人教A版 (2019)选择性必修 第三册离散型随机变量的数字特征教学设计

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册离散型随机变量的数字特征教学设计，共25页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第2课时 离散型随机变量的方差

一、教学目标
1.通过具体实例，理解离散型随机变量的方差的概念；
2.能解决与离散型随机变量的方差相关的数学问题及实际问题中的方差的求解问题；
3.能解决一些与稳定性、离散程度有关的简单问题与决策性问题.

二、教学重难点
重点：离散型随机变量的方差、标准差的概念及求解
难点：应用离散型随机变量的方差、标准差解决实际问题.

三、教学过程
（一）复习回顾
师生活动：教师提出问题，学生思考回答，教师完善.
思考1：离散型随机变量的均值或数学期望的定义是什么？
答：一般地，若离散型随机变量X的概率分布列如下表所示：
则称EX=x1p1+x2p2+⋯+xipi+⋯+xnpn＝i＝１nxipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．
思考2：求离散型随机变量X的均值的一般步骤是什么？
答：求离散型随机变量X的均值的一般步骤：
(1)理解离散型随机变量X的意义，写出X所有可能的取值；
(2)求出X取每个值的概率Px=k，即分布列，也可以用表格的形式表示；
(3)利用离散型随机变量的均值的定义求EX.
思考3：离散型随机变量的均值的性质有哪些？
答：离散型随机变量的均值的性质：
E(aX+b)=aE(X)+b，特别地：
(1)当a=0时，E(b)=b；
(2)当a=1时，E(X+b)=E(X)+b；
(3)当b=0时，E(aX)=aE(X)；
说明：随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布“集中趋势”.因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小，所以还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征.
思考4：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛．根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示．
如何评价这两名同学的射击水平？
答：通过计算可得，E(X)=6×0.09+7×0.24+8×0.32+9×0.28+10×0.07=0.8，
E(Y)= 6×0.07+7×0.22+8×0.38+9×0.30+10×0.03=0.8．
因为E(X)= E(Y)，两个均值相等，所以根据均值不能区分这两名同学的射击水平.那么我们就还需要考虑除了击中环数的均值外，还有哪些量可以来评价射击水平．
这里，我们就来考虑稳定性，即选手射击击中目标靶环数的离散程度.下图分别是X和Y的概率分布图，

比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，因此，乙同学的射击成绩更稳定．
设计意图：通过复习均值的有关知识及具体的问题情境，引发学生思考，为引入离散型随机变量方差的概念做好铺垫.
（二）探究新知
任务一：离散型随机变量的方差的概念
探究：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度？
师生活动：教师提出问题并引导：在统计中，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的．比如，一组样本数据x1，x2，…，xn，设其均值为x，则其方差即为(x1−x)2，(x2−x)2，…，(xn−x)2的平均值，即s2=1n((x1−x)2+(x2−x)2+…+(xn−x)2)．
思考1：类比样本方差反映数据的波动情况，随机变量的离散程度能否用可能取值与均值“偏差平方的平均值”来度量呢？
答：设离散型随机变量X的分布列如下表所示：
考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方x1−EX2，x2−EX2，…，xn−EX2．因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度．
总结：离散型随机变量X的方差的定义：
设离散型随机变量X的分布列如下表所示：
则称
D(X)=x1−EX2p1+x2−EX2p2+…+xn−EX2pn=∑ni=1xi−EX2Pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)．
同时，称D(X)为随机变量X的标准差，记为σ(X)．
思考2：随机变量方差的意义是什么？
答：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散．
思考3：如何求随机变量的方差？
答：求离散型随机变量X的方差的步骤：
(1)理解随机变量X的意义，写出X的所有可能值；
(2)求出X取每个值的概率，即X得分布列，也可用表格的形式表示；
(3)计算E(X)；
(4)计算DX.
思考4：一般地，如果随机变量X服从两点分布，则DX=？
答：若随机变量X服从两点分布，则E(X)=p，
所以DX=0−p2×1−p+1−p2×p=p1−pp+1−p=p1−p.
思考5：根据以上方差的知识，你能评价一下上述问题中两名同学射击成绩的稳定性吗？
师生活动：学生自主完成，教师评价.
答：根据数据，E(X)=8，E(Y)=8，则
DX=∑10i=6i−82PX=i=1.16，D(X)=1.007；
DY=∑10i=6i−82PX=i=0.92，D(Y)=0.959．
因为DYDY，所以投资股票A比投资股票B的风险高．
说明：在实际中，可以选择适当的比例投资两种股票，使期望收益最大或风险最小．
总结：利用离散型随机变量的均值和方差的意义解决实际问题的步骤：
(1)比较均值，离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平更高；
(2)在均值相等或接近的情况下计算方差 .方差反映了离散型随机变量取值的离散程度，通过计算方差，分析一下谁的水平发挥的相对更稳定；
(3)依据均值和方差作出结论.
设计意图：通过例题的分析与解答，帮助学生巩固方差在实际生活中的应用.
（四）课堂练习
1.若一组数据a1,a2,a3的平均数为4，方差为3，那么数据2a1+2,2a2+2,2a3+2的平均数和方差分别是( )
A. 10，12B. 10，14C. 4，3D. 6，3
【答案】A
解：因为一组数据a1,a2,a3的平均数为4，方差为3，
所以数据2a1+2,2a2+2,2a3+2平均数为2×4+2=10，
方差为22×3=12．
故选：A．
2.设a∈(0,13)，随机变量X的分布列如表所示，随机变量Y满足Y=3X+2，则当a在(0,13)上增大时，关于D(Y)的表述，下列正确的是( )
A. D(Y)增大B. D(Y)减小
C. D(Y)先增大后减小D. D(Y)先减小后增大
【答案】A
解：由题意可得，2b+b−a+a=1，解得b=13，
则随机变量X的分布列为：
所以E(X)=−2×23+(−1)×(13−a)+0×a=a−53，
故D(X)=23×(−2−a+53)2+(13−a)×(−1−a+53)2+a×(0−a+53)2=−a2+73a+29，
又Y=3X+2，
所以D(Y)=9D(X)=9(−a2+73a+29)=−9a2+21a+2，
因为函数f(a)=−9a2+21a+2的对称轴为a=76，
又a∈(0,13)，
所以函数f(a)在(0,13)上单调递增，即D(Y)增大．
故选：A．
3.已知随机变量X的分布列如表所示：b>a
则DX的最大值是 ．
【答案】107156
解：由题知13+b−a+b+a=1，解得b=13，
则E(X)=a3+13−a+23+2a=1+43a，
E(X2)=a23+13−a+43+4a=a23+3a+53，
从而D(X)=E(X2)−[E(X)]2
=a23+3a+53−(1+43a)2
=−139a2+a3+23
=−139(a−326)2+107156，
因为b−a>0,b+a>0，
所以−13