人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征精品学案及答案

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通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.
理解离散型随机变量均值的性质.
掌握两点分布的均值.
会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关的实际问题．
重点难点
1．重点：离散型随机变量均值的意义、性质及应用．
2．难点：对离散型随机变量均值的意义的理解．
课前预习 自主梳理
知识点一 离散型随机变量的均值
1．离散型随机变量的均值的概念
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…xnpn＝eq \( ∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1))xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称为期望．
2．离散型随机变量的均值的意义
均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．
3．离散型随机变量的均值的性质
若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为
于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
思考 离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系如何？
答案 (1)区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．
(2)联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值．
知识点二 两点分布的均值
如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.
自主检测
1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化．( )
随机变量的均值反映了样本的平均水平．( )
若随机变量X的均值E(X)＝2，则E(2X)＝4.( )
若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝P(X＝1)．( )
随机变量的均值与样本的平均值相同．( )
离散型随机变量的均值E(X)是一个随机数值.( )
随机变量的均值相同,则两个分布也一定相同.( )
若X服从两点分布,则E(X)=np.( )
【答案】（1）×（2）×（3）√（4）√（5）×（6）×（7）×（8）×
2.已知随机变量的分布列为，、、，则随机变量的期望为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据随机变量的期望公式，求出的值即可.
【详解】因为随机变量的分布列为，、、，
所以随机变量的期望.
故选：A.
3.若随机变量的概率分布列如下表：
则等于（ ）
A．2031B．12C．3.04D．15.2
【答案】A
【分析】先求出，再根据均值的性质可求出.
【详解】据题意，得，
所以.
故选：A.
【点睛】本题考查根据分布列求离散型随机变量的均值，以及根据均值求新的均值.
4.随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数的期望为（ ）
A．0.6B．1C．3.5D．2
【答案】C
【分析】写出分布列，然后利用期望公式求解即可．
【详解】抛掷骰子所得点数的分布列为
所以．
故选：．
【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．
5.某人进行一项实验，若实验成功，则停止实验，若实验失败，再重新实验一次，若实验3次均失败，则放弃实验，若此人每次实验成功的概率为，则此人实验次数的期望是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】列出实验次数的分布列，根据数学期望的数学计算公式即可求解.
【详解】由题意可得，每次实验成功的概率为，则失败的概率为，

，
，
则实验次数的分布列如下：
所以此人实验次数的期望是.
故选：B
新课导学
学习探究
环节一 创设情境，引入课题
对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率.但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征.
例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差.
本节课我们一起来认识离散型随机变量的均值.
离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律，但在解决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便．例如，要比较不同班级某次考试成绩，通常会比较平均成绩；要比较两名射箭运动员的射箭水平，一般会比较他们射箭的成绩（平均环数或总环数）以及稳定性．因此，类似于研究一组数据的均值和方差，我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差，它们统称为随机变量的数字特征．
【设计意图】通过谈话直接点明本节课题，让学生感受数学源于生活，学习数学是有用的.
问题1甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表7.3-1所示．
表7.3-1
如何比较他们射箭水平的高低呢？
【师生活动】：教师提出问题1,让学生思考、讨论、交流.
在学生讨论交流的同时，教师可以巡视指导，提示学生：由于射击环数所占的权重不同，在用数学方法解决这一问题时要考虑权重问题.
在学生充分交流讨论后，师生共同得出：
类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性．
假设甲射箭次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为，，，．甲次射箭射中的平均环数为
．
当足够大时，频率稳定于概率，所以稳定于
．
即甲射中平均环数的稳定值（理论平均值）为9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平．
同理，乙射中环数的平均值为
．
从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高．
求离散型随机变量X的均值的步骤：
(1)理解X的实际意义，写出X全部可能取值；
(2)求出X取每个值时的概率；
(3)写出X的分布列(有时也可省略)；
(4)利用定义公式EX=i=1nxipi求出均值
探究2. 已知X是一个随机变量，且分布列如下表所示.
环节二 观察分析，感知概念
一般地，若离散型随机变量X的分布列如表7.3-2所示，
表7.3-2
则称
为随机变量X的均值（mean）或数学期望（mathematical expectatin），数学期望简称期望．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．
【设计意图】通过具体的问题情境，引发学生思考，积极参与互动，说出自己的见解，从而引出离散型随机变量均值的概念，发展学生的数学运算和数学抽象核心素养.
例1 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？
【师生活动】教师先让学生思考，然后引导学生分析：
分析：罚球有命中和不中两种可能结果，命中时，不中时，因此随机变量服从两点分布．的均值反映了该运动员罚球1次的平均得分水平．
解：因为
，．
所以
．
即该运动员罚球1次得分X的均值是0.8．
环节三 抽象概括，形成概念
一般地，如果随机变量服从两点分布，那么
【设计意图】通过例1,巩固离散型随机变量均值的概念，同时引出两点分布均值的公式，培养学生的数学运算和数学抽象核心素养.
例2 抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值．
分析：先求出X的分布列，再根据定义计算X的均值．
解：X的分布列为
，．
因此
．
观察：掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数的均值为3.5．随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数．根据观测值的平均数（样本均值）绘制统计图，分别如图7.3-1（1）和（2）所示．观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别？
观察图7.3-1可以发现：在这12组掷骰子试验中，样本均值各不相同，但它们都在掷出点数X的均值3.5附近波动，且重复掷300次的样本均值波动幅度明显小于重复60次的．
事实上，随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动．随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小．因此，我们常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值．
【设计意图】通过例2,归纳出求离散型随机变量均值的步骤，规范学生求均值的思维过程.
思考：随机变量的均值与样本均值有何联系与区别？
探究：如果是一个离散型随机变量，将进行平移或伸缩后，其均值会怎样变化?即和(其中为常数)分别与有怎样的关系?
【设计意图】通过观察、思考、类比，从特殊例子归纳猜想，得出离散型随机变量均值的线性性质的一般规律.意在使学生的思维遵循认识问题的一般规律，也为培养学生善于观察思考，发现新问题、新知识，勇于探索，追求真理的思维习惯和科学精神.
设的分布列为
．
根据随机变量均值的定义
类似地，可以证明
．
你能给出证明吗？
．
一般地，下面的结论成立：
．
【设计意图】离散型随机变量的均值的性质
若X,Y是两个随机变量,且Y=aX+b,则有E(Y)=aE(X)+b,即随机变量X的线性函数的均值等于这个随机变量的均值E(X)的同一线性函数.特别地:
(1)当a=0时,E(b)=b,即常数的均值就是这个常数本身.
(2)当a=1时,E(X+b)=E(X)+b,即随机变量X与常数之和的均值等于X的均值与这个常数的和.
(3)当b=0时,E(aX)=aE(X),即常数与随机变量乘积的均值等于这个常数与随机变量的均值的乘积.
环节四 辨析理解 深化概念
例3猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表7.3-3所示．
表7.3-3
规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值．
【师生活动】教师指出：这是一个概率决策问题，也称为风险决策，并提出思考问题:我们如何利用数学方法进行决策？
学生思考后，教师引导学生分析本例题：
思考：如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大？
【师生活动】
教师指出：选择不同的猜歌顺序，X的分布列是不同的，不能直接进行比较，所以决策的原则是选择期望值E(X)大的猜歌顺序，这称为期望值原则.猜对的概率大表示比较容易猜，猜对的概率小表示比较难猜.
教师要求学生列出所有不同的猜歌顺序，分别求出X的分布列和均值，通过比较进行验证.
分析：根据规则，公益基金总额X的可能取值有四种情况：猜错A，获得0元基金；猜对A而猜错B，获得1000元基金；猜对A和B而猜错C，获得3000元基金；A，B，C全部猜对，获得6000元基金．因此X是一个离散型随机变量．利用独立条件下的乘法公式可求分布列．
解：分别用A，B，C表示猜对歌曲A，B，C歌名的事件，则A，B，C相互独立．
，，
，．
的分布列如表7.3-4所示．
表7.3-4
的均值为
如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大？
【设计意图】通过解决实际问题，了解风险决策的原则及一般方法.对于例3，选择不同的猜歌顺序，X的分布列是不同的，不能直接进行比较，所以决策的原则是选择期望值E(X)大的猜歌顺序，这称为期望值原则．猜对的概率大表示比较容易猜，猜对的概率小表示比较难猜．对于教科书边空中的问题，可以让学生列出所有不同的猜歌顺序，分别求出X的分布列和均值，通过比较进行验证．实际上，猜3首歌有6 种不同的顺序，不同顺序及其E(X)如表所示．
环节五 概念应用，巩固内化
例4根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：
方案1运走设备，搬运费为3800元；
方案2建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水；
方案3不采取措施．
工地的领导该如何决策呢？
分析：决策目标为总损失（投入费用与设备损失之和）越小越好．根据题意，各种方案在不同状态下的总损失如表7.3-5所示．
表7.3-5
方案2和方案3的总损失都是随机变量，可以采用期望总损失最小的方案．
解：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为，，．
采用方案1，无论有无洪水，都损失3800元．因此，
．
采用方案2，遇到大洪水，总损失为元；没有大洪水时，总损失为2000元．因此，
，
采用方案 3，
，，，
于是，，
，
．
因此，从期望损失最小的角度，应采取方案2．
教师最后指出：值得注意的是，上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的.一般地，我们可以这样来理解“期望总损失”：如果问题中的天气状况多次发生，那么采用方案2将会使总损失减到最小.不过，因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的.
【设计意图】例4也是利用期望值决策的问题．在教学中，重点是使学生领悟利用期望值决策的思想方法，同时也要了解期望值决策的局限性．随机变量的期望是一个理论上的均值，如果是大量重复地就同样的问题进行决策，期望值原则是一个合理的决策原则．例如，保险公司面对众多的客户，每份保单需要理赔金额的期望值对制定合理的保险费率具有重要的参考意义．如果是一次性决策的话，可以采用期望值原则决策，也可以采用其他的决策原则．
环节六 归纳总结,反思提升
1. 本节课学习的概念有哪些？
(1)离散型随机变量的均值：期望的概念：E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn
(2)离散型随机变量的均值的性质：期望的计算公式：E(aX+b)=aE(X)+b
(3)两点分布的均值：特殊随机变量的均值(两点分布的期望)：E(X)=p.
2.求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：
(1)确定取值：理解X的实际意义，写出X全部可能取值；
(2)求概率：求出X取每个值时的概率；
(3)写分布列：写出X的分布列(有时也可省略)；
(4)求均值：利用定义公式i=1nxipi求出均值
3.在解决问题时，用到了哪些数学思想？
（1）方法归纳：函数与方程、转化化归．
（2）常见误区：不会应用均值对实际问题作出正确分析．
【设计意图】采用师生共同归纳小结的方式，深化学生对 基础概念、基本理论的理解，同时培养学生宏观掌握知识的 能力.除了注重知识，还注重引导学生对解题思路和方法的 总结，可切实提高学生分析问题、解决问题的能力，并让学 生养成良好学习数学的方法和习惯.
环节七目标检测，作业布置
P66-67练习1、2、3题
P71习题7.3的2、3、4、6题
备用练习
1.已知离散型随机变量X的分布列如下：
则数学期望（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】利用已知条件，结合期望公式求解即可．
【详解】解：由题意可知：．
故选：D．
2.不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数的数学期望是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意，根据离散型分布列的计算步骤，结合数学期望的计算公式，可得答案.
【详解】当时，第次取出的必然是红球，而前次中，有且只有1次取出的是红球，其余次数取出的皆为黑球，故，于是得到X的分布列为：
故
故选：D.
3.随机变量的分布列如下表，其中，，成等差数列，且，
则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据分布列的性质及，，成等差数列,列方程组求出,再求数学期望即可.
【详解】由，得，则．
故选:A.
4.若随机变量X的分布列为
则X的数学期望（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【分析】由期望公式可知，而总体的概率，即可求得
【详解】由
∴，而
∴
故选：C
【点睛】本题考查了概率，理解期望的含义，利用期望公式求离散型变量的期望，并根据样本总体概率为1求期望值
5.已知随机变量的分布列为
则等于（ ）
A．2.2B．2.3C．11D．13
【答案】D
【分析】先根据分布列计算，再根据分布列的性质计算即可得答案.
【详解】由已知，得，
所以.
故选 ：D
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
Y
ax1＋b
ax2＋b
…
axi＋b
…
axn＋b
P
p1
p2
…
pi
…
pn
0
2
4
0.3
0.2
0.5
1
2
3
4
5
6








环数X
7
8
9
10
甲射中的概率
0.1
0.2
0.3
0.4
乙射中的概率
0.15
0.25
0.4
0.2
…
…
歌曲
A
B
C
猜对的概率
0.8
0.6
0.4
获得的公益基金额/元
1000
2000
3000
X
0
1000
3000
6000
P
0.2
0.32
0.288
0.192
天气状况
大洪水
小洪水
没有洪水
概率
0.01
0.25
0.74
总损失/元
方案1
3800
3800
3800
方案2
62000
2000
2000
方案3
60000
10000
0
X
1
2
3
P
1
2
3
X
1
2
3
P
a
b
a
0
2
4
0.4
0.3
0.3