初中数学北师大版（2024）七年级下册（2024）探究三角形全等的条件当堂检测题

这是一份初中数学北师大版（2024）七年级下册（2024）探究三角形全等的条件当堂检测题，共39页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．如图，AD和BC相交于点O，已知OA＝OC，以“ASA”为依据说明△AOB≌△COD还需添加( )
A．AB＝CD B．∠A＝∠C C．OB＝OD D．∠AOB＝∠COD
2．如图，已知△ABC三条边，三个角，则甲、乙两个三角形中，与△ABC全等的是( )
A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．都不是
3．如图，已知∠1＝∠2，DA平分∠BDC，下列结论错误的是( )
A．AB＝AC B. DB＝DC C．AB＝BD D．∠B＝∠C
4．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是( )
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
5．如图，已知AD＝AE，要用“AAS”判定△ACD≌△ABE，需要添加的条件是( )
A．∠B＝∠C B．∠ADC＝∠AEB C．AC＝AB D．CD＝BE
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，BE与AD相交于点F，AD＝BD＝5，则AF＋CD的长为( )
A．10 B．6 C．5 D．4.5
7．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D ，CE⊥AB于点E，AD，CE交于点F ，若EF=EB=6，S△AEF=24，则CF 的长为( )
A. 1 B. 2 C. 52 D. 3
8．如图，在锐角三角形ABC 中，∠BAC=60∘ ，BE，CD为三角形ABC 的角平分线，BE，CD交于点F，FG平分∠BFC交BC于点G .有下列四个结论：
①∠BFC=120∘ ；②BD=BG ；③△BDF≌△CEF；④BC=BD+CE .其中结论正确的序号为( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④
二、填空题
9．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，请添加一个条件：____________________，使△AOB≌△DOC.(只填一种情况即可)
10．如图，CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B，E，AE，BC相交于点F，若AB＝BC＝16，CF＝8，连接DF，则图中阴影部分面积为_____________．
11．如图，点A，C，B，D在同一条直线上，BE//DF ，∠A=∠F，AB=FD.若∠FCD=35∘ ，∠A=75∘ ，则∠DBE的度数为_____.
12．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACD=90∘,AC=CD，BC=4 cm，则△BCD的面积为___cm2 .
13．如图，在△ABC 中，∠ACB=90∘ ,AC=7 cm,BC=3 cm,CD 为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC 上以2 cm/s的速度运动，过点E作BC 的垂线交直线CD于点F,当点E运动______s 时，CF=AB .
三、解答题
14．如图，点C在线段BD上，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E.试说明：AC＝DC.
15．如图，∠C＝∠D＝90°，∠CBA＝∠DAB.
(1)试说明：△ABC≌△BAD；
(2)若∠DAB＝70°，则∠CAB＝____°.
16．如图，已知点B，F，C，E在直线l上，点A，D在直线l的异侧，且AC∥DF，AC＝DF；
(1)请你添加一个适当的条件：__________________，使得△ABC≌△DEF.结合所添加的条件说明△ABC≌△DEF；
(2)若BE＝20，BF＝6，求FC的长．
17．如图，已知△ABC≌△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线．
(1)试说明：AD＝A′D′；
(2)把上述结论用文字叙述出来：______________________________________；
(3)请你再写出一条其他类似的结论：___________________________________．
18．如图，AC=BC，D是BC上一点，∠ADE=∠C .
(1)如图①，若∠C=90∘，∠DBE=135∘，试说明：
①∠EDB=∠A ；
②DA=DE .
(2)如图②，请直接写出当∠DBE与∠C 之间满足什么数量关系时，总有DA=DE 成立.
19．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC.
(1)如图①，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N.试说明：MN＝AM＋BN；
(2)如图②，若过点C在△ABC内作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N，则(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．
20．【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角尺(在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC；在△DEF中，∠DEF＝90°，∠EDF＝30°)，并提出了相应的问题．
【发现】(1)如图①，将两个三角尺互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段DF上时，过点A作AM⊥DF，垂足为M，过点C作CN⊥DF，垂足为N，易证△ABM≌△BCN，若AM＝2，CN＝7，则MN＝___________；
【类比】(2)如图②，将两个三角尺叠放在一起，当顶点B在线段DE上，且顶点A在线段EF上时，过点C作CP⊥DE，垂足为P，猜想线段AE，PE，CP之间的数量关系，并说明理由；
【拓展】(3)如图③，将两个三角尺叠放在一起，当顶点A在线段DE上且顶点B在线段EF上时，若AE＝5，BE＝1，连接CE，则△BCE的面积为___________．
21．如图，在△ABC中，∠C=90∘ ，BC=AC，D为直线BC上一动点，连接AD.在直线AC的右侧作AE⊥AD ，且AE=AD，过点E作AC的垂线，垂足为N .
(1)如图①，当点D在线段BC上时,判断线段EN与BC 之间的关系，并说明理由.
(2)连接图①中的B，E交直线AC于点M ，我们很容易发现MN=MC.如图②，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交直线CA于点M，线段EN和线段BC 之间的关系有没有变化？此时MN=MC吗？说明理由.
(3)如图③，当点D在线段CB的延长线上时，连接BE交AC于点M，当AC=8，CM=3时，请直接写出△ABD和△ABE的面积.
参考答案
一、选择题
1．如图，AD和BC相交于点O，已知OA＝OC，以“ASA”为依据说明△AOB≌△COD还需添加( )
A．AB＝CD B．∠A＝∠C C．OB＝OD D．∠AOB＝∠COD
【答案】B
2．如图，已知△ABC三条边，三个角，则甲、乙两个三角形中，与△ABC全等的是( )
A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．都不是
【答案】C
3．如图，已知∠1＝∠2，DA平分∠BDC，下列结论错误的是( )
A．AB＝AC B. DB＝DC C．AB＝BD D．∠B＝∠C
【答案】C
4．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是( )
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
【答案】C
5．如图，已知AD＝AE，要用“AAS”判定△ACD≌△ABE，需要添加的条件是( )
A．∠B＝∠C B．∠ADC＝∠AEB C．AC＝AB D．CD＝BE
【答案】A
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，BE与AD相交于点F，AD＝BD＝5，则AF＋CD的长为( )
A．10 B．6 C．5 D．4.5
【答案】C
7．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D ，CE⊥AB于点E，AD，CE交于点F ，若EF=EB=6，S△AEF=24，则CF 的长为( )
A. 1 B. 2 C. 52 D. 3
【答案】B
【解析】因为CE⊥AB ,所以∠AEC=∠BEC=90∘ .所以S△AEF=12AE⋅EF=3AE =24.所以AE=8 .因为AD⊥BC,所以∠ADC=90∘=∠AEF .又因为∠AFE=∠CFD,所以∠EAF=∠ECB .又因为EB=EF,所以△BEC≌△FEA(AAS) .所以CE=AE=8.所以CF=CE−EF=8−6=2 .
8．如图，在锐角三角形ABC 中，∠BAC=60∘ ，BE，CD为三角形ABC 的角平分线，BE，CD交于点F，FG平分∠BFC交BC于点G .有下列四个结论：
①∠BFC=120∘ ；②BD=BG ；③△BDF≌△CEF；④BC=BD+CE .其中结论正确的序号为( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④
【答案】B
【解析】因为BE,CD为三角形ABC 的角平分线，所以∠ABE=∠CBE，∠ACD=∠BCD .
所以∠EBC+∠DCB=12∠ABC+12∠ACB=12×(180∘−∠A)=60∘.所以∠BFC=180∘−(∠EBC+∠DCB)=120∘,故①正确.所以∠BFD=60∘ .因为FG平分∠BFC,所以∠BFG=12∠BFC=60∘=∠BFD .在△BDF和△BGF中，&∠BFD=∠BFG,&BF=BF,&∠DBF=∠GBF,所以△BDF≌△BGF(ASA).所以BD=BG , DF=GF ,故②正确. 同理可得△CEF≌△CGF,所以EF=FG .所以DF=EF.在△BDF和△CEF 中，∠BFD=∠CFE=60∘ ,但∠DBF与∠ECF 不一定相等.所以△BDF和△CEF 不一定全等，故③错误.由△CEF≌△CGF可得CE=CG ,所以BC=BG+CG=BD+CE ,故④正确.故选B.
二、填空题
9．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，请添加一个条件：____________________，使△AOB≌△DOC.(只填一种情况即可)
【答案】AB＝DC(答案不唯一)
10．如图，CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B，E，AE，BC相交于点F，若AB＝BC＝16，CF＝8，连接DF，则图中阴影部分面积为_____________．
【答案】32
11．如图，点A，C，B，D在同一条直线上，BE//DF ，∠A=∠F，AB=FD.若∠FCD=35∘ ，∠A=75∘ ，则∠DBE的度数为_____.
【答案】110°
【解析】因为BE//DF，所以∠ABE=∠D.在△FDC
和△ABE中，&∠F=∠A,&FD=AB,&∠D=∠ABE, 所以△FDC≌△ABE(ASA) ，所以∠FCD=∠E=35∘ ，所以易得∠DBE=∠E+∠A=35∘+75∘=110∘ .
12．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACD=90∘,AC=CD，BC=4 cm，则△BCD的面积为___cm2 .

【答案】8
【解析】如图，过点D作DH⊥BC，交BC 的延长线于点H，则∠H=90∘ .因为∠ABC=90∘，所以∠BAC+∠ACB=90∘ .因为∠ACD=90∘,所以∠HCD+∠ACB=90∘，所以∠BAC=∠HCD.在△ABC 和△CHD 中，&∠BAC=∠HCD,&∠ABC=∠CHD=90∘,&AC=CD,所以△ABC≌△CHD(AAS) ，所以DH=BC=4 cm ，所以S△BCD=12BC⋅DH=12×4×4=8(cm2) .
13．如图，在△ABC 中，∠ACB=90∘ ,AC=7 cm,BC=3 cm,CD 为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC 上以2 cm/s的速度运动，过点E作BC 的垂线交直线CD于点F,当点E运动______s 时，CF=AB .
【答案】2或5
【解析】因为∠ACB=90∘ ,所以∠A+∠CBD=90∘ .因为CD为AB边上的高，所以∠CDB=90∘,所以∠BCD+∠CBD=90∘ ,所以∠A=∠BCD .因为∠BCD=∠ECF,所以∠ECF=∠A .因为EF⊥EC，所以∠CEF=90∘=∠ACB .在△CEF和△ACB中，&∠ECF=∠A,&∠CEF=∠ACB,&CF=AB,所以△CEF≌△ACB(AAS) ,所以CE=AC=7 cm.①当点E在射线BC 上移动时，BE=CE+BC=7+3=10(cm) .因为点E从点B出发，在直线BC上以2 cm/s 的速度运动，所以点E运动了102=5(s).②当点E在射线CB 上运动时，BE=AC−BC=7−3=4(cm).因为点E 从点B出发，在直线BC上以2 cm/s 的速度运动，所以点E运动了42=2(s).综上所述，当点E运动5 s 或2 s时，CF=AB .
三、解答题
14．如图，点C在线段BD上，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E.试说明：AC＝DC.
解：在△ABC和△DEC中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠A＝∠D，,AB＝DE，,∠B＝∠E，)) 所以△ABC≌△DEC(ASA)，所以AC＝DC
15．如图，∠C＝∠D＝90°，∠CBA＝∠DAB.
(1)试说明：△ABC≌△BAD；
(2)若∠DAB＝70°，则∠CAB＝____°.
解：(1)在△ABC和△BAD中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(∠C＝∠D＝90°，,∠CBA＝∠DAB，,AB＝BA，))) ∴△ABC≌△BAD(AAS)
(2)∵∠DAB＝70°，∠D＝90°，∴∠DBA＝90°－70°＝20°，由(1)知△ABC≌△BAD，∴∠CAB＝∠DBA＝20°，故答案为：20
16．如图，已知点B，F，C，E在直线l上，点A，D在直线l的异侧，且AC∥DF，AC＝DF；
(1)请你添加一个适当的条件：__________________，使得△ABC≌△DEF.结合所添加的条件说明△ABC≌△DEF；
(2)若BE＝20，BF＝6，求FC的长．
解：(1)∠ABC＝∠DEF(答案不唯一)
因为AC∥DF，所以∠ACB＝∠DFE.在△ABC和△DEF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠ABC＝∠DEF，,∠ACB＝∠DFE，,AC＝DF，)) 所以△ABC≌△DEF(AAS)
(2)因为△ABC≌△DEF，所以BC＝EF.所以BC－CF＝EF－CF，即BF＝CE＝6.因为BE＝20，所以FC＝BE－BF－CE＝20－6－6＝8
17．如图，已知△ABC≌△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线．
(1)试说明：AD＝A′D′；
(2)把上述结论用文字叙述出来：______________________________________；
(3)请你再写出一条其他类似的结论：___________________________________．
解：(1)因为△ABC≌△A′B′C′，所以∠B＝∠B′，AB＝A′B′，∠BAC＝∠B′A′C′，又因为AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，所以∠BAD＝∠B′A′D′，在△ABD和△A′B′D′中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠B＝∠B′，,AB＝A′B′，,∠BAD＝∠B′A′D′，)) 所以△ABD≌△A′B′D′(ASA)，所以AD＝A′D′
(2)全等三角形的对应角的平分线相等
(3)答案不唯一，如：全等三角形的对应边上的高(或中线)相等
18．如图，AC=BC，D是BC上一点，∠ADE=∠C .
(1)如图①，若∠C=90∘，∠DBE=135∘，试说明：
①∠EDB=∠A ；
解：因为∠ADE=∠C=90∘，所以∠EDB+∠ADC=90∘，∠A+∠ADC=90∘，所以∠EDB=∠A .
②DA=DE .
在AC上截取CF=CD，连接FD ，如图①，
因为∠C=90∘ ，所以
∠CFD=∠CDF=45∘ ，
所以∠AFD=135∘=∠DBE .
因为AC=BC，所以AC−CF=BC−CD ，
即AF=BD.由①知∠A=∠BDE .
在△AFD和△DBE中，&∠A=∠BDE,&AF=DB,&∠AFD=∠DBE,
所以△AFD≌△DBE(ASA)，所以DA=DE .
(2)如图②，请直接写出当∠DBE与∠C 之间满足什么数量关系时，总有DA=DE 成立.
当∠DBE=90∘+12∠C时，总有DA=DE 成立.
【解析】如图②，在CA 上截取CM=CD，连接MD，因为AC=BC ，所以AM=BD.易得∠ADB=∠A+∠C ，∠ADB=∠ADE+∠BDE.又因为∠ADE=∠C ，所以∠A=∠BDE.易知∠CMD=90∘−12∠C ，所以∠AMD=90∘+12∠C.当∠DBE=90∘+12∠C 时，∠DBE=∠AMD，所以此时△AMD≌△DBE(ASA) ，所以AD=DE .
19．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC.
(1)如图①，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N.试说明：MN＝AM＋BN；
(2)如图②，若过点C在△ABC内作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N，则(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．
解：(1)因为AM⊥MN，BN⊥MN，所以∠AMC＝∠CNB＝90°，所以∠MAC＋∠ACM＝90°，因为∠ACB＝90°，所以∠NCB＋∠ACM＝90°.所以∠MAC＝ ∠NCB.在△AMC和△CNB 中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠AMC＝∠CNB，,∠MAC＝∠NCB，,AC＝CB，)) 所以△AMC≌△CNB(AAS).所以AM＝CN，MC＝BN.因为MN＝CN＋MC，所以MN＝AM＋BN
(2)不成立，理由如下：因为AM⊥MN，BN⊥MN，所以∠AMC＝∠CNB＝90°，所以∠MAC＋∠ACM＝90°，因为∠ACB＝90°，所以∠NCB＋∠ACM＝90°，所以∠MAC＝∠NCB，在△AMC和△CNB中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠AMC＝∠CNB，,∠MAC＝∠NCB，,AC＝CB，)) 所以△AMC≌△CNB(AAS)，所以AM＝CN，MC＝BN.因为MN＝MC－CN，所以MN＝BN－AM.所以(1)中的结论不成立
20．【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角尺(在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC；在△DEF中，∠DEF＝90°，∠EDF＝30°)，并提出了相应的问题．
【发现】(1)如图①，将两个三角尺互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段DF上时，过点A作AM⊥DF，垂足为M，过点C作CN⊥DF，垂足为N，易证△ABM≌△BCN，若AM＝2，CN＝7，则MN＝___________；
【答案】9
【类比】(2)如图②，将两个三角尺叠放在一起，当顶点B在线段DE上，且顶点A在线段EF上时，过点C作CP⊥DE，垂足为P，猜想线段AE，PE，CP之间的数量关系，并说明理由；
【拓展】(3)如图③，将两个三角尺叠放在一起，当顶点A在线段DE上且顶点B在线段EF上时，若AE＝5，BE＝1，连接CE，则△BCE的面积为___________．
解：(2)PE＝CP－AE.理由如下：
因为∠ABC＝90°，所以∠ABE＋∠CBE＝90°.
因为CP⊥BE，所以∠CPB＝90°.
所以∠BCP＋∠CBP＝90°.所以∠ABE＝∠BCP.
因为∠AEB＝90°，所以∠AEB＝∠CPB＝90°.
在△ABE和△BCP中，
因为∠AEB＝∠CPB，∠ABE＝∠BCP，AB＝BC，
所以△ABE≌△BCP(AAS)．
所以AE＝BP，BE＝CP.
因为BE＝BP＋PE，
所以PE＝BE－BP＝CP－AE.
所以PE＝CP－AE.
(3)eq \f(1,2)
21．如图，在△ABC中，∠C=90∘ ，BC=AC，D为直线BC上一动点，连接AD.在直线AC的右侧作AE⊥AD ，且AE=AD，过点E作AC的垂线，垂足为N .
(1)如图①，当点D在线段BC上时,判断线段EN与BC 之间的关系，并说明理由.
解：EN//BC，EN=BC .理由如下：
根据题意可知EN⊥AC，BC⊥AC ，
所以∠ANE=∠CNE=90∘ ，
因为∠C=90∘ ,
所以∠C=∠CNE.所以EN//BC .
因为AE⊥AD，所以∠DAE=90∘ .
易知∠DAC+∠ADC=∠DAC+∠EAN=90∘ ，
所以∠ADC=∠EAN .
又因为∠ACD=∠ENA，AD=EA ，
所以△ADC≌△EAN(AAS)，所以AC=EN .
因为AC=BC，所以EN=BC .
(2)连接图①中的B，E交直线AC于点M ，我们很容易发现MN=MC.如图②，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交直线CA于点M，线段EN和线段BC 之间的关系有没有变化？此时MN=MC吗？说明理由.
线段EN与BC之间的关系不变，MN=MC .理由如下：
易知∠DAC+∠ADC=90∘ ，
∠DAC+∠EAN=180∘−∠DAE=90∘ ，所以
∠ADC=∠EAN .
同(1)可得，EN//BC，△EAN≌△ADC，所以EN=AC .
因为BC=AC，所以EN=BC .
又因为∠EMN=∠BMC，∠ENM=∠BCM ，
所以△MEN≌△MBC(AAS)，所以MN=MC .
(3)如图③，当点D在线段CB的延长线上时，连接BE交AC于点M，当AC=8，CM=3时，请直接写出△ABD和△ABE的面积.
S△ABD=24,S△ABE=88.
【解析】当点D在线段CB 的延长线
上时，同理可得NE=BC=AC=8，△EAN≌△ADC ，
△MEN≌△MBC ，
所以MN=CM=3，AN=DC ，
所以CN=MN+CM=6 .
所以AN=AC+CN=8+6=14 ，
所以DC=14 ，
所以BD=DC−BC=14−8=6 ，
所以S△ABD=12BD⋅AC=12×6×8=24 .
又因为△MEN≌△MBC，所以S△MEN=S△MBC .
S△ABE=S△ABC+S△MBC+S△AEN−S△MEN=S△ABC+S△AEN ，
所以S△ABE=12×8×8+12×8×14=88 .