初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）第二十章 勾股定理20.1 勾股定理及其应用教案配套ppt课件

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）第二十章 勾股定理20.1 勾股定理及其应用教案配套ppt课件，共59页。PPT课件主要包含了你知道为什么吗，你见过这个图案吗，方法一割，方法二补，方法三拼，∵S大正方形＝c2，b-a，bc为正数，所以AB＝10，或24等内容，欢迎下载使用。
《周髀算经》的第一章曾记载了一段对话，商高对周公姬旦说：“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五”.
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，斜边称为“弦”.
按照商高的说法，如果勾长为三，股长为四，弦长必定是五.
国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术会议.2002 年在北京召开了第 24 届国际数学家大会.如图就是大会的会徽的图案.
它由哪些基本图形组成？
我们一起穿越回到 2500 年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）：
观察右边地面的图形，猜想毕达哥拉斯发现了什么？
（图中每一格 代表 1 cm2）
如图，在等腰三角形 ABC 中，∠C = 90°，以 AC 为边作正方形 P，以 BC 为边作正方形 Q，以斜边 AB 为边作正方形 R.观察图形进行填空.
正方形 Q 的面积是_____个单位面积；正方形 P 的面积是_____个单位面积；正方形 R 中含有_____个小方块，正方形 R 的面积是_____个单位面积.
SP + SQ = SR
AC2 + BC2 = AB2
等腰直角三角形 ABC 三边长度之间存在什么关系吗？
SP = AC2 SQ = BC2 SR = AB2
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
请你类比上面的方法对一般直角三角形进行探索 (每个小正方形的面积为单位 1)：
这两幅图中A，B的面积都好求，该怎样求 C 的面积呢？
分割为四个直角三角形和一个小正方形.
补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.
将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形.
分析表中数据，你发现了什么？
双击图标开始演示几何画板
同学们发现的直角三角形三边的规律是否适用于所有的直角三角形呢？
验证命题：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2. 两直角边的平方和等于斜边的平方.
让我们跟着以前的数学家们用多种方法来证明这一命题.
证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明命题吧.
S小正方形＝(b - a)2，
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积证明了这一命题，表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲！因此，这个图案被选为 2002 年在北京召开的国际数学家大会的会徽.
证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab，
∴ a2 +b2 = c2.
证明：∵ S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab，
∴ a2 + b2 = c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2.
在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.
例2 如图，根据所给条件分别求两个直接三角形中未知边的长.
解：(1) 在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，AB²＝AC²＋BC²＝8²＋6²＝100，
(2) 在 Rt△DEF 中，根据勾股定理，DE²＋EF²＝DF²，从而 DE²＝DF²－EF²＝17²－15²＝64，所以 DE＝8.
(1) 若 a∶b = 1∶2 ，c = 5，求 a；
(2) 若 b = 15，∠A = 30°，求 a，c.
【变式题1】在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°.
设 a = x，c = 2x，
解：(1) 设 a = x，b = 2x
x2 + (2x)2 = 52，
【变式题2】 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：当 AB 为斜边时，如图①，当 BC 为斜边时，如图②，
求下列图中未知数 x、y 的值：
解：由勾股定理可得 81 + 144 = x2， 解得 x = 15.
解：由勾股定理可得 y2 + 144 = 169， 解得 y = 5.
1.下列说法中，正确的是 （ ）A. 已知 a，b，c 是三角形的三边，则 a2 + b2 = c2B. 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，所以 a2 + b2 = c2D. 在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，所以 a2 + b2 = c2
2. 图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 cm².
3. 在 △ABC 中，∠C = 90°.(1) 若 a = 15，b = 8，则 c = . (2) 若 c = 13，b = 12，则 a = .4. 若直角三角形中，有两边长是 5 和 7，则第三边 长的平方为_________.
符号语言：在Rt△ABC 中，∠C = 90°，______________
已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
a2 + b2 = c2.
20.1 勾股定理及其应用
第2课时 勾股定理在实际生活中的应用
直角三角形的_________________，等于____________.
如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么___________.
a2 + b2 = c2
有一人拿着一根杆子进屋门，横着拿，不能进，竖着拿，也不能进，干脆将其折断，才解决了问题.请问同学们，这样是真正解决了问题了吗？让你做的话，你感觉怎么办合适？
问题 观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进门的情况，对于长竹竿进门之类的问题你有什么启发？
这个跟我们学的勾股定理有关，将实际问题转化为数学问题
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长 3 m，宽 2.2 m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
可以看出木板横着或竖着都不能从门框通过，只能试试斜着能否通过.
门框对角线 AC 的长度是斜着能通过的最大长度，求出 AC，再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过.
若木板长小于AC 长，则通过；反之，不行
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长 3 m，宽 2.2 m 的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?
解：连接 AC，在Rt△ABC 中，根据勾股定理，AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝52.
因为 AC 大于木板的宽 2.2 m，所以木板能从门框内通过.
例2 如图，一架长为 2.5 m 的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点 A 处，底端位于地面的点 B 处，点 B 到墙面的距离 BO 为 0.7 m. 如果将梯子底端沿 OB 向外移动 0.8 m，那么梯子顶端也沿墙 AO 下滑 0.8 m 吗?
解：当梯子底端设 OB 向外移动 0.8 m 时，设梯子的底端由点 B 移动到点 D ，顶端由点 A 下滑到点 C. 可以看出，AC＝OA－OC.
在 Rt△AOB 中，根据勾股定理得
OA2 = AB2 - OB2 = 2.52 - 0.72 = 5.76，
在 Rt△COD 中，根据勾股定理得
OC2 = CD2 - OD2 = 2.52-(0.7+0.8)2=4，
因此，当梯子底端向外移动 0.8 m 时，梯子顶端并不是下滑 0.8 m，而是下滑 0.4 m.
所以，AC = OA - OC = 2.4 - 2 = 0.4.
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
将实际问题转化为数学问题，建立几何模型，画出图形，分析已知量、待定量，这是利用勾股定理解决实际问题的一般思路.
1.有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
解：设水深为 x 尺，则这根芦苇的高为 (x+1) 尺，根据题意和勾股定理可列方程：
x2+52 = (x+1)2，解得 x = 12.
2.如图，学校教学楼前有一块长为 4 米，宽为 3 米的长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草.（1）求这条“径路”的长；（2）他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？
解：(1) 在Rt△ ABC 中，根据勾股定理得∴这条“径路”的长为5米.
(2) 他们仅仅少走了 (3 + 4 - 5)×2 = 4(步).
用勾股定理解决实际问题
用勾股定理解决点的距离
解决“HL”判定方法证全等的正确性问题
1.从电线杆上离地面 5 m的 C 处向地面拉一条长为 7 m的钢缆，则地面钢缆 A 到电线杆底部 B 的距离是( )A. 24 m B. 12 m C. m D. m
2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是 9 cm，内壁高 12 cm，则这只铅笔的长度可能是（　　）A. 9 cm B. 12 cm C. 15 cm D. 18 cm
3. 已知点(2，5)，(-4，-3)，则这两点的距离为____.
4. 如图，有两棵树，一棵高 8 米，另一棵高 2 米，两棵树相距 8 米. 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行多少米？
解：如图，过点 A 作 AC⊥BC 于点 C.由题意得 AC = 8 (米)，BC = 8 - 2 = 6 (米)， 答：小鸟至少飞行 10 米.
20.1 勾股定理及其应用
第3课时 利用勾股定理作图或计算
1.一条有方向的直线，标上刻度，零点后变成了一种什么样的数学工具？
2.数轴上的点与实数有什么关系？
3.你可以在数轴上表示无理数？
这个图是怎样绘制出来的呢？
在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案， 如第七届国际数学教育大会的会徽.
用同样的方法作 呢？
问题2 长为 的线段能是直角边的长都为正整数的直角三角形的斜边吗？
也可以使 OA = 2，AB = 3，同样可以求出 C 点.
利用勾股定理表示无理数的方法:
（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.
（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.
例1 如图，数轴上点 A 所表示的数为 a，求 a 的值.
解：∵图中的直角三角形的两直角边长为1和2，∴斜边长为 ，即 －1 到 A 的距离是 ，∴点 A 所表示的数为 .
易错点拨：求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，则所表示的数不是斜边长.
1. 如图，点 A 表示的实数是 (　　)
2.如图，在矩形 ABCD 中，AB = 3，AD = 1，AB 在数轴上，若以点 A 为圆心，对角线 AC 的长为半径作弧交数轴于点 M，则点 M 表示的数为(　　)
3. 你能在数轴上画出表示 的点吗？
画一画 在 5×5 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，请在给定网格中以 A 出发分别画出长度为 的线段 AB．
例2 在如图所示的 6×8 的网格中，每个小正方形的边长都为 1，写出格点 △ABC 各顶点的坐标，并求出此三角形的周长．
解：由题图得A(2,2),B(-2,-1),C(3,-2).由勾股定理得∴△ABC 的周长为
例3 如图是由 4 个边长为 1 的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在这个田字格中最多可以作出多少条长度为 的线段？
解：如图所示，有 8 条.
一个点一个点的找，不要漏解.
如图，在 5×5 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，画出一个三角形的长分别为 .
利用勾股定理作图或计算
在数轴上表示出无理数的点
利用勾股定理解决网格中的问题
通常与网格求线段长或面积结合起来
1.如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段 AB 的长度为（ ） A.5 B.6 C.7 D.25
2.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，在数轴上的 2 个单位长度的位置找一个点 D，然后过点 D 作一条垂直于数轴的线段 CD，CD 为 3 个单位长度，以原点为圆心，原点到点 C 的距离为半径作弧，交数轴于一点(如图)，则该点位置大致在数轴上 (　　)A. 2 和 3 之间 B. 3 和 4 之间C. 4 和 5 之间 D. 5 和 6 之间