人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征精品同步达标检测题

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考法一 离散型随机变量的均值
【例1-1】（2023·山东济宁）若随机变量的分布列为
且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【例1-2】（2023下·高二课时练习）随机变量的概率分布为
则等于（ ）
A．11B．15C．35D．39
【一隅三反】
1．（2023下·湖南长沙·高二统考期末）随机变量X的分布列如表，则的值为（ ）
A．4.4B．7.4C．21.2D．22.2
2（2023上·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列为
则 ； .
3．（2023上·天津河东）设随机变量X的概率分布列为：
已知，则 .
考法二 离散型随机变量的方差
【例2-1】（2024上·广东广州·高二华南师大附中校考期末）随机变量有3个不同的取值，且其分布列如下：
则的值为 ．
【例2-2】（2023下·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期中）已知的分布列如下表所示，设，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【例2-3】（2023下·福建厦门·高二厦门一中校考期末）某高二学生在参加物理、历史反向学考中，成绩是否取得等级相互独立，记为“该学生取得等级的学考科目数”，其分布列如下表所示，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2024·浙江温州·统考一模）已知离散型随机变量的分布列如下表所示.
则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023下·山西晋中·高二校考阶段练习）（多选）已知随机变量的分布列如下表所示，且满足，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024上·河南·高三校联考期末）已知离散型随机变量X的分布列如下，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
考法三 离散型随机变量的均值与方差综合运用
【例3-1】（2024上·江西 ）（多选）设离散型随机变量的分布列为：
若离散型随机变量满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【例3-2】（2023上·天津武清 ）有两个随机变量和，它们的分布列分别如下表：
则关于它们的期望，和它们的方差和，下列关系正确的是（ ）
A．，且B．，且
C．，且D．，且
【一隅三反】
1．（2023下·浙江绍兴·高二统考期末）若数据的平均数为，方差为，则的平均数和方差分别为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024浙江温州）已知随机变量X，Y的分布列如下：
则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023下·河北邢台·高二统考阶段练习）（多选）设离散型随机变量的分布列如下表：
若离散型随机变量，且，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023下·河北石家庄 ）（多选）设随机变量的分布列为其中．则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．随着的从小到大变化，先增大后减小D．有最小值
考法四 均值与方差在实际生活简单应用
【例4-1】（2023·北京）设有甲、乙两地生产的两批原棉，它们的纤维长度X，Y的分布如表1、表2所示．
表1
表2
试问：这两批原棉的质量哪一批较好？
【一隅三反】
1（2023上·安徽 ）（多选）投资甲，乙两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示．
表1 股票甲收益的分布列
表2 股票乙收益的分布列
关于两种股票，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．投资股票甲的期望收益较大D．投资股票甲比投资股票乙风险高
2.（2024湖北）甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为：
（1）求a，b的值；
（2）计算ξ，η的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况．
3（2024下·全国·高二专题练习）某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告．某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案：
方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益X分别为0元，20万元，40万元，且，期望．
方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益Y分别为10万元，20万元，30万元，其概率依次为．
(1)请写出方案一的分布列，并求方差；
(2)请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由．
单选题
1．（2024河北）设随机变量的方差，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2024湖北）已知随机变量X的分布列为
则等于（ ）
A．13B．11
C．2.2D．2.3
3．（2023江西）已知随机变量X的分布列为
且，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．（2024上·河南南阳·高二校联考期末）已知的分布列为
则下列不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5（2024广西）随机变量的概率分布为，其中是常数，则（ ）
A．B．C．D．
6（2024·全国高二课时练习）设，则随机变量的分布列是：
则当在内增大时（ ）
A．增大B．减小
C．先增大后减小D．先减小后增大
7．（2024·辽宁沈阳·统考一模）下图是离散型随机变量的概率分布直观图，其中，则错误的是（ ）

A．B．
C．D．
8．（2024·广东广州）设，随机变量取值的概率均为0.2，随机变量取值的概率也均为0.2，若记分别为的方差，则（ ）
A．
B．
C．
D．与的大小关系与的取值有关
多选题
9．（2023上·高二课时练习）随机变量和，其中，且，若的分布列如表：
则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024·全国·高三专题练习）已知X的分布列为
则下列结论正确的是（ ）．
A．B．C．D．
11．（2023·广东东莞 ）已知m，n均为正数，随机变量X的分布列如下表；则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2022·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知，，随机变量，的分布列如下表所示：
下列说法中正确的是（ ）
A．若且，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
填空题
13．（2023下·贵州毕节·高二校考阶段练习）已知随机变量X的分布列为
且，则 ．
14．（2023下·浙江温州·高二校联考期中）已知随机变量的分布列如表：
若，则 ．
15．（2023下·北京大兴·高二统考期末）已知随机变量和的分布列分别是：
能说明不成立的一组的值可以是 ； ．
16．（2023·安徽 ）一离散型随机变量的分布列为：
其中为变数，为正常数，且当时方差有最大值，则的值为 ．
解答题
17．（2023上·高二课时练习）已知随机变量的分布列为
(1)求的值；
(2)求；
(3)若，求.
18（2023江苏）甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为：
（1）求a，b的值；
（2）计算ξ，η的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况．
19．（2024·黑龙江鹤岗市）甲､乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表：
乙公司送餐员送餐单数频数表：
若将频率视为概率，回答下列两个问题：
（1）记乙公司送餐员日工资为(单位：元)，求的分布列和数学期望；
（2）小王打算到甲､乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.
20．（2024·全国·高二专题练习）为了解客户对A，B两家快递公司的配送时效和服务满意度情况，现随机获得了某地区客户对这两家快递公司评价的调查问卷，已知A，B两家公司的调查问卷分别有120份和80份，全部数据统计如下：
假设客户对A，B两家快递公司的评价相互独立，用频率估计概率.
(1)从该地区选择A快递公司的客户中随机抽取1人，估计该客户对A快递公可配送时效的评价不低于75分的概率：
(2)分别从该地区A和B快递公司的样本调查问卷中，各随机抽取1份，记X为这2份问卷中的服务满意度评价不低于75分的份数，求X的分布列和数学期望：
(3)记评价分数为“优秀”等级，为“良好”等级，为“一般”等级､已知小王比较看重配送时效的等级，根据该地区A，B两家快递公司配送时效的样本评价分数的等级情况，你认为小王选择A，B哪家快递公司合适？说明理由，
21（2023湖南）根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3800元．
方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水．
方案3：不采取措施，希望不发生洪水．
如果你是工地的负责人，你会采用哪种方案？说明理由．
1
2
4
0.4
0.3
0.3
X
1
2
3
P
0.2
A
0.4
X
1
2
3
4
5
P
0.1
0.3
0.4
0.1
0.1
X
1
2
3
4
P
m
n
0
1
0
2
X
0
1
2
P
a
0
1
2
3
0.4
0.3
0.2
1
2
3
4
5
0.03
0.3
0.5
0.16
0.01
1
2
3
4
5
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
X
1
0
Y
2
P
0.5
0.5
P
0.5
0.5
X
1
2
3
4
5
P
m
0.1
0.2
n
0.3
0
1
2
X
25
24
23
22
21
20
P
0.1
0.2
0.3
0.1
0.1
0.2
Y
25
24
23
22
21
20
P
0.05
0.2
0.25
0.3
0.1
0.1
收益X（元）
0
2
概率
0.1
0.3
0.6
收益Y（元）
0
1
2
概率
0.3
0.4
0.3
ξ
1
2
3
P
a
0.1
0.6
η
1
2
3
P
0.3
b
0.3
X
0
2
4
P
0.4
0.3
0.3
X
1
2
3
P
-1
0
1
0
1
X
1
2
3
4
P
m
n
X
0
1
P
X
0
1
2
P
m
n
m
0
1
0
1
X
0
1
2
P
0.1
0
1
2
m
n
X1
0
1
p
0
1
0
1
2
3
0.1
0
1
2
ξ
1
2
3
P
a
0.1
0.6
η
1
2
3
P
0.3
b
0.3
送餐单数
38
39
40
41
42
天数
10
15
10
10
5
送餐单数
38
39
40
41
42
天数
5
10
10
20
5
快递公司
A快递公司
B快递公司
项目
份数
评价分数
配送时效
服务满意度
配送时效
服务满意度
29
24
16
12
47
56
40
48
44
40
24
20