人教A版 (2019)选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.3 离散型随机变量的数字特征教学设计

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7.3.2 离散型随机变量的方差教材分析本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，第七章《随机变量及其分布列》，本节课主本节课主要学习离散型随机变量的方差 本节本部分内容主要包括随机变量的均值和方差。本节课是前面学习完随机变量分布列的基础上进行研究的，知识上具有着承前启后的作用。随机变量的均值和方差是概率论和数理统计的重要概念，节课是从实际出发，通过抽象思维，建立数学模型，进而认知数学理论，应用于实际的过程。教学目标与核心素养重点难点重点：理解离散型随机变量的方差、标准差的概念及其求解 难点：利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题.课前准备多媒体教学过程教学反思课后通过对教学过程的反思与研究, 才能不断完善教学设计中的不足, 才能提升教材分析的能力和课堂教学实效.1. 多元展示, 多方评价. 在教学过程中我借问题牵引，保证了课堂教学的顺利实施；而在整个过程中，我对学生所作练习、疑问及时解析评价；学生之间、小组之间的互相评价补充，使学生共享成果分享喜悦，坚定了学好数学的信念，实现了预期目标.2. 创造性的使用教材. 有别于教材，我在教学中,让学生考察了分别考察了两类题型之后再引导学生进行归纳, 这样更贴近学生的认知水平， 学生课后反馈，效果较为理想.课程目标学科素养A. 通过实例,理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义.B.会求离散型随机变量的方差、标准差.C.会利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题.1.数学抽象：离散型随机变量的方差的概念2.逻辑推理：离散型随机变量的方差的性质 3.数学运算：求离散型随机变量的方差 4.数学建模：模型化思想教学过程教学设计意图核心素养目标问题导学随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势” .因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小，所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征.探究新知探究1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表1和表2所示：如何评价这两名同学的射击水平？E(X)= 8 ;E(Y)=8 因为两个均值相等，所以均值不能区分这两名同学的射击水平。表1X678910P0.090.240.320.280.07表2X678910P0.070.220.380.30.03射击水平除了要考虑击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度，图一和图二分别是X和Y的概率分布图：发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的设计成绩更稳定。探究2：怎样定量到留离散型随机变量取值的离散程度? 我们知道,样本方差可以度量一组样本数据的离散程度,它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的,一个自然的想法是,随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢?问题1.某人射击10次，所得环数分别是：1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；则所得的平均环数是多少？X1234P410310210110问题2.某人射击10次,所得环数分别是:1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；则这组数据的方差是多少？反映这组数据相对于平均值的集中程度的量一般地，若离散型随机变量X的概率分布列为：则称为随机变量X的方差，有时也记为Var(X).称σ(X)=DX为随机变量X的标准差。Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn离散型随机变量取值的方差 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量的取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度，方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散。因此，问题1中两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画它们成绩的稳定性。两名同学射击成绩的方差和标准差分别为:因为D(Y)E(Y),所以投资股票A的期望收益较大。（2)股票A和股票B投资收益的方差分别为D(X)=(-1)2x0.1+02x0.3+22x0.6-1.12=1.29,D(Y)=02x0.3+12x0.4+22x0.3-12=0.6.因为E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y),所以资股票A比投资股票B的风险高。利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤1.比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此,在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的平均水平高.2.在均值相等或接近的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳定.3.下结论.依据均值和方差做出结论.跟踪训练2. A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析， X1和X2的分布列分别为X12%8%12%X25%10%P0.20.50.3P0.80.2求：(1)在A、B两个项目上各投资100万元， Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)和D(Y2)；(2)根据得到的结论，对于投资者有什么建议？ 解：(1)题目可知，投资项目A和B所获得的利润Y1和Y2的分布列为：Y12812Y2510P0.20.50.3P0.80.2所以;;解：(2) 由(1)可知，说明投资A项目比投资B项目期望收益要高；同时，说明投资A项目比投资B项目的实际收益相对于期望收益的平均波动要更大.因此，对于追求稳定的投资者，投资B项目更合适;而对于更看重利润并且愿意为了高利润承担风险的投资者，投资A项目更合适.通过知识回顾，提出问题.通过具体的问题情境，引发学生思考积极参与互动，说出自己见解。从而引入离散型随机变量分布列方差的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。通过典例解析，提升对概念精细化的理解。让学生掌握方差的算法。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。通过典例解析，在具体的问题情境中，深化概率的理解。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。三、达标检测1．给出下列四个命题：①离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均值；②离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；③离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平；④离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值偏离于均值的平均程度．则正确命题应该是(　　)A．①④　 B．②③ C．①② D．③④D2．把下面X的分布列填写完整：并完成问题其中p∈(0,1)，则E(X)＝________，D(X)＝________.X01PP解析：而由已知分布列的性质有p＋x＝1，x=1-p E(X)＝0×(1-p)＋1×p＝p，∴D(X)＝(0－p)2(1-p)＋(1－p)2p＝p(1-p).答案：1-p； p； p(1-p)3.已知离散型随机变量X的分布列如下表.若E(X)=0,D(X)=1,a=　　　　　,b=　　　　　. X-1012Pabc112解析:由题知a+b+c=1112,-a+c+16=0,12×a+12×c+22×112=1,解得a=512,b=14. 答案:512　144.甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且野生动物的种类和数量也大致相等,而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别如下,甲保护区:X0123P0.30.30.20.2乙保护区:Y012P0.10.50.4试评定这两个保护区的管理水平.解:甲保护区违规次数X的数学期望和方差为E(X)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3,D(X)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差为E(Y)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,D(Y)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41.因为E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同,但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动,乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定,所以乙保护区的管理水平比甲高.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。