数学人教A版 (2019)7.3 离散型随机变量的数字特征教案

导入新课

新知导入：

情景一：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下两表所示：

如何评价这两名同学的射击水平？

E(X)= 8 ;E(Y)=8  因为两个均值相等，所以均值不能区分这两名同学的射击水平。

射击水平除了要考虑击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度，图一和图二分别是X和Y的概率分布图：

发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的设计成绩更稳定。

思考：我们如何定量刻画随机变量取值的离散程度？

则称

为随机变量X的方差，有时也记为Var（X）,并称           为随机变量X的标准差，记为。

学生思考问题，引出本节新课内容。

设置问题情境，激发学生学习兴趣，并引出本节新课。

讲授新课

新知讲解：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量的取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度，方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散。

因此，可以用两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画它们成绩的稳定性。两名同学射击成绩的方差和标准差分别为:

因为D(Y)<D(X)(等价地，) ，所以随机变量Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定。

思考：方差的计算可以简化吗？

思考：离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样变化？离散型随机变量X乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？

离散型随机变量X加上一个常数b，仅仅使X的值产生一个平移，不改变X与其均值的离散程度，方差保持不变，即 D(X+b)= D(X)，而离散型随机变量X乘以一个常数a,其方差变为原方差的a2倍，即

D(aX)=a2D(X)，因此，D(aX+b)=a2D(X)

例题讲解：

例1：抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差。

解：随机变量X的分布列为P(X=k)=1/6,   k=1,2,3,4,5,6

因为

所以

例2：投资A、B两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示：

（1）投资哪种股票的期望收益大？

（2）投资哪种股票的风险较高？

解：(1)股票A和股票B投资收益的期望分别为

           E(X)=(-1)x0.1+0x0.3+2x0.6=1.1,

           E(Y)=0x0.3+1x0.4+2x0.3=1.

 因为E(X)>E(Y),所以投资股票A的期望收益较大。

（2）股票A和股票B投资收益的方差分别为

      D(X)=(-1)2x0.1+02x0.3+22x0.6-1.12=1.29,

      D(Y)=02x0.3+12x0.4+22x0.3-12=0.6.

因为E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y),所以资股票A比投资股票B的风险高。

例3:A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：

问哪一台机床加工质量较好？

解：

Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,

Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.

它们的期望相同，再比较它们的方差

Dξ1=(0-0.44)2×0.7+(1-0.44)2×0.2+(2-0.44)2

   ×0.06+(3-0.44)2×0.04=0.6064,

Dξ2=(0-0.44)2×0.8+(1-0.44)2×0.06+(2-0.44)2

   ×0.04+(3-0.44)2×0.10=0.9264.

∴Dξ1< Dξ2   故A机床加工较稳定、质量较好.

例4：有甲、乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：

根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？

解：E(X1)=1200×0.4+1400×0.3+1600×0.2+1800×0.1=1400

E(X2)=1000×0.4+1400×0.3+1800×0.2+2200×0.1=1400

D(X1)=(1200-1400)2×0. 4 + (1400-1400 )2×0.3

+ (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400)2×0.1= 40 000

D(X2)=(1000-1400)2×0. 4+(1400-1400)2×0.3

+(1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l=160000 .

因为E(X1)=E(X2), D(X1)<D(X2)，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．

利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤：

(1)比较均值．

在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．　

(2)在均值相等或接近的情况下计算方差.

分析一下谁的水平发挥相对稳定.

(3)得出结论．依据均值和方差做出判断.　

课堂练习：

1. 已知随机变量x的分布列为

则Ex与Dx的值为(  D  )

(A) 0.6和0.7  (B)1.7和0.3

(C) 0.3和0.7  (D)1.7和0.21

2.甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：5t/hm2）表所示：

则其中产量比较稳定的小麦品种是___甲种____．

3．已知某运动员投篮命中率p＝0.6.求一次投篮命中次数X的期望与方差；

解：投篮一次命中次数X的分布列为

则E(X)＝0×0.4＋1×0.6=0.6，

D(X)＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24.

4.随机变量ξ的取值为0,1,2，若P(ξ=0)=0.2，E(ξ)=1，则D(ξ)=__0.4__；

5. 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：

试评定这两个保护区的管理水平．

解：甲保护区的违规次数ξ1的均值和方差为：

E(ξ1)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3

D(ξ1)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21

乙保护区的违规次数ξ2的均值和方差为：

E(ξ2)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3

D(ξ2)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41

E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)

所以甲保护区的管理水平低于乙保护区的管理水平

6. 已知随机变量X的分布列为

另一随机变量Y=2X-3，求E(Y)，D(Y)

解：∵E(X)=1×0.1+2×0.2+3×0.4+4×0.2+5×0.1=3

∴E(Y)=2E(X)-3=6-3=3

∵D(X)=(1-3)2×0.1+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.4

        +(4-3)2×0.2+(5-3)2×0.1=1.2

∴D(Y)=22 x D(X)=4×1.2=4.8

拓展提高：

7．某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：

项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；

项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.

解：若按“项目一”投资，设获利为X1万元.则X1的分布列为

所以E(X1)=300×7/9+(−150)×2/9=200(万元)

若按“项目二”投资，设获利为X2万元.则X2的分布列为

所以E(X2)=500×3/5+(−300)×1/3+0×1/15=200(万元)

D(X1)=(300−200)2×7/9+(−150−200)2×2/9=35000

D(X2)=(500−200)2×3/5+(−300−200)2×1/3+(0−200)2×1/15=140000

所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)，

这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.

8. 随着互联网金融的发展，很多平台都推出了自己的虚拟信用支付，比较常用的有蚂蚁花呗、京东白条.花呗与信用卡有一个共同点就是可以透支消费，对于很多90后来说，他们更习惯提前消费.某研究机构随机抽取了1000名90后，对他们的信用支付方式进行了调查，得到如下统计表：

每个人都仅使用一种信用支付方式，各人支付方式相互独立，以频率估计概率.

（1）估计90后使用蚂蚁花呗的概率；

（2）在所抽取的1000人中用分层抽样的方法在使用银行信用卡和蚂蚁花呗的人中随机抽取8人，再在这8人中随机抽取4人，记X为这4人中使用蚂蚁花呗的人数，求X的分布列及数学期望和方差.

解：（1）a=1000-300-150-50=500

    所以使用蚂蚁花呗的概率为500/1000=0.5

（2）这8人中使用信用卡的人数为                            8×300/300+500=3人，使用蚂蚁花呗的人数为5人，则随机变量X的取值为1，2，3，4

则X的分布列为:

所以

链接高考：

9．（2018  浙江高考真题）设0<p<1，随机变量X的分布列如图，则当p在(0,1)内增大时(  D  )

1. D(X)减小           B. D(X)增大  

C. D(X)先减小后增大    D. D(X)先增大后减小

10．（2008  湖北高考真题（理））袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一个球,ξ表示所取球的标号.

(1)求ξ的分布列、期望和方差;

(2)若η=aξ+b,E(η)=1,D(η)=11,试求a,b的值.

解：(1)ξ的分布列为：

所以

E(X)=0×1/2+1×1/20+2×1/10+3×3/20+4×1/5=1.5

D(X)=(0−1.5)2×1/2+(1−1.5)2×1/20+(2−1.5)2×1/10+(3−1.5)2×3/20+(4−1.5)2×1/5=2.75

(2)由D(η)=a2D(ξ)，得a2 x 2.75 = 11，得a=±2，又E(η)=aE(ξ)+b，所以

当a=2时，由1=2 x 1.5 +b 得b=-2

当a=-2时，由1 = -2 x 1.5 +b 得 b=4

所以，a=2,b=-2或a=-2,b=4

学生根据情境问题，探究离散型随机变量的方差

利用例题引导学生掌握并灵活运用离散型随机变量的方差解决实际相关问题

通过课堂练习，检验学生对本节课知识点的掌握程度，同时加深学生对本节课知识点的掌握及运用

利用情境问题，探究离散型随机变量的方差，培养学生探索的精神.

加深学生对基础知识的掌握，并能够灵活运用基础知识解决具体问题

通过练习，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神。

课堂小结

求离散型随机变量X的方差的基本步骤:

(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；

(2)求X取各个值的概率，写出分布列；

(3)根据分布列，由均值的定义求出E(X)；

(4)根据方差的定义求出D(X).

学生回顾本节课知识点，教师补充。

让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用。

板书

§7.3.2 离散型随机变量的方差

一、新知导入          三、例题讲解

二、新知讲解          四、课堂练习

1.离散型随机变量的方差    五、拓展提高

       六、课堂总结

                 七、作业布置