高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册二项分布与超几何分布教案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册二项分布与超几何分布教案设计，共18页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第1课时 二项分布

一、教学目标
1.通过具体事例，了解伯努利试验，掌握二项分布，并能解决简单的实际问题；
2.通过独立思考、相互交流，并借助由特殊到一般的方法，能归纳出二项分布的期望方差，从中体会数学的理性与严谨，提升数学抽象、逻辑推理与数学运算的素养；
3.经历实际问题的对比分析，归纳提炼，树立普遍联系的观念；在问题的解决过程中感悟数学与生活的和谐之美，体会数学的文化价值和应用价值.

二、教学重难点
重点：n重伯努利试验模型、二项分布模型，用它们解决一些简单的实际问题.
难点：利用二项分布模型解决实际问题.

三、教学过程
（一）复习导入
师生活动：教师提出问题，学生回顾并回答.
思考1：对立事件概率有什么特征？
答：对立事件只有两个结果，如果事件A和事件B互为对立事件，则PA+PB=1.
思考2：条件概率常见的求法有哪些？
答：条件概率常见的求法：
(1)利用定义求条件概率PB|A=PABPA；
(2)利用缩小的样本空间求条件概率PB|A=nABnA；
(3)利用剔除法求条件概率PB|A=km，其中m为剔除事件A中条件后样本点的个数，k为事件AB包含的样本点的个数.
思考3：概率的加法公式和乘法公式分别是什么？处理一个较复杂的概率问题时常用的策略是什么？
答：加法公式：若B和C是两个互斥事件，则P(B∪C)=P(B)+P(C)；P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).
乘法公式：对任意两个事件A与B，若PA>0，则称PAB=P(A)P(B|A)为概率的乘法公式.特别地，当事件A与B相互独立时，PAB=P(A)P(B).
对于一个较复杂事件的概率问题，通常是先把其表示为一些简单事件的运算结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率.
师生活动：教师提出新颖情境，学生讨论.
情境：刘备帐下的智囊团除诸葛亮以外还有9名谋士，假定对某事进行决策时，这9名谋士贡献正确意见的概率均为0.7,诸葛亮贡献正确意见的概率为0.85.现刘备为某事可行与否征求智囊团的意见.有以下两种方案：
(1)征求每名谋士的意见，并按多数人的意见作出决策.
(2)采纳诸葛亮的意见.应按哪种方案作出决定？
设计意图：通过回顾上节课的内容以及设立新情境，引入本节新课，引发学生思考，积极参与互动，说出自己的见解，激发学生的学习兴趣，从而引入伯努利试验的概念.
（二）探究新知
任务一：伯努利试验与n重伯努利试验的定义
探究1：进行下面的试验结果：
1.游乐园里射击；
2.埋下种子种植；
3.新冠核酸结果；
4.购买的彩票；
5.医院正常新生儿。
师生活动：教师出示问题并提出相关问题，引导学生分析、思考.
思考1：上述试验会产生哪些结果？
答：射击：中靶与脱靶；种植：发芽与不发芽；核酸结果：阴性与阳性；彩票：中奖与不中奖；新生儿性别：男与女.
思考2：以上试验结果有什么共同特点？
答：都只有两种可能的结果：“成功”或“失败”.
思考3：阅读课本，这是课本上的什么试验？
答：伯努利试验.
总结：伯努利试验的定义：
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
设计意图：通过具体事例，逐步分析、探索出伯努利试验的概念，让学生对伯努利试验的定义有一个初步了解和认识，为引出n重伯努利试验奠定基础.
探究2：以下三个试验和伯努利试验相关吗？它们有何共同特点？
1.抛掷一枚质地均匀的硬币10次.
2.某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次.
3.一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件.
师生活动：教师出示问题并提出相关问题，引导学生分析、思考.
思考1：以上三个试验和伯努利试验相关吗？
答：相关，三个试验中每次试验的可能结果只有两种，可以认为是一个伯努利试验，n次试验相当于把伯努利试验重复了n次.
思考2：它们有何共同特点？
答：(1) 同一个伯努利试验重复做n次；
各次试验的结果相互独立；
每次结果“成功”的概率p相同，“失败”的概率也相同，为1−p；
思考3：该试验符合课本的什么定义？
答：符合n重伯努利试验定义
师生活动：师生共同抽象出n重伯努利试验的相关概念.
总结：n重伯努利试验定义
将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
思考4：伯努利试验与n重伯努利试验有何不同？
答：伯努利试验做一次试验，n重伯努利试验做n次试验.
思考5：在伯努利试验中，我们关注什么？在n重伯努利试验中呢？
答：在伯努利试验中, 我们关注某个事件A是否发生；在n重伯努利试验中, 我们关注事件A发生的次数.
设计意图：通过具体实例，引导学生抽象出n重伯努利试验的概念.在具体实例的基础上理解伯努利试验与n重伯努利试验的概念，并探究n重伯努利试验的共同特征，提升学生的数学抽象核心素养.
任务二 二项分布概率公式的理解
思考1：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8. 连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的？
师生活动：学生独立完成，教师点评.
答：用Ai表示“第i次射击中靶”i=1,2,3，用树状图表示试验的可能结果：
由概率的加法公式和乘法公式得
P(X=0)=P(A1A2A3)=0.23
P(X=1)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=3×0.8×0.22
P(X=2)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=3×0.82×0.2
P(X=3)=P(A1A2A3)=0.83
思考2：可以利用组合数来表示吗？
师生活动：教师提出问题，学生独立完成.
答：3次射击恰好2次中靶的概率为C32×0.82×0.21.
即P(X=2)=P(A1A1A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=C32×0.82×0.21.
同理可求中靶0次、1次、3次的概率.
P(X=0)=P(A1A2A3)=C30×0.80×0.23
P(X=1)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=C31×0.82×0.21
P(X=3)=P(A1A2A3)=C33×0.83×0.20
于是，中靶次数X的分布列可表示为
P(X=k)=C3k×0.8k×0.23−k,k=0,1,2,3.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布（binmial distributin），记作X~Bn,p．
思考3：如果连续射击4次 ，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些？写出中靶次数X的分布列.
连续射击4次，中靶次数X=2的结果有
A1A2A3A4,A1A2A3A4,A1A2A3A4,A1A2A3A4,A1A2A3A4,A1A2A3A4
中靶次数X的分布列为
P(X=0)=C40×0.80×0.24=0.24
P(X=1)=C41×0.81×0.23=4×0.8×0.23
P(X=2)=C42×0.82×0.22=6×0.82×0.22
P(X=3)=C43×0.83×0.21=4×0.83×0.2
P(X=4)=C44×0.84×0.20=0.84
答：如果把p看成b ，1−p看成a ，则 Cnkpk(1−p)n−k 就是二项式定理(1−p)+pn的展开式的第k+1项，由此才称为二项分布.
由二项式定理，可得
k=0nP(X=k)=k=0nCnkpk(1−p)n−k=(1−p)+pn=1
思考4：二项分布和两点分布有什么联系？
师生活动：教师提出问题，学生思考交流.
答：二项分布的分布列如下表：
当n=1时，可以得到两点分布的分布列如下表：
两点分布是一种特殊的二项分布，即是n=1的二项分布；二项分布可以看做两点分布的一般形式.
设计意图：通过概念辨析，深化学生对二项分布概率公式的结构特征及含义的理解，领会二项分布公式是用来解决“n重伯努利试验”类概率问题，并总结运用二项分布公式求解问题的一般步骤，培养学生归纳推理的核心素养.
做一做：将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求:
(1) 恰好出现5次正面朝上的概率；
(2) 正面朝上出现的频率在0.4,0.6内的概率.
师生活动：学生独立完成，教师根据学生的作答情况给予点评，并出示解答过程.
分析：抛掷硬币是伯努利试验，抛掷10次是n重伯努利试验，符合二项分布使用的前提条件，故可以使用二项分布公式进行求解．
解：设A=“正面朝上”，则P(A)=0.5. 用X表示事件A发生的次数，则X~B10,0.5.
恰好出现5次正面朝上的概率为
PX=5=C105×0.55×1−0.55=2521024=63256
(2) 正面朝上出现的频率在0.4,0.6内等价于4≤X≤6，于是所求概率为
P4≤X≤6=C104×0.510+C105×0.510+C106×0.510=6721024=2132
设计意图：通过练习的学习，帮助学生熟悉二项分布公式，掌握利用二项分布公式求概率的方法.
任务三 二项分布的均值与方差
思考1：两点分布的均值和方差各是什么？
师生活动：学生独立思考，尝试解答思路，然后再进行小组讨论交流，学生代表回答，教师引导点拨.
答：X服从两点分布，分布列为
PX=0=1−p，PX=1=p.
所以均值和方差分别为
EX=p，DX=p1−p.
思考2：假设随机变量X~Bn，p，当n=2时，那么X的均值和方差各是什么？
师生活动：学生小组讨论，教师根据学生的作答情况给予点评，并出示解答过程.
答：当n=2时，X的分布列为
PX=0=1−p2，PX=1=2p1−p，PX=2=p2.
所以均值和方差分别为
EX=0×1−p2+1×2p1−p+2×p2=2p.
DX=0×1−p2+12×2p1−p+22×p2−2p2=2p1−p.
思考3：假设随机变量X~Bn，p，那么X的均值和方差各是什么？
师生活动：学生独立思考，尝试解答思路，然后再进行小组讨论交流，学生代表回答，教师引导点拨.
答：猜想：X~Bn，p时，EX=np，DX=np1−p.下面给出对均值的证明.
证明：令q=1−p，由kCnk=nCn−1k−1，可得
EX=k=0nk·PX=k=k=0nk∙Cnkpkqn−k=k=1nn∙Cn−1k−1pkqn−k=npk=1nCn−1k−1pk−1qn−1−k−1.
令k−1=m，则EX=npm=0n−1Cn−1mpmqn−1−m=npp+qn−1=np.
即EX=np.
设计意图 通过自主思考、小组合作探究，从特殊到一般，猜想与证明，得到服从二项分布的随机变量的均值和方差.
（三）应用举例
例1：如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中. 格子从左到右分别编号为0,1,,10 ，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列.
师生活动：教师出示例题，并指导学生分析解题思路，让学生灵活选用条件概率、概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式来解决问题.
分析：小球向右或向左落下，可能性始终相同，属于n重伯努利试验，满足二项分布使用的前提条件，故使用二项分布解决该问题.
解：设A=“向右下落”，则A=“向左下落”，且PA=PA=0.5 .
因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以X~B10,0.5.
于是，X的分布列为
PX=K=C10k×0.510,K=0,1,2,...,10
X的概率分布图如右图所示：
总结：随机变量X服从二项分布的三个前提条件：
(1) 每次试验都是在同一条件下进行的；
(2) 每一次试验都彼此相互独立；
(3) 每次试验出现的结果只有两个，即某事件要么发生，要么不发生.
只有这三个条件均满足时才能说明随机变量X服从二项分布，其事件A在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率可用下面公式计算.
PX=K=CnkPk1−pn−k,K=0,1,2,...,n
例2：一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个题目选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值为____，方差为____．
师生活动：教师出示例题，并指导学生分析解题思路，让学生明准确背记二项分布的期望与方差公式，并掌握使用公式来解决问题的方法.
分析：本题属于二项分布问题，可以直接使用二项分布的期望与方差公式直接进行求解.
解：设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数(成绩)为Y，则Y=4X.
由题知X~B25,0.6，
所以EX=25×0.6=15，DX=25×0.6×0.4=6.
EY=E4X=4EX=60,DY=D4X=16×DX=16×6=96.
所以该学生在这次测试中的成绩的均值与方差分别是60与96.
总结：若随机变量X服从二项分布
则其期望为：E(X)=np
方差为：D(X)=np(1−p)
设计意图：通过例题的学习，深化学生对二项分布的概率公式以及其期望和方差的理解与应用.
（四）课堂练习
1.如果随机变量ξ∼Bn,p，且E3ξ=12,Dξ=43，则p=( )
A. 14B. 13C. 12D. 23
【答案】D
解：因为E3ξ=3Eξ=12，即Eξ=4，
又因为随机变量ξ∼Bn,p，且Dξ=43，
则np=4np1−p=43，解得n=6p=23．
故选：D．
2.已知随机变量X∼Bn,0.5，当且仅当k=4时，PX=k取得最大值，则n=( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】B
解：由题得PX=k=Cnk12n,k=0,1,⋯,n，
由题知在Cn012n,Cn112n,⋯,Cnn12n中，最大值只有Cn412n，
即在Cn0,Cn1,⋯,Cnn中，最大值只有Cn4，由二项式系数的对称性可知n=8．
故选：B．
3.泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出．泊松分布的概率分布列为P(X=k)=λkk！e−λ (k=0,1,2,…)，其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值．已知某种商品每周销售的件数相互独立，且服从参数为λ(λ>0)的泊松分布．若每周销售1件该商品与每周销售2件该商品的概率相等，则两周共销售2件该商品的概率为( )
A. 8e4B. 6e4C. 4e4D. 2e4
【答案】A
解：P(X=k)=λkk！e−λ(k=0,1,2,…)，
由每周销售1件该商品与每周销售2件该商品的概率相等，
得P(X=1)=P(X=2)，则λeλ=λ22eλ，解得 λ=2，
所以P(X=k)=2kk！e−2，
则P(X=0)=200！e−2=1e2，
P(X=1)=211！e−2=2e2，
P(X=2)=222！e−2=2e2，
所以两周共销售2件的概率为2P(X=0)⋅P(X=2)+P(X=1)⋅P(X=1)=2×1e2×2e2+2e2×2e2=8e4．
故选A．
4.某商场举办摸球答题赢购物券活动，顾客在商场内消费达到一定金额即可参与．一次摸球答题活动中，顾客在装有1个黑球和4个白球的盒子中随机摸一个球(每个球除颜色外完全相同)，若摸到黑球，在A类题目中任抽一个回答，答对可获得一张购物券；若摸到白球，在B类题目中任抽一个回答，答对可获得一张购物券．假设每次摸球互不影响，且回答的题目不会重复．已知小明答对每个A类题目的概率均为56，答对每个B类题目的概率均为58．
(1)若小明在一次活动中获得了购物券，求他在摸球时摸到的是黑球的概率；
(2)若小明连续参与三次活动共获得了X张购物券，求X的分布列及数学期望．
解：(1)设事件A：小明在摸球时摸到的是黑球，
事件B：小明获得购物券，
则PA=15，PBA=56，
PA=45，PBA=58，
所以P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)
=15×56+45×58=23，
则小明在获得了购物券的条件下，摸到的是黑球的概率为PAB=PABPB=15×5623=14；
(2)由(1)知小明在一次活动中获得购物券的概率为23，则X∼B3,23，
所以X的分布列为PX=k=C3k23k133−k,k=0,1,2,3，
则X的分布列如下：
所以X得数学期望为EX=np=3×23=2．
设计意图：通过课堂练习，检验学生对本节所学内容的掌握情况.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
X
0
1
...
k
...
n
P
Cn0p01−pn
Cn1p11−pn−1
...
Cnkpk1−pn−k
...
Cnnpn1−p0
X
0
1
P
1−p
p
X
0
1
2
3
P
127
627
1227
827