北师大版（2024）探究三角形全等的条件第3课时教案

这是一份北师大版（2024）探究三角形全等的条件第3课时教案，共5页。

解题大招 利用“SAS”说明三角形全等
类型一 已知两边相等，通过找两边的夹角相等判定两个三角形全等(SAS)［夹角相等呈现的方式：①公共角（部分公共）;②对顶角;③垂直］。
例1 如图，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2.试说明：BC=DE。
解：因为∠1=∠2，所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE。
在△ABC与△ADE中，因为AB=AD，∠BAC=∠DAE，AC=AE，
根据三角形全等的判定条件“SAS”，所以△ABC≌△ADE。所以BC=DE。
类型二 已知有一边和该边的一个邻角对应相等，找该角的另一边对应相等判定两个三角形全等(SAS)。
例2 如图，点B，C，F，E在同一条直线上，AB=DE，BF=CE，∠B=∠E。试说明：AC∥DF。
解：因为BF=CE，所以BF-FC=CE-FC，即BC=EF。
在△ABC和△DEF中，因为AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，
根据三角形全等的判定条件“SAS”，
所以△ABC≌△DEF。所以∠ACB=∠DFE。所以∠ACF=∠DFC。所以AC∥DF。
培优点 巧用截长补短法构造全等三角形
例 如图①，已知AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，点E在CD上，试说明：AB=AC+BD。
解：(截长法)如图①，在AB上截取AF=AC，连接EF。
因为AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，所以∠1=∠2，∠3=∠4。
在△ACE和△AFE中，因为AC=AF,∠1=∠2,AE=AE,
所以△ACE≌△AFE(SAS)，所以∠C=∠5(全等三角形的对应角相等)。
因为AC∥BD，所以∠C+∠D=180°。因为∠5+∠6=180°，所以∠D=∠6。
在△BEF和△BED中，因为∠6=∠D,∠3=∠4,BE=BE，
所以△BEF≌△BED(AAS)，所以BF=BD，所以AF+BF=AC+BD，即AB=AC+BD。
另解：(补短法)如图②，延长AC到点F，使AF=AB，连接EF。
在△AEF和△AEB中，因为AF=AB,∠1=∠2,AE=AE,
所以△AEF≌△AEB(SAS)，所以EF=BE，∠F=∠3。
因为∠3=∠4，所以∠F=∠4。因为AC∥BD，所以∠5=∠D。
在△CEF和△DEB中，因为∠5=∠D，∠F=∠4，EF=EB，
所以△CEF≌△DEB(AAS)，所以CF=DB。
因为AB=AF=AC+CF，所以AB=AC+BD。
方法技巧
截长补短法
说明一条线段的长度等于两条线段的长度的和(差)时，常用截长补短法。截长，即在长线段上截取一段，使之等于其中一条短线段长，然后证明剩下的线段长等于另一线段长；补短，即延长短线段，使延长后的线段与长线段的长相等，再证明延长部分的线段长等于另一条短线段的长。
教学目标
课题
第3课时 利用“边角边”判定三角形全等
授课人
素养目标
1.经历画图比较得出“SAS”结论的过程，探索并正确理解三角形全等的条件“SAS”。
2.会用“SAS”条件说明两个三角形全等及进行简单的应用，培养推理能力和表达能力，增强学生的数学应用意识。
3.了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条件。
教学重点
通过画图比较，得出SAS结论的过程及应用。
教学难点
探索“边边角”能否用于判定两个三角形全等。
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：回顾导入，引出新课
【回顾引入】
1.我们已经学过了哪几种判定两个三角形全等的方法?
边边边(SSS)，角边角(ASA)，角角边(AAS)。
2.如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种可能的情况呢?
每种情况下得到的三角形都全等吗？
接下来就让我们一起来探讨吧！
【教学建议】
教师待学生思考后可请代表发言。
设计意图
回忆学过的三角形全等的条件，归纳总结，为学习新课做铺垫。
活动二：实践探究，获取新知
探究点1 利用“边角边”判定三角形全等
由活动一第2问探讨的结果可知，
已知一个三角形的两条边和一个角，有以下几种情况：
师：它们能判定两个三角形全等吗？
师：我们先来看第一种情况：如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角，情况会怎样呢？
操作1教师将同学们分为几个小组，小组合作，选择两条线段和一个角作为三角形的两边及其夹角，并用尺规作出这个三角形。
（以下示例供教师参考：比如三角形两条边分别为2.5cm，3.5cm，它们所夹的角为40°）
【教学建议】
在着手解决问题之前，建议引导学生回顾上节课探究问题的归纳推理过程，增强有意识地进行归纳推理的自觉性。
设计意图
学生通过画图、剪纸等一系列活动，获得三角形全等的条件，让学生在操作中主动
教学步骤
师生活动
获取数学知识，培养了学生自学、观察、分析及归纳总结的能力。
问题1 你作的三角形与同伴作的一定全等吗？
全等。
操作2 尺规作图画出一个△A′B′C′，使A′B′=AB，A′C′=AC，∠A′=∠A(即两边和它们的夹角对应相等）。把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
全等。
师生共同总结结论：
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。
用法：在△ABC和△A′B′C′中，
因为AB＝A′B′，∠ABC＝∠A′B′C′，
BC＝B′C′，
根据三角形全等的判定条件“SAS”，
所以△ABC≌△A′B′C′。
问题2 回顾上述作图过程，你能总结“已知三角形的两边及其夹角，用尺规作这个三角形”的方法和步骤吗？
如图，已知线段a，c，∠α，用尺规作△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠α。
例1 如果AB=CB，∠ABD=∠CBD，那么△ABD和△CBD全等吗?
【教学建议】
教学中教师注意适时渗透分类和将一般转化为特殊的数学思想方法。
教学步骤
师生活动
解：在△ABD和△CBD中，因为AB=CB，∠ABD=∠CBD，BD=BD，
根据三角形全等的判定条件“SAS”，所以△ABD≌△CBD。
【对应训练】
教材P104随堂练习第1，2题。
活动三：操作探究，巩固提升
师：下面我们来看第二种情况：如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角，情况会怎样呢？
操作：（1）如图，已知△ABC的AB边和边长为l的AC边，以及AC边的对角∠B，你能用尺规确定顶点C的位置吗？
由学生作图后回答。
（2）把你作的三角形与同伴作的进行比较，由此你发现了什么？与同伴进行交流。
发现：顶点C可能存在两个位置，所以两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等。
例 下列条件中，不能说明△ABC≌△DEF的是（ C ）
A.AB=DE，∠B=∠E，BC=EF
B.AB=DE，∠A=∠D，AC=DF
C.BC=EF，∠B=∠E，AC=DF
D.BC=EF，∠C=∠F，AC=DF
解析：要用两条边及一个角判断能不能使△ABC≌△DEF，应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，只有选项C的条件不符合。
【对应训练】
如图，B，E，C，F四点在同一条直线上，AC=DE，∠ACB=∠DEF，添加一个条件，不一定能使△ABC≌△DFE的是（ C ）
A．BE=FC B．∠B=∠F
C．AB=DF D．∠A=∠D
本节课归纳总结：
应用“SAS”证明两个三角形全等的“两点注意”：
(1)对应：“SAS”包含“边”“角”两种元素，一定要注意元素的“对应”关系。
(2)顺序：在应用时一定要按边、角、边的顺序排列条件，不能出现边、边、角(或角、边、边)的错误，因为边边角(或角边边)不能保证两个三角形全等。
【教学建议】
教师提示：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等。解题时要根据已知条件的位置关系来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的。
设计意图
1.进一步学习三角形的画法，从操作中体会三角形全等的条件。
2.使学生认识到“边边角”不能判定两个三角形全等，只有两边和它们的夹角对应相等才能判定两个三角形全等。
教学步骤
师生活动
活动四：随堂训练，课堂总结
【随堂训练】《优教-同步课堂-AI备授课-互动课堂》相应课时随堂训练。
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.通过两边及其夹角判定三角形全等的定理是什么？
2.已知三角形的两边及其夹角，如何用尺规作这个三角形？
3.两边及其中一边的对角分别相等能判定三角形全等吗？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P106～109习题4.3第5，6，10，15题。
2.《优教-同步课堂-资源超市-试卷》相应课时训练。
板书设计
第3课时 利用“边角边”判定三角形全等
1.“边角边（SAS）”。
注意事项。
2.SSA不能判定全等。
教学反思
本节课的教学，突出了学生自主探究的特点，尤其在难点的突破过程中，一方面让学生体会分类讨论方法，确定探究的方向，另一方面设计学生动手画图、剪切等活动，训练了学生思维的多样性，增强了学生有意识地进行推理的自觉性，有效渗透了分类和将一般转化为特殊的数学思想。