人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征试讲课教学课件ppt

课题

7.3.1《离散型随机变量的均值》

教学目标

1. 知识目标

理解离散型随机变量的均值的意义和性质；能够根据离散型随机变量的分布列求出均值；运用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题。

2. 能力目标

能根据定义求解离散型随机变量的均值；能掌握两个随机变量的均值公式，并熟练求解；可以快速有效的解决常见离散型随机变量的均值应用问题。

3. 情感目标

通过离散型随机变量均值概念的探究形式，经历构建数学概念这一过程，使学生学会概括、抽象数学问题的方法，通过简单的应用，培养学生的数学应用意识，发展学生数学抽象、数学计算、数学建模的核心素养。

教学重点

离散型随机变量的均值的概念、性质及其应用。

教学难点

对离散型随机变量均值的意义的理解。

教学准备

1.          教师准备：课件
2.          学生准备：预习教材并完成资源与评价

教学过程

1. 新课导入：

对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。随机变量的数字特征包括均值和方差。

例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”，则需要考察这个班数学成绩的方差。 

本节课我们一起来认识离散型随机变量的均值。

问题1 甲乙两名射箭运动员射中目标靶的环数的分布列如下表所示：如何比较他们射箭水平的高低呢？

类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性。

假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为：甲n次射箭射中的平均环数：

当n足够大时，频率稳定于概率，所以稳定于

7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9。

即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9,这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平。

同理，乙射中环数的平均值为7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65。

从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高。

2. 讲授新知：

知识点1：离散型随机变量取值的均值

一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：则称 为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望。均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平。

3. 例题精析：

例1 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少?

分析:罚球有命中和不中两种可能结果，命中时X=1,不中时X=0，因此随机变量X服从两点分布，X的均值反映了该运动员罚球1次的平均得分水平。

解：因为P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2，

    所以E(X)=1×P(X=1)+0×P(X=0)=1×0.8+0×0.2 =0.8

即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8。

知识点2：两点分布的均值

  一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么

例2 抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X,求X的均值。

分析：先求出X的分布列，再根据定义计算X的均值。

解：X的分布列为?(X=k)= ，k=1,2,3,4,5,6

因此，E(X)= (1+2+3+4+5+6)=3.5。

观察 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数X的均值为3.5。随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数。根据观测值的平均数(样本均值)绘制统计图，分别如图 (1)和(2)所示。观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别?

观察图形可以发现：在这12组掷骰子试验中，样本均值各不相同，但它们都在掷出点数X的均值3.5附近波动，且重复掷300次的样本均值波动幅度明显小于重复60次的。

事实上，随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动。随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小，因此，我们常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值。

探究 如果X是一个离散型随机变量，X加一个常数或乘一个常数后，其均值会怎样变化? 即E(X＋b)和E(aX)(其中a, b为常数)分别与E(X)有怎样的关系?

设X的分布列为：

根据随机变量均值的定义：

类似地，可以证明：

一般地，下面的结论成立： 。

例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名。某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示：

规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值。

解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互独立 P(?=0)=?()=0.2, P(?=1000)=?(A)=0.8×0.4=0.32,

?(?=3000)=?(??)=0.8×0.6×0.6=0.288,P(?=6000)=P(???)=0.8×0.6×0.4=0.192.

X的分布列如下表所示：

?的均值为?(?)=0×0.2+1000×0.32+3000×0.288+6000×0.192=2336。

例4根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元。为保护设备，有以下三种方案：

方案1：运走设备，搬运费为3800元；

方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能挡住小洪水；

方案3：不采取措施，希望不发生洪水。

工地的领导该如何决策呢?

解：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1，X2，X3。

采用方案1，无论有无洪水，都损失3800元。因此,P(X1=3800)=1。

采用方案2，遇到大洪水时，总损失为2000+6000=62000元；没有大洪水时,总损失为2000元，因此，P(X2=62 000)=0.01，P(X2=2000)=0.99。

采用方案3，P(X3=60 000)=0.01，P(X3=10000)=0.25，P(X3=0)=0.74。

于是，E(X1)=3800,

    E(X2)=62 000×0.01+2 000×0.99=2 600，

    E(X3)=60 000×0.01+10 000×0.25+0×0.74=3 100。

因此,从期望损失最小的角度,应采取方案2。

如果问题中的天气状况多次发生，那么采用方案2能使总损失减到最小。

不过，因为洪水发生的随机性,所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的。

4. 总结

1. 期望的概念：E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn

2. 期望的意义：离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平。

3. 期望的性质：E(aX+b)=aE(X)+b。

板书设计

7.3.1离散型随机变量的均值

一定义：

两个注意：样本平均值与随机变量均值的区别与联系

一个性质：

课后作业

分层训练

课后反思

本节课需要学生探究的内容比较多，由于学生的数学基础比较薄弱，所以在教学过程中教师不仅要耐心的指导，还要努力创设一个轻松和谐的课堂氛围，让每个学生都能大胆的说出自己的想法，保证每个学生都能学有所得.为了让每个学生在课上都能有话说，还需要学生做到课前预习，并且教师要给学生提出明确的预习目标.进一步发展学生直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养。