形内角和关系。
☆角平分线与三角形内角
角平分线将角分成两个相等的角。
内角平分线相交：两内角平分线夹角等于 90°+ 12∠A。
外角平分线相交：两外角平分线夹角等于 90°- 12∠A。
☆常用几何模型
“8”字模型：两角之和相等关系。
飞镖模型：凹四边形中一角等于其余三角之和。
双角平分线模型：内角平分线、外角平分线组合求角。
☆方程思想
设未知数表示角度，根据内角和、外角、角平分线等列方程求解。
☆知识总结表
核心考点 · 6类题型精讲
【考点1】三角形内角和定理的证明 （题1-3）
❤知识点/方法
证明思路：通过作平行线，将三个内角转化为一个平角或同旁内角互补。
常见辅助线：过顶点作对边的平行线，或延长一边。
利用平行线性质：同位角、内错角相等，同旁内角互补。
1．（24-25七年级下·上海·月考）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（Thales，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于180°”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整．
已知：如图，在△ABC中，求证：∠A+∠B+∠BCA=180°．
证明：延长线段BC至点F，并过点C作CE∥AB．
∵ CE∥AB，
∴∠______=∠______(______)．
∠______=∠______(______)．
∵∠ACB+∠1+∠2=180°．
∴∠ACB+∠______+∠______=180°．
2．（25-26八年级上·广东珠海·期末）在小学，同学们通过将一个三角形的三个角撕下来可拼成一个平角和度量，计算验证了三角形的内角和等于180°．在初中学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于180°．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务：
(1)任务一：补全小颖的说理过程；
(2)任务二：小聪受小颖的启发，如图3，一个角也不撕，延长AB且过点B作BE∥AC，也能说明三角形的内角和等于180°，请你帮助小聪写出说理过程．
3．（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次标上∠1、∠2、∠3，如图1，再将∠1、∠2剪下，将它们与∠3拼在一起，如图2．
(1)在图2中，通过∠1、∠2、∠3的拼接，你发现了什么？
(2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？
(3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想．
【考点2】与平行线有关的三角形内角和问题 （题4-8）
❤知识点/方法
平行线带来角相等或互补，常需设未知数表示角。
通过构造平行线转移角，将分散的角集中到三角形中。
结合三角板、旋转等背景，注意动态角度关系。
4．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知AB∥DE，BF⊥AB，垂足为点B，那么∠1、∠2、∠3之间的数量关系是（ ）．
A．∠1+∠2+∠3=180°B．∠3−∠1+∠2=90°
C．∠3−∠1−∠2=90°D．∠3+∠1−∠2=90°
5．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知AB∥ED，∠EDC=80°，∠ECD=53°，∠B=105°，那么∠ACB=__________．
6．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠OMN=30°，∠OCD=45°．将三角尺OCD绕点O以每秒10°的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒．在旋转的过程中，边CD恰好与边MN平行，t的值为________．
7．（23-24八年级上·上海徐汇·月考）已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点F是AB的中点，EF∥AC，交AD的延长线于点E．求证：BE⊥AD．
8．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在△ABC中，已知AD是角平分线，∠B=64°，∠C=56°．
(1)求∠ADC的度数；
(2)若DE⊥AC于E，求∠ADE的度数．
【考点3】与角平分线有关的三角形内角和问题 （题9-13）
❤知识点/方法
角平分线分角相等，常设 ∠1=∠2 列方程。
内角平分线夹角公式 90°+ 12∠A，外角平分线夹角公式 90°- 12∠A。。
注意角平分线与高、中线等结合时的综合计算。
9．（24-25七年级下·上海宝山·期末）已知在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，那么∠ADB= ______．
10．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，已知△ABC，BD与CD分别是外角∠EBC和外角∠ECF的角平分线，若∠D=62°，则∠A=________°．
11．（24-25七年级下·上海普陀·月考）如图，在△ABC中，点D是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，如果∠A=60∘，那么∠BDC=_____°．
12．（24-25七年级下·上海·月考）在△ABC的CA、BA的延长线上任取两点D，E，连接DE．
(1)如图1，求证：∠B+∠C=∠D+∠E；
(2)如图2，∠AED和∠ACB的平分线交于点F，求证，∠F=12(∠B+∠D)．（提示：可直接利用（1）的结论）
13．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）综合与实践
(1)如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，如果∠A=50°，那么∠BPC= ．
(2)如图2，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试求出∠Q、∠A之间的数量关系．
(3)如图3，延长BP、QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出∠A的度数．
【考点4】三角形内角和定理的应用 （题14-20）
❤知识点/方法
直接利用内角和求未知角，或列方程解含参数的角度。
结合垂直、互余、等腰等条件建立方程。
新定义问题（如“奇异互余三角形”）需理解定义并转化。
14．（25-26八年级上·上海松江·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边上的高，如果∠B=2∠BCD，那么∠A=______．
15．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）定义：若三角形的两个内角α和β满足α+2β=90°，则称这样的三角形为“奇异互余三角形”．在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=58°，P是射线CB上一点，若△APB是“奇异互余三角形”，则∠APC=_______
16．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°．绕点C顺时针旋转△ABC，使点B落在AC边上，点B的对应点记为点D，点A的对应点记为点E，连接AE，那么∠AED的度数是______．
17．（24-25七年级下·上海·月考）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力N的方向与斜面垂直，摩擦力F的方向与斜面平行．若摩擦力F与重力G方向的夹角∠1的度数为118∘，则斜面的坡角∠2的度数为______∘.
18．（24-25七年级下·上海·月考）△ABC中，∠A=3x+10°，∠B=2x°，∠C=6x−17°，求∠A，∠B，∠C的度数．
19．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在BC上，点E在AC上，且∠ADE=∠AED，∠BAC=80°
(1)如果AD平分∠BAC，求∠EDC的大小；
(2)如果∠EDC与∠BAD互余，求∠CAD的大小．
20．（25-26八年级上·上海闵行·期末）如图，已知在△ABC中，∠ACB为钝角，∠B=a，CD⊥AB，垂足为点D，将△ACD绕点A旋转，点C和D的对应点分别为点C′和D′，当点C′、D′恰好都落在BC的延长线上时，∠BAC′=______．（用含a的式子表示）．
【考点5】三角形的外角的定义及性质 （题21-26）
❤知识点/方法
外角等于不相邻两内角和，常用于建立等量关系。
外角大于任意不相邻内角，用于比较大小。
折叠、旋转等变换中，外角性质仍然适用。
21．（25-26八年级上·上海闵行·月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是三角形的中线，CE是三角形的一条内角平分线，若∠A=65°，那么∠CED的度数是_________．
22．（25-26七年级上·上海·月考）如图，将纸片 △ABC 沿 DE 折叠，使点 A 落在点 A′ 处，且 A′B 平分 ∠ABC ， A′C 平分 ∠ACB ，若 ∠1=44° ， ∠2=46° ，则 ∠BA′C 的度数为_____．
23．（25-26七年级下·全国·期末）推理能力
如图①所示，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠ABC=40°， ∠ACB=70°．
(1)求∠EAD的度数．
(2)当AE是△BAC的外角∠FAC的平分线时，如图②所示，∠EAD的度数是多少？设∠ABC=α，∠ACB=β，用含α，β的式子表示出结果，并说明理由．
24．（24-25七年级下·上海崇明·期末）综合与实践
(1)如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，如果∠A=70°，那么∠BPC= ．
(2)如图2，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试求出∠Q、∠A之间的数量关系 ．
(3)如图3，延长BP、QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求∠A的度数．
25．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE是∠CAB的角平分线，交BD于点E，∠AEB=120°，∠CBA=40°，求∠C的度数．
解：∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°（ ）
∵∠AEB=120°，∠AEB=∠ADB+∠DAE（ ），
∴∠DAE=______，
∵AE是∠CAB的角平分线，
∴∠DAB=2∠______=______，
∵∠C+∠CAB+∠CBA=180°（ ）∠CBA=40°，
∴∠C=______．
26．（24-25七年级下·上海崇明·期末）学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组进行如下探究：已知AB∥CD．
(1)如图1，若∠C=2∠B，求∠B的度数．
(2)如图2，当点E，F在两条平行线之间，且B、E、F、C四点不在同一条直线上时．求证：∠B+∠BEF=∠C+∠CFE．
(3)如图3，若∠ABE=3∠EBP，∠CFE=3∠EFP，∠E=87°，∠C=135°，直接写出∠BPF的度数．
【考点6】创新及压轴题 （题1-5）
❤知识点/方法
新定义问题：理解定义（如“k系补周角”“奇妙互余三角形”），转化为方程求解。
动态旋转问题：分类讨论，画图分析不同位置的角度关系。
光反射原理：入射角等于反射角，结合平行线、三角形内角和求解。
复杂几何模型：如多次翻折、角平分线叠加，需逐步推导。
1．（24-25七年级下·上海松江·期中）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角∠1=∠2．
(1)如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1=55°，则∠2=________，∠3=________；
(2)图2中，请你探究：当任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，求两平面镜a、b的夹角∠3的度数；
(3)如图3，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m垂直，那么此时∠O的度数是________．
2．（24-25七年级上·上海·期中）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k>0，使得∠M+k∠N=360°，则称∠N为∠M的k系补周角．如若∠M=90°，N=45°，则∠N为∠M的6系补周角．
(1)若∠H=110°，则∠H的4系补周角的度数为______
(2)在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE,DE．
①如图1，∠D=70°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数．
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF=∠ABEn，∠CDF=∠CDEn（其中n为常数且n