高中数学离散型随机变量及其分布列教学设计及反思

这是一份高中数学离散型随机变量及其分布列教学设计及反思，共28页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

一、教学目标
1.通过具体实例，理解随机变量的意义，了解随机变量与函数的联系；
2.通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，能够写出离散型随机变量的取值以及相应随机试验的结果；
3.理解离散型随机变量的分布列的概念及性质；
4.会求某些简单的离散型随机变量的分布列（含两点分布）.

二、教学重难点
重点：离散型随机变量及其分布列的概念.
难点：对随机变量概念的理解，求某些简单的离散型随机变量的分布列.

三、教学过程
（一）问题导入
师生活动：教师提出问题，学生思考回答，教师完善.
思考1：随机试验的概念是什么？
答：一般地，一个试验如果满足下列条件：
①试验可以在相同的情形下重复进行；
②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前不能肯定会出现哪一个结果；
称这种试验为随机试验，为了方便起见，也简称试验.
思考2：样本点与样本空间的概念是什么？
答：把某个随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为该试验的样本空间，通常用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.
求随机事件的概率时，往往需要为随机试验建立样本空间，并会涉及样本点和随机事件 的表示问题，类似函数在数集与数集之间建立对应关系.如果在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应，将不仅可以为一些随机事件的表示带来方便，而且能更好地利用数学工具研究随机试验.
设计意图：通过复习概率的相关知识，类比函数的概念，复习旧知，调动学生原有的认知，为学习新课内容做好知识准备.
（二）探究新知
任务一：随机变量的定义及随机变量与函数的关系
师生活动：教师出示问题并提出相关问题，引导学生分析、思考.
思考1：掷一枚骰子，掷出的点数能用数字表示吗？
答：可以，用m表示掷出的点数，则样本点为m=1,2,3,4,5,6，样本空间为Ω=1,2,3,4,5,6，随机试验的样本点与数值有关系，可以直接与实数建立关系.
思考2：掷两枚骰子，掷出的两个点数之和能用数字表示吗？
答：可以，设2个骰子的点数分别为x、y，则可以用x,y来表示两个骰子各自的点数，共有36个样本点，用x+y表示两枚骰子的点数之和，则样本空间Ω=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，随机试验的样本点与数值有关系，可以直接与实数建立关系.
思考3：掷一枚硬币，有“正面向上”和“反面向上”两种可能结果，它们的结果与数字无关，这种试验结果能用数字表示吗？
答：可以，用X表示试验结果，将“正面朝上”用1表示，“反面朝上”用0表示，则X=1，正面向上0，反面向上，从而试验的样本点与实数就建立了对应关系.
思考4：随机抽取一件产品，有“抽到次品”和“抽到正品”两种可能结果，它们的结果也与数字无关，这个结果能用数字表示吗？
答：可以，用X表示试验结果的变量，用1表示“抽到次品”，用0表示“抽到正品”，则X=1，抽到次品0，抽到正品，从而试验的样本点与实数就建立了对应关系.
思考5：随机调查学生的体育综合测试成绩，成绩划分为优、良、中等、及格、不及格五个等级，则随机调查一个学生所得的结果与实数之间能不能建立对应关系？
答：能，用X表示试验结果的变量，将等级成绩优、良、中等、及格、不及格分别赋值5、4、3、2、1，则X=5，优4，良 3，中等 2，及格 1，不及格， 从而试验的样本点与实数就建立了对应关系.
总结：对于任何一个随机试验，总可以把它的每个样本点与一个实数对应，对应试验结果是数值的，可直接建立样本点与实数之间的关系，对于试验结果与数字无关的，可通过引入一个取值依赖于样本点的变量X，来刻画样本点和实数的对应关系，实现样本点的数量化.因为在随机试验中样本点的出现具有随机性，所以变量X的取值也具有随机性.
设计意图：通过具体的问题对比，即前两个试验能够建立数集表示样本空间，后三个试验可以通过一个变量来刻画，引发学生思考积极参与互动，建立对随机变量的直观认识，得到随机试验的结果不论与数量之间是否有关，都可以数量化，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养.
探究：考察下列随机试验及其引入的变量
试验1：从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行试验，变量X表示三个元件中次品数；
试验2：抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y表示需要的抛掷次数.
思考1：试验1的样本空间是什么？各个样本点与变量X的值是如何对应的？
答：用0表示“元件为合格品”，1表示“元件为次品”，用0和1构成的长度为3的字符串表示样本点，则样本空间Ω1=000，001，010，100，011，101，110，111，各样本点与随机变量X的关系如下所示：
思考2：试验2的样本空间是什么？各个样本点与变量Y的值是如何对应的？
答：用ℎ表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，则样本空间为Ω2=ℎ，tℎ，ttℎ，tttℎ，ttttℎ，⋯，样本空间Ω2包含无数个样本点，各样本点与变量Y的对应关系如下所示:
思考3：上述变量X，Y有哪些共同的特征？
师生活动：教师引导学生观察变量X，Y的样本空间，进一步归纳它们的共同特征，学生可分组交流、讨论，然后师生共同归纳随机变量的定义.
答：(1)每个样本点都有唯一的一个实数与之对应；
(2)取值依赖于样本点；
(3)所有可能取值是明确的.
【概念的形成】
1.随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数Xω与之对应，我们称X为随机变量.随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫（ChebYshev，1821−1894）在19世纪中叶建立和提倡使用的.
2.随机变量的分类：
(1)离散型随机变量：随机变量的可能取值为有限的或可以一一列举的，把这样的随机变量称之为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，例如X,Y,Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x,y,z.
(2)连续型随机变量：随机变量的可能取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但任取一点的概率为0，我们称这类随机变量为联系型随机变量(课本83页）.如：种子含水量的测量误差X；某品牌电视剧的使用寿命Y.
思考4：随机变量与函数有什么区别与联系？
答：(1)相同点：函数是一种对应关系，随机变量也是一种对应关系.随机变量的定义与函数的定义类似.样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域；
(2)不相同点：样本空间Ω不一定是数集.
说明：所谓随机变量，即是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的这与函数概念的本质是一样的，只不过在函数概念中，函数fx的自变量x是实数，而在随机变量的概念中，随机变量X的自变量是试验结果，不一定是实数.随机变量将随机事件的结果数量化．
思考5：如何判断一个随机变量X是否为离散型随机变量？
师生活动：学生思考并尝试解答，然后师生共同总结归纳.
做一做：下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？若是随机变量的话，是不是离散型随机变量，并说明理由．
(1)合肥新桥机场候机室中2024年4月11日的旅客数量；
(2)2024年某天合肥至北京的G2556次列车到北京站的时间；
(3)2024年3月1日到4月1日期间合肥所查酒驾的人数；
(4)体积为1000m3的球的半径长．
(5)在某项体能测试中，某位同学跑1km所花费的时间X.
答：(1)是离散型随机变量，候机旅客的数量是有限的，可以一一列出；
(2)不是离散型随机变量，但是是连续型随机变量；
(3)是离散型随机变量，酒驾的人数的数量是有限的，可以一一列出；
(4)不是随机变量，体积为1000m3的球的半径长是固定的；
(5)不是离散型随机变量，但是是连续型随机变量.
总结：判断一个随机变量X是否为随机变量、离散型随机变量的具体方法：
(1)明确随机试验的所有可能结果；
(2)将随机试验的试验结果数量化；
(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是.
设计意图：通过概念辨析，让学生与连续性随机变量比较，深化对离散型随机变量的理解.发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.
任务二 离散型随机变量的分布列
思考1：抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示骰子向上一面的点数.X是不是随机变量，若是，X有可能取哪些值？取这些值的概率分别是多少？
师生活动：教师提出问题，引导学生探究离散型随机变量的可能取值及其概率，学生交流、探讨.
答：由题意可知，X是离散型随机变量，其可能取值为1，2，3，4，5，6，且X=1=“向上一面的点数为1”，X=2=“向上一面的点数为2”，X=3=“向上一面的点数为3”，X=4=“向上一面的点数为4”，X=5=“向上一面的点数为5”，X=6=“向上一面的点数为6”，
故PX=1=16，PX=2=16，PX=3=16，PX=4=16，PX=5=16，PX=6=16.
思考2：上述离散型随机变量X的取值及其对应概率能否统一用一个式子进行表示？
答：PX=m=16，m=1,2,3,4,5,6.
思考3：类比函数的表示法，除了以上形式表示离散型随机变量X的取值及其对应概率外，还有其他方法表示吗？
答：(1)表格法：
(2)图象法：
总结：1.离散型随机变量X的概率分布列的概念：
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,x3,⋯,xn，我们称X取每一个值xi的概率PX=xi=pi，i=1,2,3,⋯,n为X的概率分布列，简称为X的分布列.
2.离散型随机变量分布列的表示方法：
与函数的表示法类似，离散型随机变量X的分布列也可以用表格表示，表格第一行为X的所有取值，第二行为对应取值的概率（如下表所示）；也可以用图形表示，称为X的概率分布图，其中图形横坐标为X的取值，纵坐标为对应概率.
思考4：在上例当中，利用分布列怎样求出事件“掷出的点数不大于2”的概率和事件“掷出偶数点”的概率？
答：事件“掷出的点数不大于2”可以表示为X≤2，则其概率PX≤2=PX=1+PX=2=13.
事件“掷出偶数点”可以表示为X=2∪X=4∪X=6，则
PX=2∪X=4∪X=6=PX=2+PX=4+PX=6=12
思考5：离散型随机变量分布列有什么性质？
师生活动：教师提出问题并引导学生思考：根据离散型随机变量分布列，随机变量对应的概率与古典概型中概率的取值是否一样？随机变量所有可能取值对应的概率之和是多少？进而得到离散型随机变量分布列的性质.
答：根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下列两个性质：
(1)pi≥0，i=1,2,3,⋯,n；
(2)p1+p2+⋯+pn=1.
思考6：离散型随机变量分布列的性质有什么作用？
答：(1)利用离散型随机变量分布列的性质可以求与概率有关的参数的值或取值范围，还可以检验所求分布列是否正确；
(2)由于离散型随机变量的各个可能取值表示的事件彼此互斥，所以离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和，即利用分布列和概率的性质，可以计算由离散型随机变量表示的事件的概率.
设计意图：通过问题的探究，帮助学生理解离散型随机变量的分布列及其性质，培养学生的数学抽象和逻辑推理核心素养.
任务三 两点分布
探究：一批产品中次品率为5%，随机抽取1件，定义X=1，抽到次品0，抽到正品，求X的分布列．
师生活动：学生独立完成，教师点评.
解：根据X的定义，X=1=“抽到次品”，X=0=“抽到正品”，X的分布列为
PX=0=0.95，PX=1=0.05．如下表所示：
总结：两点分布的定义：
对于只有两种可能结果的随机试验，用A表示“成功”，A表示“失败”，定义X=1，A发生0，A发生，如果PA=p，PA=1−p，那么X的分布列如下表所示.我们称X服从两点分布或0−1分布. 如下表所示：
思考1：能否举几个生活中两点分布的例子？
答：①购买的彩券是否中奖；②投篮一次是否命中；③新生婴儿的性别
思考2：两点分布有什么特点？
答：(1)事件只有两种可能结果，且两个可能结果是对立关系；
(2)随机变量的可能值为1和0；
(3)由对立事件概率的求法可知，PX=0+PX=1=1.
思考3：随机变量X只取两个不同值，X是否一定服从两点分布？
答：不一定，如果X的取值是1和0，则服从两点分布，否则不服从.
设计意图：通过探究两点分布的概念及其特点，培养学生的数学抽象核心素养.
（三）应用举例
例1：某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如表所示．
从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X的分布列，以及Px≥4．
师生活动：教师指导学生求随机变量的分布列，学生尝试完成解答.
解：由题意知，X是一个离散型随机变量，其可能取值为1，2，3，4，5，且{X＝1}＝“不及格”，{X＝2}＝“及格”，{X＝3}＝“中等”，{X＝4}＝“良”，{X＝5}＝“优”．根据古典概型的知识，可得X的分布列，如表所示．
PX≥4＝PX=4+PX=5＝15+320=720.
总结：求离散型随机变量分布列的步骤：
(1)明确随机变量X；
(2)定值：确定随机变量X的所有可能取值；
(3)求概率：求出各取值的概率；
(4)用表格表示出随机变量X的分布列（利用性质，检查概率之和是否为1）.
例2： 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台．如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列．
师生活动：学生自主完成解答，教师视情况讲解、点评，并提醒学生注意分布列的求解步骤.
解：设挑选的2台电脑中A品牌的台数为X，则X的可能取值为0，1，2．根据古典概型的知识，可得X的分布列为
PX＝0=C30C72C102=715，PX＝1=C31C71C102=715，PX＝0=C32C70C102=115.
用表格表示X的分布列，如下表所示．
设计意图：通过例题的学习，引导学生掌握离散型随机变量分布列的求法.
（四）课堂练习
1.已知随机变量X的分布列如表(其中a为常数)：
则P1≤X≤3等于( )
A. 0.4B. 0.5C. 0.6D. 0.7
【答案】C
解：因为 0.1+0.1+a+0.3+0.2+0.1=1 ，所以 a=0.2 ，
所以 P1≤X≤3=PX=1+PX=2+PX=3 =0.1+0.2+0.3=0.6 ．
故选：C．
2.若X服从两点分布，P(X=1)−P(X=0)=0.32，则P(X=0)为( )
A. 0.32B. 0.34C. 0.66D. 0.68
【答案】B
解：根据题意及两点分布的性质可知： P(X=1)−P(X=0)=0.32,P(X=1)+P(X=0)=1,
解得P(X=0)=0.34．
故选B．
3.袋中有5个白球，4个黑球，从中依次不放回取球，当取出三个相同颜色的球时停止取球，记X为取出球的总数，则X=4的概率为( )
A. 514B. 57C. 542D. 521
【答案】A
解： 分两种情况，①第4次取出黑球，共有A43·C31·C51·=360种情况；
②第4次取出白球，共有A53·C31·C41·=720种情况；
∴P(X=4)=360+720A94=514．
故选：A．
4.某同学参加闯关游戏，需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得−10分．已知这位同学回答前两个问题正确的概率都是23，回答第三个问题正确的概率为12，且各题回答正确与否相互之间没有影响，若回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功．
(1)求至少回答正确一个问题的概率；
(2)求这位同学回答这三个问题的总得分X的分布列．
解：(1)设至少回答正确一个问题为事件A，
则P(A)=1−13×13×12=1718；
(2)这位同学回答这三个问题的总得分X的
所有可能取值为−10，0，10，20，30，40，
所以P(X=−10)=13×13×12=118，P(X=0)=23×13×12×2=29，
P(X=10)=23×23×12=29，P(X=20)=13×13×12=118，
P(X=30)=23×13×12×2=29，P(X=40)=23×23×12=29，
随机变量X的分布列是
设计意图：通过课堂练习，检验学生对本节所学内容的掌握情况.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
X
1
2
3
4
5
6
P
16
16
16
16
16
16
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
X
0
1
P
0.95
0.05
X
0
1
P
1−p
p
等级
不及格
及格
中等
良
优
分数
1
2
3
4
5
人数
20
50
60
40
30
X
1
2
3
4
5
P
110
14
310
15
320
X
0
1
2
P
715
715
115
X
0
1
2
3
4
5
P
0.1
0.1
a
0.3
0.2
0.1
X
−10
0
10
20
30
40
P
118
29
29
118
29
29