人教A版 (2019)选择性必修 第三册离散型随机变量的数字特征教学设计

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册离散型随机变量的数字特征教学设计，共25页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第1课时 离散型随机变量的均值

一、教学目标
1.通过具体实例，理解离散型随机变量的均值的概念；
2.能解决与离散型随机变量的均值相关的数学问题及实际问题中的均值的求解问题；
3.能解决一些与平均水平有关的简单问题与决策性问题.

二、教学重难点
重点：离散型随机变量的均值（数学期望）.
难点：应用离散型随机变量的均值解决简单的实际问题.

三、教学过程
（一）复习回顾
师生活动：教师提出问题，学生思考回答，教师完善.
思考1：离散型随机变量分布列的概念及其性质分别是什么？
答：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,x3,⋯,xn，我们称X取每一个值xi的概率PX=xi=pi，i=1,2,3,⋯,n为X的概率分布列，简称为X的分布列.
离散型随机变量分布列具有下列两个性质：
(1)pi≥0，i=1,2,3,⋯,n；
(2)p1+p2+⋯+pn=1.
思考2：统计数据中常见的数字特征有哪些？含义分别是什么？
答：常见的数字特征有均值与方差.
均值是一组数据的平均值，表示数据的中心位置或集中趋势；
方差是一组数据与均值之间的偏离程度，表示数据的稳定性或离散程度.
思考3：均值与方差的计算公式是什么？
答：x=1nx1+x2+⋯+xn=1ni=1nxi；
s2=1nx1−x2+x2−x2+⋯+xn−x2=1ni=1nxi−x2.
设计意图：通过复习统计的相关知识，为学习新课内容做好知识准备.
（二）探究新知
任务一：离散型随机变量的均值的概念
师生活动：教师出示问题并提出相关问题，引导学生分析、思考.
探究1：甲、乙两名射箭运动员射中目标靶的环数的分布如下表所示：
如何比较他们射箭水平的高低？
答：首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性．
甲击中的平均环数x=7+8+9+104=8.5；
乙击中的平均环数y=6+9+9+94=8.25.
因为x>y，所以甲的射箭水平高一些.
探究2：甲、乙两名射箭运动员分别进行了100次射箭练习，射中目标靶的环数及对应的频率的分布列如下表所示：
如何比较他们射箭水平的高低？
答：先比较甲、乙射箭成绩的样本均值：
甲击中的平均环数x=7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9；
乙击中的平均环数y=7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65.
因为x>y，所以甲的射箭水平高一些.
结论：（加权平均数）若取值x1,x2,⋯xn的频率分别为f1,f2,⋯,fn，则其平均数x=x1f1+x2f2+⋯+xnfn.
探究3：甲、乙两名射箭运动员射中目标靶的环数的分布列如下表所示：
如何比较他们射箭水平的高低？
师生活动：教师给出问题，学生分小组合作交流并分享结果.
思考1：探究3的数据与探究1、探究2有什么区别？
答：表格中所给数据：探究1是每次射中的环数；探究2是每个射中环数的频率；探究3是每个射中环数的概率.
思考2：概率能否用频率代替？你能类比探究2的均值算法解决探究3的问题吗？
答：可以用频率代替概率，在探究2中，若这两名射箭运动员进行无数次实验后，样本均值x1f1+x2f2+⋯+xnfn中的频率分别趋近于一个固定值，即概率.此时均值就改写为x1p1+x2p2+⋯+xnpn，我们把这个均值称为离散型随机变量的均值.具体如下：
类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性．假设甲射箭n次，当n足够大时，频率稳定于概率，所以x稳定于7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9．即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平．
同理，乙射中环数的平均值为y=7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65．
因为x=9>8.65=y，所以从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高．
总结：离散型随机变量的均值或数学期望的定义：
一般地，若离散型随机变量X的概率分布列如下表所示：
则称EX=x1p1+x2p2+⋯+xipi+⋯+xnpn＝i＝１nxipi为随机变量X的均值(mean)或数学期望(mathematical expectatin)，数学期望简称期望．
注意：离散型随机变量的均值与离散型随机变量本身具有相同的单位.
探究4：随机变量的均值与样本均值有何联系与区别
掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数X的均值为3.5.随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观察出现的点数并计算平均数（样本均值）绘制统计图，分别如下图所示.观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别？
师生活动：教师给出以上问题，学生观察图片并自主研究，得出结论后教师点评.
答：观察上图可以发现，在这12组掷骰子试验中，样本均值各不相同，但它们都在掷出点数X的均值3.5附近波动，且重复掷300次的样本均值波动幅度明显小于重复60次的.
总结：1区别：随机变量的均值即总体均值，是一个确定的数，它不依赖于样本的抽取，而样本均值具有随机性，它随样本抽取的不同而变化.
2联系：对于简单的随机抽样，随着样本容量的增加，样本均值越来越接近总体的均值.
设计意图：通过对平均数和样本均值的分析，来类比得出离散型随机变量的均值，有利于学生进行知识的正向迁移，也为后续探究离散型随机变量均值的性质做好铺垫，同时通过探究离散型随机变量的均值与样本均值的区别与联系，深化学生对离散型随机变量概念的理解.
任务二 离散型随机变量的均值的意义及求法
思考1：如何理解随机变量的均值的意义？
答：离散型随机变量X的均值（数学期望）EX是一个数值，是随机变量的一个重要特征数，反映的是离散型随机变量取值的平均水平，即随机试验进行了n次，根据X的分布列，在n次试验中，有np1次出现了x1，有np2次出现了x2，⋯，有npn次出现了xn，则n次试验中，X的平均值为np1x1+np2x2+⋯+npnxnn=EX，即EX=x1p1+x2p2+⋯+xipi+⋯+xnpn＝i＝１nxipi.
思考2：如何求离散型随机变量X的均值？
答：求离散型随机变量X的均值的一般步骤：
(1)理解离散型随机变量X的意义，写出X所有可能的取值；
(2)求出X取每个值的概率Px=k，即分布列，也可以用表格的形式表示；
(3)利用离散型随机变量的均值的定义求EX.
思考3：一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么EX=？
师生活动：学生尝试解答，教师点评.
答：若X服从两点分布，则随机变量X的分布列为
从而EX=0×1−p+1×p=p.
做一做：在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？
师生活动：学生思考并尝试解答，教师评价.
分析：罚球有命中和不中两种可能结果，命中时X=1，不中时X=0，因此随机变量X服从两点分布．X的均值反映了该运动员罚球1次的平均得分水平．
解：因为PX=1=0.8，PX=0=0.2，所以EX=0×0.2+1×0.8=0.8．
即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8．
做一做：抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值．
分析：先求出X的分布列，再根据定义计算X的均值．
解：X的分布列为
PX=k=16，k＝1，2，3，4，5，6．
因此，
EX=161+2+3+4+5+6=3.5．
设计意图：通过习题的分析和解答，使学生掌握离散型随机变量的均值的求法，及服从两点分布的随机变量的均值的结论.
任务三 离散型随机变量均值的性质
探究：如果X是离散型随机变量，则EX+b和EaX（其中a，b是常数）分别与EX有怎样的关系？
师生活动：教师提出问题，学生思考探究.师生共同总结.
答案：若Y=aX+b，其中a，b均是常数（X是随机变量），则Y也是随机变量，且有EaX+b=aEX+b．
证明：如果Y=aX+b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量，因此PY=Paxi+b=PX=xi，i=1，2，3，⋯，n，所以Y的分布列为
于是有EY=ax1+bp1+ax2+bp2+⋯+axi+bpi+⋯+axn+bpn
=ax1p1+x2p2+⋯+xipi+⋯+xnpn+ bp1+p2+⋯+pi+⋯+pn
=a EX+b．
离散型随机变量的均值的性质：
若X，Y是两个随机变量，且Y=aX+b，则有E(Y)=aE(X)+b，即随机变量X的线性函数的均值等于这个随机变量的均值E(X)的同一线性函数．特别地：
(1)当a=0时，E(b)=b，即常数的均值就是这个常数本身．
(2)当a=1时，E(X+b)=E(X)+b，即随机变量X与常数之和的均值等于X的均值与这个常数的和．
(3)当b=0时，E(aX)=aE(X)，即常数与随机变量乘积的均值等于这个常数与随机变量的均值的乘积．
做一做：若随机变量X的分布列为：
则①a= ；
②EX= ；
③若随机变量Y=2X+1，则随机变量Y的数学期望E(Y)= .(用数字作答)
解：因为16+a+13=1，所以a=12，
所以EX=1×16+2×12+3×13=136，
因为Y=2X+1
所以EY=E2X+1=2EX+1=2×136+1=163．
设计意图：通过探究离散型随机变量均值的性质，加深学生对离散型随机变量的均值的理解，为利用离散型随机变量均值的性质计算概率做好准备.
（三）应用举例
例1：猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示．
规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首．求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值．
师生活动：学生尝试完成解答，教师点评并出示完整解答过程.
分析：根据规则，公益基金总额X的可能取值有四种情况：猜错A，获得0元基金；猜对A而猜错B，获得1 000元基金；猜对A和B而猜错C，获得3 000元基金；A，B，C全部猜对，获得6 000元基金．因此X是一个离散型随机变量．利用独立条件下的乘法公式可求分布列．
解：分别用A，B，C表示猜对歌曲A，B，C歌名的事件，则A，B，C相互独立．
PX=0=PA=0.2，
PX=1000=PAB=0.8×0.4=0.32，
PX=3000=PABC=0.8×0.6×0.6=0.288，
PX=6000=PABC=0.8×0.6×0.4=0.192.
X的分布列如表所示．
X的均值为
EX=0×0.2+1 000×0.32+3 000×0.288+6 000×0.192=2 336．
思考：如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大？
答：列出所有不同的猜歌顺序，分别求出X的分布列和均值，通过比较验证.
猜3首歌共有A33=6种不同的顺序，选择不同的猜歌顺序，X的分布列是不同的，不能直接比较.不同顺序及EX如下表所示：
可以发现，按由易到难的顺序来猜歌，获得的公益基金总额的均值最大.
例2： 根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10 000元．为保护设备，有以下3种方案：
方案1 运走设备，搬运费为3 800元；
方案2 建保护围墙，建设费为2 000元，但围墙只能防小洪水；
方案3 不采取措施．
工地的领导该如何决策呢？
师生活动：教师指导学生分析问题，让学生独立完成，教师点评、讲解.
分析：决策目标为总损失（投入费用与设备损失之和）越小越好．根据题意，各种方案在不同状态下的总损失如表所示．
方案2和方案3的总损失都是随机变量，可以采用期望总损失最小的方案．
解：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1，X2，X3．
采用方案1：无论有无洪水，都损失3 800元．因此，PX1=3800=1．
采用方案2：遇到大洪水时，总损失为2 000＋60 000＝62 000元；没有大洪水时，总损失为2 000元．因此，PX2=62000=0.01，PX2=2000=0.99．
采用方案3：
PX3=60000=0.01，PX3=10000=0.25，PX3=0=0.74．于是，
EX1=3800，
EX2=62 000×0.01＋2 000×0.99=2 600，
EX3=60 000×0.01+10 000×0.25+0×0.74=3 100．
因此，从期望损失最小的角度，应采取方案2．
注意：上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的．一般地，我们可以这样来理解“期望总损失”：如果问题中的天气状况多次发生，那么采用方案2将会使总损失减到最小．不过，因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的．
设计意图：通过例题的分析与解答，让学生感受数学在生活中的应用，并了解风险决策的原则及一般方法，让学生明白决策的原则是选择期望（均值）大的，这称为期望值原则.
（四）课堂练习
1.2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8:00黄金档，随机抽取两人，则女生人数的期望为( )
A. 43B. 54C. 34D. 35
【答案】C
解：设女生人数为X，且X=0,1,2，
P(X=0)=C52C82=514 ，P(X=1)=C31C51C82=1528，
P(X=2)=C32C82=328，
则E(X)=0×514+1×1528+2×328=34 ．
故选：C
2.若X是离散型随机变量，则EX−EX=( )
A. EXB. 2EXC. 0D. EX2
【答案】C
解：∵EaX+b=aEX+b(a,b为常数)，又EX为常数，
∴EX−EX=EX−EX=0．
故选C．
3.超市举办抽奖活动．箱子里装有十张参与奖与两张100元代金券．顾客第一次可使用5积分进行一次抽奖，若摸中100元代金券则结束，若摸中参与奖则可将奖券放回并花费2积分再抽一次．若紫阿姨铁了心也要抽中100元代金券，则她所花费积分的数学期望为( )
A. 12B. 15C. 17D. 20
【答案】B
解：设抽奖次数为k，花费的积分为Y，则Y=5+2k−1=2k+3，
每次抽中100元代金券的概率为210+2=16，
故，
设Sk=5×560+7×561+9×562+⋯+2k+3⋅56k−1，①
56Sk=5×561+7×562+9×563+⋯+2k+3⋅56k，②，
两式相减得16Sk=5+2×561+2×562+2×563+⋯+2×56k−1−2k+3⋅56k
=5+2×56−(56)k1−56−(2k+3)⋅(56)k
=5+10−12×(56)k−(2k+3)⋅(56)k，
故Sk=90−72×56k−62k+3⋅56k，
故EY=limk→+∞90−72×56k−62k+3⋅56k⋅16=15，
故选：B
4.最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验成功的概率为12.现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验nn∈N∗,n≥3次(试验n次后，无论成功与否均结束试验).记随机变量X为试验结束时所进行的试验次数，Pi表示X=i1≤i≤n对应的概率，EX表示随机变量X的期望．
(1)分别求出P1,P2,Pn
(2)证明：EX0)元，试验成功则获利3a元，则该公司如何决策投资，并说明理由.
解：(1)P1=12，P2=14，Pn=(12)n−1．
(2)由题意，X=1，2，3，⋯，n，
故P(X=k)=(12)k，k=1，2，⋯，n−1，P(X=n)=(12)n−1
则E(X)=1×(12)1+2×(12)2+⋯+(n−1)×(12)n−1+n×(12)n−1
记S=1×(12)1+2×(12)2+⋯+(n−1)×(12)n−1，
12S=1×(12)2+2×(12)3+⋯+(n−1)×(12)n，
错位相减可得12S=12+(12)2+(12)3+⋯+(12)n−1−(n−1)(12)n=1−(n+1)(12)n，
即S=2−(n+1)(12)n−1，
E(X)=S+n(12)n−1=2−(12)n−1