高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册离散型随机变量的数字特征课后复习题

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一、单选题
1．（2022春·江苏常州·高二校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．离散型随机变量的均值是上的一个数
B．离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平
C．若离散型随机变量的均值，则
D．离散型随机变量的均值
【答案】B
【分析】利用离散型随机变量的均值的定义即可判断选项AB；
结合离散型随机变量的均值线性公式即可判断选项C；
由离散型随机变量的均值为即可得D选项.
【详解】对于，离散型随机变量的均值是一个常数，不一定在上，
故错误，
对于B，散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，
故B正确，
对于C，离散型随机变量的均值，
则，
故C错误，
对于D，离散型随机变量的均值，
故D错误．
故选：B．
2．（2022春·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期中）某项上机考试的规则是：每位学员最多可上机考试3次，一旦通过，则停止考试；否则一直到3次上机考试结束为止.某学员一次上机考试通过的概率为，考试次数为X，若X的数学期望，则p的取值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据独立重复实验的概率计算方法求出随机变量X的分布列，根据数学期望的公式即可计算p的范围.
【详解】考试次数的所有可能取值为1，2，3，
，，，
∴，
即，解得或，
又，故．
故选：B.
3．（2022春·河南南阳·高二邓州市第一高级中学校校考期末）一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等、乙等和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利（ ）
A．36元B．37元C．38元D．39元
【答案】B
【分析】根据离散型随机变量的分布列，即可根据期望的公式进行求解.
【详解】由题意可得：设这台机器每生产一件产品可获利X，则X可能取的数值为50，30，，所以X的分布列为：，，，所以这台机器每生产一件产品平均预期可获利为：（元）
故选：B
4．（2022春·北京顺义·高二统考期末）已知离散型随机变量X的分布列如下表，则X的数学期望等于（ ）
A．0.3B．0.8C．1.2D．1.3
【答案】D
【分析】根据分布列的性质求出，再根据期望公式计算可得；
【详解】解：依题意可得，解得，
所以；
故选：D
5．（2023秋·辽宁·高二辽河油田第二高级中学校考期末）在采用五局三胜制（先取得三局胜利的一方，获得最终胜利）的篮球总决赛中，当甲队先胜2场时，因疫情暴发不得不中止比赛.已知甲､乙两队水平相当，每场甲､乙胜的概率都为，总决赛的奖金为80万元，总决赛的胜者获得全部奖金.根据我们所学的概率知识，甲队应分得的奖金为（ ）万元.
A．80B．70C．50D．40
【答案】B
【分析】奖金额的值为0和80，计算出概率后由期望公式计算出期望即得．
【详解】设甲队应分得的奖金为万元，则，80，.
故选：B．
二、多选题
6．（2022春·河北承德·高二校联考阶段练习）已知随机变量X的分布列如下表所示．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】利用概率性质即可列方程组求得m、n，则可利用定义求得期望
【详解】依题意得，解得，，，
故选：AC．
7．（2022春·广东·高二校联考阶段练习）若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据随机变量服从两点分布推出，根据公式先计算出、，由此分别计算四个选项得出结果．
【详解】随机变量服从两点分布，其中，，
，
，
在A中，，故A正确；
在B中，，故B正确；
在C中，，故C错误；
在D中，，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题
8．（2023秋·辽宁营口·高二统考期末）掷一枚质地均匀的骰子，若将掷出的点数记为得分，则得分的均值为______.
【答案】
【分析】根据离散形随机变量的均值直接求出.
【详解】设得分为，则可能的取值为1,2,3,4,5,6，
且，其中，
则得分的均值为，
故答案为：
9．（2022春·山西吕梁·高二校考期中）已知离散型随机变量X的分布列如下表，则_________.
【答案】
【分析】根据分布列利用期望的公式求解即可.
【详解】解：由分布列可知，
故答案为：.
10．（2022·高二课时练习）若某一随机变量X的分布为，且，则实数______．
【答案】6
【分析】根据概率和为1可得，根据期望的公式即可求解.
【详解】由分布列可知：，
又
故答案为：6
11．（2022春·安徽滁州·高二统考期末）某棉纺厂为检测生产的棉花质量，从一批棉花中随机抽取了根棉花纤维测量它们的长度棉花纤维的长度是棉花质量的一个重要指标，所测得数据都在区间单位：中，其频率分布直方图如图所示，现从这一批棉花中任取根棉花纤维，其中长度超过的棉花纤维数量为，则的均值为______．
【答案】##
【分析】，计算出样本中长度超过的棉花纤维的数量，求出从这一批棉花中任取根棉花纤维，其中长度超过的棉花纤维的概率，再根据的可能取值为，，，，求期望即可．
【详解】解：长度超过的棉花纤维共有：根，现从这一批棉花中任取根棉花纤维，其中长度超过的棉花纤维的概率为，
从这一批棉花中任取根棉花纤维，其中长度超过的棉花纤维数量为，则的可能取值为，，，，
因为,故
故答案为：．
12．（2022春·山西吕梁·高二校联考期中）将一个各面都涂了油漆的正方体切割为27个同样大小的小正方体，经过充分搅拌后，从中随机取1个小正方体，记它的油漆面数为，则__________.
【答案】2
【分析】根据题意得出的所有可能取值为，根据涂3面油漆，2面油漆，1面油漆，0面油漆的小正方体的个数，计算取每个值时的概率，从而求出的值．
【详解】的所有可能取值为，
涂3面油漆的小正方体有8个；涂2面油漆的小正方体有12个；
涂1面油漆的小正方体有6个；涂0面油漆的小正方体有1个；
则，，，，
所以．
故答案为：2．
13．（2023·高二课时练习）已知随机变量的分布为，则______．
【答案】13
【分析】根据分布列求出数学期望，再用公式即可求得的值.
【详解】解：由随机变量的分布为，可得，
所以.
故答案为：13.
14．（2023·高二单元测试）在掷一枚图钉的随机试验中，令，若随机变量的分布为，则___________.
【答案】##
【分析】根据分布列的性质可求得，根据数学期望公式可求得结果.
【详解】，，.
故答案为：.
四、解答题
15．（2023秋·辽宁营口·高二统考期末）某一部件由4个电子元件按如图方式连接而成，4个元件同时正常工作时，该部件正常工作，若有元件损坏则部件不能正常工作，每个元件损坏的概率为，且各个元件能否正常工作相互独立.
(1)当时，求该部件正常工作的概率；
(2)使用该部件之前需要对其进行检测，有以下2种检测方案：
方案甲：将每个元件拆下来，逐个检测其是否损坏，即需要检测4次；
方案乙：先将该部件进行一次检测，如果正常工作则检测停止，若该部件不能正常工作则需逐个检测每个元件；
进行一次检测需要花费a元.
①求方案乙的平均检测费用；
②若选方案乙检测更划算，求p的取值范围.
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据题意利用独立事件的概率乘法公式运算求解；
（2）①根据题意求方案乙的分布列和期望；②以期望的大小为依据，列式运算求解.
【详解】（1）各个元件能正常工作的概率均为，
且4个元件正常工作相互独立，4个元件同时正常工作的概率为
即该部件正常工作的概率为
（2）①设X为检测费用，则有：
当部件正常工作时，只需检测一次，则，，
当部件正不能常工作时，需检测5次，则，，
所以X的分布列为
故方案乙的平均检测费用为；
②方案甲的平均检测费用为4a，若选方案乙检测更划算，则，
因为，且，解得，
故p的取值范围是.
16．（2023秋·江苏南京·高二南京市第九中学校考期末）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得1分，没有命中得0分；向乙靶射击一次，命中的概率为，命中得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．
(1)求该射手恰好命中两次的概率；
(2)求该射手的总得分的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】(1)由题意可得恰好命中两次包含甲靶击中两次且乙靶不中和甲靶击中一次和乙靶击中即可求得答案；
(2) 依据题意可知的所有可能取值为，求出对应的概率，再根据期望公式计算即可.
【详解】（1）设“该射手恰好命中两次”为事件，
．
（2）由题意可得：
；
；
；
；
，
所以的分布列为：
所以．
17．（2022春·云南文山·高二统考期末）甲､乙两个同学进行答题比赛，比赛共设三个题目，每个题目胜方得1分，负方得0分，没有平局.比赛结束后，总得分高的同学获得冠军.已知甲在三个题目中获胜的概率分别为，各题目的比赛结果相互独立.
(1)求乙同学获得冠军的概率；
(2)用表示甲同学的总得分，求的分布列与期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】(1)根据乙同学获得冠军，则乙至少2个题目中获胜，分类讨论求概率即可；
(2)根据甲获胜题目数对应得分，求出概率，列出分布列求解.
【详解】（1）设乙在三个题目中获胜的事件依次记为，
所以乙同学获得冠军的概率为
.
（2）依题可知，的可能取值为，
所以，
，
，
.
即的分布列为
期望.
【能力提升】
一、单选题
1．（2022春·河南三门峡·高二校考阶段练习）体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一次发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为，发球次数为X，若X的数学期望，则P的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】计算学生每次发球的概率，求出期望的表达式，求解，可解出值.
【详解】根据题意，学生一次发球成功的概率为p，即，发球次数为2即二次发球成功的概率为，发球次数为3的概率为，则期望
，依题意有，
即，解得或，结合p的实际意义，可得.
故选：C．
2．（2022秋·河南南阳·高二南阳市第五中学校校考阶段练习）某实验测试的规则是：每位学生最多可做实验3次，一旦实验成功，则停止实验，否则一直做到3次为止.设某学生一次实验成功的概率为，实验次数为随机变量，若的数学期望，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先得到X的所有可能取值为1,2,3，再求出相应概率，计算得到X的数学期望，得到不等式后求解即可.
【详解】X的所有可能取值为1,2,3，
，，，
由，
解得或，
又因为，所以.
故选：A.
3．（2022春·安徽·高二校联考期末）数轴的原点处有一个质点，每隔一秒向左或向右移动一个单位，向左移动的概率为，向右移动的概率为，设三秒后质点的坐标为随机变量（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可能的取值为，分别求出其概率，由期望的公式可得答案.
【详解】可能的取值为，
，即质点向左平移3次，则，
，即质点向左平移2次，向右平移1次，则，
，即质点向左平移1次，向右平移2次，则
，即质点向右平移3次，则
所以.
故选：A
4．（2022春·湖北襄阳·高二统考期末）已知一个盒子里装有大小相同的个红球和个白球，从中依次不放回地取出个球，则取出的这个球中所包含白球个数的数学期望是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设取出的个球中白球个数为，计算出随机变量在不同取值下的概率，即可计算得出的值.
【详解】设取出的个球中白球个数为，则的可能取值有、、、，
则，，
，，
因此，.
故选：D.
二、多选题
5．（2023·全国·高二专题练习）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为，则下列结论正确的是（ ）
A．，
B．数列是等比数列
C．数列是等比数列
D．的数学期望
【答案】ACD
【分析】利用已知条件求出，，推出即可判断选项A；推出，得到说明数列是等比数列，再利用期望的公式求解即可判断.
【详解】由题知，，，
且，
；
则，；故A正确；
由上可得，
故，
则数列是等比数列，故B错误，C正确；
且；则，故D正确.
故选:ACD.
6．（2022春·河北张家口·高二统考期末）一种疾病需要通过核酸检测来确定是否患病，检测结果呈阴性即没患病，呈阳性即为患病，已知7人中有1人患有这种疾病，先任取4人，将他们的核酸采样混在一起检测.若结果呈阳性，则表明患病者为这4人中的1人，然后再逐个检测，直到能确定患病者为止；若结果呈阴性，则在另外3人中逐个检测，直到能确定患病者为止.则（ ）
A．最多需要检测4次可确定患病者
B．第2次检测后就可确定患病者的概率为
C．第3次检测后就可确定患病者的概率为
D．检测次数的期望为
【答案】AB
【分析】根据题意，利用相互独立事件的概念及概率乘法公式，结合随机变量分布列的期望公式，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，当患病者在混检的4人中时，第2次和第3次都未检测出患病者，则需要进行第4次检测，第4次可能检测到患者，若第4次还是阴性，则剩下未测者为患者，所以最多要检测4次可确定患病者，若患病者不在混检的4人中时，最多再检测2次就可确定患者，所以A正确；
对于B中，第2次检测后就可确定患病者有两种情况：
（1）患者在混检中并在逐个检测时第1次抽到他；
（2）患者不在混检中并在逐个检测时第1次抽到他，其概率为，所以B正确；
对于C中，第3次检测后可确定患病者有两种情况：1.患者在混检中并在逐个检测时第2次抽到他；2.患者不在混检中并在逐个检测时第1次末抽到他，
其概率为，所以错误；
对于D中，设检测次数为随机变量，则其分布列为
所以，故D错误.
故选：AB.
三、填空题
7．（2023·高二课时练习）一位射手向靶射击，直到命中为止，每次命中的概率均为0.6，现有4发子弹，则命中后剩余子弹的数目的期望______．
【答案】
【分析】由题意可知：X=0，1，2，3，计算出对应的概率，再由期望的计算公式即可得答案.
【详解】解：由题意可知：X=0，1，2，3，
当X=0时，表示前三次都没有射中，第四次还要射击，但结果不计，
所以；
当X=1时，表示前两次都没有射中，第三次射中，
所以；
当X=2时，表示第一次没有击中，第二次击中，
所以；P(X=0)=0.43；
当X=3时，表示第一次击中，
所以；
所以.
故答案为：
8．（2022春·吉林·高二校联考期末）一个袋中共有5个大小形状完全相同的红球、黄球和绿球，其中黄球有1个．每次从袋中拿一个小球，不放回，拿出黄球即停．记拿出的绿球个数为，且，则随机变量的数学期望______．
【答案】####1.5
【分析】讨论绿球的个数n，结合可得，进而知可能值为，求出对应的概率，即可求期望.
【详解】设绿球共有n个，
当，红球有3个，则，不符合；
当，红球有2个，则，不符合；
当，红球有1个，则，符合；
所以红球有1个，黄球有1个，绿球有3个，
故可能值为，且，
，
，
，
所以.
故答案为：
9．（2022春·北京·高二首都师范大学附属中学校考期中）从3台甲型彩电和2台乙型彩电中不放回地抽3次，每次抽取1台，设抽取的乙型彩电台数为，则________．
【答案】 ##1.2
【分析】确定的取值，计算每个取值的概率，可得分布列，求得期望.
【详解】设抽取的乙型彩电台数为，取值可能为：0,1,2，
则则，
，
；
所以的分布列为：
；
故答案为
四、解答题
10．（2023秋·河南南阳·高二统考期末）本次数学考试中共有12个选择题，每小题5分，共60分，在每小题给出的A，B，C，D四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本次考试的12个选择题中，甲同学会其中的10个，另外2个题只能随意猜；乙同学会其中的9个，其它3个题中有2个题各能排除2个错误选项，另外1个题能排除1个错误选项．
(1)设甲同学在本次考试中选择题得分为，求的分布列及均值；
(2)设乙同学在本次考试中选择题得分为，求的分布列及均值；
(3)求甲同学和乙同学在本次考试中选择题得分相同的概率．
【答案】(1)分布列见解析，；
(2)分布列见解析，；
(3).
【分析】(1)由条件求随机变量的所有可能取值，确定取各值的概率，即可确定其分布列和均值；
(2)由条件求随机变量的所有可能取值，确定取各值的概率，即可确定其分布列和均值；
(3)利用概率乘法公式和加法公式求概率.
【详解】（1）由已知随机变量的可能取值为50,55,60，
，，
，
所以随机变量的分布列为
；
（2）由已知随机变量的可能取值为45,50,55,60，
，
，
，
，
所以随机变量的分布列为
；
（3）因为，
，
，
所以甲同学和乙同学在本次考试中选择题得分相同的概率.
11．（2023秋·江西上饶·高二统考期末）伴随经济的飞速发展，中国全民健身赛事活动日益丰富，公共服务体系日趋完善．据相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到90%以上．健身之于个人是一种自然而然的习惯，之于国家与民族，则是全民健康的基础柱石之一．小王每天17∶00—18∶00都会参加一项自己喜欢的体育运动，运动项目有篮球、羽毛球两种．已知小王当天参加的运动项目只与前一天参加的运动项目有关，在前一天参加某类运动项目的情况下，当天参加各类运动项目的概率如下表所示：
(1)已知小王第一天打篮球，则他第三天做哪项运动的可能性较大？
(2)已知小王参加这两种体育运动一小时的能量消耗如下表所示：
问：要让小王前三天参加体育运动能量消耗总数的期望较大，小王第一天该参加哪项体育运动？（请用数据说明）
【答案】(1)打篮球
(2)打篮球
【分析】（1）根据小王第一天打篮球，先求出第二天分别参加运动项目的概率，再由此分别计算第三天分别参加运动项目的概率，再通过比较大小，即可求解；
（2）分两种情况讨论，小王第一天打篮球或打羽毛球，确定前三天的运动项目安排方法，写出运动能量消耗总数的所有可能取值，分别求出对应的概率，再结合期望公式，通过比较大小，即可求解．
【详解】（1）设分别表示打篮球，打羽毛球运动项目，分别表示第天进行运动项目的概率，
小王第一天打篮球，
小王第二天所做运动项目的概率分别为：，
小王第三天所做运动项目的概率分别为：，
，
，故小王第三天打篮球的可能性较大．
（2）若小王第一天打篮球，前三天的运动项目安排有：共4种，运动能量消耗总数用表示，所有可能取值为1500，1400，1300，
，
，
，
故(卡)；
若小王第一天打羽毛球，前三天的运动项目安排有：共4种，运动能量消耗总数用表示，所有可能取值为1400，1300，1200，
，
，
，
故(卡)，
，故小王第一天应该参加打篮球体育运动．
12．（2023秋·辽宁葫芦岛·高二葫芦岛第一高级中学校考期末）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
(1)求X的分布列；
(2)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？
【答案】(1)答案见解析
(2)应选
【分析】（1）由柱状图，易得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求得其相应概率，列出分布列；
（2）购买零件所需费用含两部分：一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，结合（1）分别求出、时费用的期望即可下结论.
【详解】（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，
10，11的概率分别为，
从而
所以的分布列为
（2）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，
当时，
当时，
可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选．
13．（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）甲、乙两队同学利用课余时间进行篮球比赛，规定每一局比赛中获胜方记为2分，失败方记为0分，没有平局.谁先获得8分就获胜，比赛结束.假设每局比赛甲队获胜的概率为.
(1)求比赛结束时恰好打了6局的概率；
(2)若现在是甲队以的比分领先，记表示结束比赛所需打的局数，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为
【分析】（1）分类讨论打完六局后甲胜与乙胜两种情况，利用独立事件的概率乘法公式即可得解；
（2）根据题意，分析接下去的对局数量，从而得到的可能取值，再利用独立事件的概率乘法公式求得各取值的概率，由此求得的分布列和数学期望.
【详解】（1）设恰好打了六局甲队获胜的概率为，恰好打了6局乙队获胜的概率为，
因为甲队打六局比赛获得胜利，等价于前五局甲三胜两负，第六局甲胜，
所以其概率为；
同理：乙队打六局比赛获得胜利的概率为；
所以，
所以比赛结束时恰好打了六局的概率为.
（2）因为甲队以的比分领先，所以甲队目前的战绩两胜一负，
所以接下去的比赛局数最少的情况是甲队取得两胜结束比赛，局数最多的情况是接下来的前三局甲队一胜两负，必须进行第四局才能结束比赛，
所以的可能取值为2，3，4，
则，
，
，
所以随机变量X的分布列为：
所以，即X的数学期望为.
14．（2022春·全国·高二专题练习）新冠抗疫期间，某大学应用数学专业的学生希望通过将所学的知识应用新冠抗疫，决定应用数学实验的方式探索新冠的传染和防控.实验设计如下：在不透明的小盒中放有大小质地相同的个黑球和个红球，从中随机取一球，若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则黑球替换该红球重新放回小盒中，此模型可以解释为“安全模型”，即若发现一个新冠患者，则移出将其隔离进行诊治.(注：考虑样本容量足够大和治愈率的可能性，用黑球代替红球)
(1)记在第次时，刚好抽到第二个红球，试用表示恰好第次抽到第二个红球的概率；
(2)数学实验的方式约定：若抽到第个红球则停止抽球，且无论第次是否能够抽到红球或第二个红球，当进行到第次时，即停止抽球；记停止抽球时已抽球总次数为，求的数学期望.(精确到小数点后位)
参考数据：，，
，.
【答案】（1）；（2）8.6.
【解析】（1）根据题意可得若第（）次是第一次取到红球，第次是第二次取到红球
则对应地有：，当取时，相加即可得解；
（2）根据题意的可能取值依次是，，…，，，求出相对应的概率，再利用期望公式，直接带入即可得解.
【详解】(1)若第（）次是第一次取到红球，第次是第二次取到红球
则对应地有：
则第次取球时个红球都被取出的所有可能情况的概率和为：
利用等比数列求和公式即可得：
(2)由题意可知，的可能取值依次是，，…，，
特别地，当时，对应的
由参考数据可得：
对应的数学期望为：
由参考数据可得：
【点睛】本题考查了类几何分布的概率和期望，考查了较高的计算能力，属于难题.
解决此类问题的关键点有：
（1）全面性，所有可能情况必须考虑到，做到不重不漏；
（2）补集思想的应用，根据全概率为进行求概率.
X
0
1
2
P
0.2
a
0.5
X
0
1
P
m
n
X
0
1
P
X
a
5a
P
0
1
2
3
4
0
1
2
3
2
3
4

0
1
2

50
55
60
45
50
55
60
前一天
当天
篮球
羽毛球
篮球
0.4
0.6
羽毛球
0.6
0.4
运动项目
篮球
羽毛球
能量消耗（卡）
500
400
16
17
18
19
20
21
22
X
2
3
4
P