数学选择性必修 第三册离散型随机变量的数字特征精品教案设计

这是一份数学选择性必修 第三册离散型随机变量的数字特征精品教案设计，共7页。教案主要包含了讲授新课，例题讲解等内容，欢迎下载使用。

课题名
7.3.1离散型随机变量的均值
教学目标
通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.
理解离散型随机变量均值的性质.
掌握两点分布的均值.
会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关的实际问题．
教学重点
离散型随机变量均值的意义、性质及应用．
教学难点
对离散型随机变量均值的意义的理解．
教学准备
教师准备：幻灯片、黑板、投影
学生准备：笔、纸、课本
教学过程
新课引入
对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率.但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征.
例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差.
本节课我们一起来认识离散型随机变量的均值.
离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律，但在解决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便．例如，要比较不同班级某次考试成绩，通常会比较平均成绩；要比较两名射箭运动员的射箭水平，一般会比较他们射箭的成绩（平均环数或总环数）以及稳定性．因此，类似于研究一组数据的均值和方差，我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差，它们统称为随机变量的数字特征．
二、讲授新课
问题1甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如表7.3-1所示．
表7.3-1
环数X
7
8
9
10
甲射中的概率
0.1
0.2
0.3
0.4
乙射中的概率
0.15
0.25
0.4
0.2
如何比较他们射箭水平的高低呢？
类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性．
假设甲射箭次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为，，，．甲次射箭射中的平均环数为
．
当足够大时，频率稳定于概率，所以稳定于
．
即甲射中平均环数的稳定值（理论平均值）为9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平．
同理，乙射中环数的平均值为
．
从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高．
一般地，若离散型随机变量X的分布列如表7.3-2所示，
表7.3-2
…
…
则称
为随机变量X的均值（mean）或数学期望（mathematical expectatin），数学期望简称期望．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．
三、例题讲解
例1 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？
解：因为
，．
所以
．
即该运动员罚球1次得分X的均值是0.8．
般地，如果随机变量服从两点分布，那么
例2 抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值．
解：X的分布列为
，．
因此
．
观察：掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数的均值为3.5．随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数．根据观测值的平均数（样本均值）绘制统计图，分别如图7.3-1（1）和（2）所示．观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别？
探究：如果是一个离散型随机变量，将进行平移或伸缩后，其均值会怎样变化?即和(其中为常数)分别与有怎样的关系?
设的分布列为
．
根据随机变量均值的定义
类似地，可以证明
．
你能给出证明吗？
．
一般地，下面的结论成立：
．
例3猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表7.3-3所示．
表7.3-3
歌曲
A
B
C
猜对的概率
0.8
0.6
0.4
获得的公益基金额/元
1000
2000
3000
规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值．
解：分别用A，B，C表示猜对歌曲A，B，C歌名的事件，则A，B，C相互独立．
，，
，．
的分布列如表7.3-4所示．
表7.3-4
X
0
1000
3000
6000
P
0.2
0.32
0.288
0.192
的均值为
如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大？
例4根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：
方案1运走设备，搬运费为3800元；
方案2建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水；
方案3不采取措施．
工地的领导该如何决策呢？
解：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为，，．
采用方案1，无论有无洪水，都损失3800元．因此，
．
采用方案2，遇到大洪水，总损失为元；没有大洪水时，总损失为2000元．因此，
，
采用方案 3，
，，，
于是，，
，
．
因此，从期望损失最小的角度，应采取方案2．
课堂小结
(1)离散型随机变量的均值：期望的概念：E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn
(2)离散型随机变量的均值的性质：期望的计算公式：E(aX+b)=aE(X)+b
(3)两点分布的均值：特殊随机变量的均值(两点分布的期望)：E(X)=p.
2.求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：
(1)确定取值：理解X的实际意义，写出X全部可能取值；
(2)求概率：求出X取每个值时的概率；
(3)写分布列：写出X的分布列(有时也可省略)；
(4)求均值：利用定义公式i=1nxipi求出均值
布置作业
P66-67练习1、2、3题
P71习题7.3的2、3、4、6题
板书设计
1.
(1)离散型随机变量的均值：
(2)离散型随机变量的均值的性质：
期望的计算公式：
(3)两点分布的均值：
2.求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：
教学反思