人教版（2024）八年级下册（2024）20.1 勾股定理及其应用精品教案设计

这是一份人教版（2024）八年级下册（2024）20.1 勾股定理及其应用精品教案设计，共4页。教案主要包含了回顾导入，教学建议，对应训练，随堂训练，课堂总结，知识结构，作业布置等内容，欢迎下载使用。
八年级数学下册 31
教学目标
课题
20.1 第3课时利用勾股定理作图、计算
授课人

素养目标
1.理解直角三角形三边的关系，会应用勾股定理解决直角三角形全等判定定理的证明.
2.能利用勾股定理在数轴上找到表示无理数的点.
3.在数学活动中培养学生的探究意识和合作交流的习惯，并体会勾股定理的应用价值.
教学重点
利用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点.
教学难点
转化思想、方程思想、数形结合思想的灵活运用.
教学活动
教学步骤
师生活动
活动一：交流新知，验证旧知
【回顾导入】
在八年级上册中，我们曾经通过探究得出结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗?
已知:如图,在 Rt△ABC 和.Rt△A'B'C'中, ∠C=∠C'=90°,AB=A'B',AC=A'C'.
求证:△ABC≌△A'B'C'.
证明:在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'中, ∠C=∠C'=90°,
根据勾股定理， BC=AB²−AC²,B'C'=A'B'²−A'C'².
又 AB=A'B',AC=A'C',∴BC=B'C'.
∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).
【教学建议】
师生共同画图，
写出已知、求证，引导学生分析：锐角未知，只能通过“SSS”或“SAS”证明，并指定学生代表证明.
设计意图
让学生利用勾股定理证明之前学过的“HL”.
活动二：问题引入，自主探究
探究点 利用勾股定理在数轴上表示实数
我们知道，任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示，你能在数轴上画出表示 13的点吗?
(1)如果能画出长为 13的线段，就能在数轴上画出表示. 13的点.想一想，你能画出长为 2的线段吗?怎么画?说说你的画法.
答：画一个两条直角边的长都为1的直角三角形，它的斜边长就是 2
(2)长为 13的线段能是两条直角边的长都为正整数的直角三角形的斜边吗?
答：设斜边( c=13,，两直角边分别为a，b，根据勾股定理有 a²+b²=c²=13,，若a ，b为正整数，则13必须分解为两个完全平方数的和，即 13=4+9,a²=4,b²=9,,则a=2,b=3，所以长为 13的线段是直角边长分别为正整数 2 和 3 的直角三角形的斜边长，如图所示.
(3)在数轴上画出表示 13的点.
解：①如图，O为数轴原点，在数轴上找出表示3的点 A，则OA=3；
②过点 A 作直线 l 垂直于 OA,在 l 上取点 B,使AB=2;
③以原点 O 为圆心，OB 长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点 C 即为表示 13的点.
(4)我们知道了怎么画出斜边长为 2的直角三角形，那么怎么画出斜边长为 3的直角三角形呢?
【教学建议】
让学生 交 流 讨
论，教师给予适当提示.最后总结在数轴上画表示无理数的点的一般步骤：
(1)利用勾股定理
拆分出两条线段长的平方和等于所求无理数的平方(一般拆分的两条线段的长是正整数，这样作图较方便)；
(2)以原点为直角
三角形斜边的顶点，在数轴上作一条直角边，再作另一条直角边，构造直角三角形；
(3)以数轴原点
为圆心，以斜边长为半径作弧，弧与数轴的交点即为所求的表示该无理数的点(一般所求无理数是正的，所求点就是弧与正半轴的交点).
设计意图
引导学生探究在数轴上画出表示无理数的点.
32 名师教学设计
教学步骤
师生活动

答：根据( 2²+1=3=3²,先画出长为 2的线段，再以 2和1为直角边的长画直角三角形，则斜边长即为 3
(5)你能画出斜边长为 n(n是正整数)的直角三角形吗?你能在数轴上画出表示 n的点吗?
答：类似地，利用勾股定理，可以作出长为 2,3,5,…的线段(如图①).按照同样的方法，可以在数轴上画出表示 1,2,3,4,5,⋯·的点(如图②).
【对应训练】
教材P29练习第1题.

活动三：重点突破，提升探究
例 如图,数轴上点 A 表示的数为1,AB⊥OA,且AB=OA.以原点O 为圆心，OB 长为半径作弧，交数轴的负半轴于点C，则点 C 所表示的数为(D)
A.2−1 B.1−2C. 2 D.−2
【对应训练】
1.如图，数轴上点 A 所表示的数为a，则a 的值是(B)
A.5+1 B.5−1 C.−5+1 D.−5−1
2.教材P29练习第2,3题.
【教学建议】
提醒学生解决此
类题需注意：(1)弧与数轴的交点与圆心的位置关系(有时交点在圆心左侧)；(2)作弧时所取的圆心在数轴上表示的数(有时不是0).
设计意图
从不同角度巩固学生对勾股定理的认识.
活动四：随堂训练，课堂总结
【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：你会用勾股定理证明“HL”吗?你会在数轴上画出表示无理数的点吗?
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P30~32习题20.1第6,7,8,11,13,14题.
2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
板书设计
20.1勾股定理及其应用
第3课时利用勾股定理作图、计算
1.利用勾股定理证明“HL”.
2.利用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点.
教学反思
本节课的重点和难点是在数轴上画出表示无理数的点，学生之前没有接触过这类题型，教学中教师要引导学生积极地发表自己的看法，梳理所学到的知识，逐步探究，加深对知识的理解和巩固.
备课素材
解题大招
解题大招一 利用勾股定理进行几何作图
例1 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：
(1)在图①的网格中画出长为 5的线段AB；
(2)在图②的网格中画出腰DE，DF 的长为 10,，面积为3的等腰三角形DEF；
(3)在图③的网格中画出三边长分别为 5, 13,2 5的三角形，并直接写出其面积为 4 .
解:(1)如图①,由 5=12+22可以构造一个两条直角边长分别为1和2的直角三角形，则斜边AB 的长为 5
(2)如图②,由 10=12+32可以构造一个底边长为6，高为1的等腰三角形DEF.
(3)由 5=12+22,13=22+32,25=20=22+42可以构造如图③所示的三角形，
此三角形的面积为 3×4−12×1×2−12×2×3−12×2×4=4.
例2 在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A 和直线l的位置如图所示.
(1)将点A 向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点B，请在图①中标出点B，并写出线段AB 的长度： 210;
(2)在(1)的条件下，在直线l上确定一点P，使PA+PB 的值最小，在图①中保留作图痕迹，并直接写出PA+PB的最小值： 62;
(3)在(1)的条件下，C为直线l上的格点，△ABC 是以AB 为斜边的直角三角形，请在图②中标出点C，并写出线段AC的长度：2 2或2 5 .
解析:(1)如图①, AB=22+62=210.故答案为 210.
(2)如图①, PA+PB=PA'+PB=A'B=62+62=62故答案为 62.
(3)如图②，存在两个符合条件的点，分别为 C1,C2,AC1=22+22=22,AC2=22+42=25.故答案为2 2或2 5
解题大招二 利用勾股定理解决最短路线问题
例3 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A 和B 是这个台阶上两个相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到点 B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到点 B 的最短路程是(B)
A.20dmB.25dmC.30dmD.35dm
解析:如图,三级台阶平面展开图为长方形,长为20dm,宽为(3+2)×3=15(dm),
则蚂蚁沿台阶面爬行到点B 的最短路程是此长方形的对角线长.
故蚂蚁沿台阶面爬行到点 B 的最短路程为 202+152=25dm.
故选B.
八年级数学下册33
例4 如图，圆柱形玻璃杯的高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm且与蜂蜜相对的点 A 处，则该蚂蚁从外壁A 处爬到内壁B 处的最短路程为 20 cm.(杯壁厚度不计)
解析：将圆柱体侧面展开，如图所示，
作点A 关于PS的对称点A',连接A'B 交PS 于点C,
则蚂蚁从点A 爬到点C，再爬到点B，爬行的路程最短，最短路程等于A'B的长.
∵PA'=PA=3cm,OQ=5cm,PQ=14cm,PS=32cm,
∴OA'=14+3−5=12cm,OB=12PS=16cm.
在 Rt△A'OB 中,可得 A'B=122+162=20cm.
故该蚂蚁从外壁A 处爬到内壁B 处的最短路程为 20cm.故答案为20.
例5 如图，长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短路径的长是 145 cm.
解析：把长方体按前面、上面展开如图①，由勾股定理可得 AB=82+5+42=145cm;
把长方体按前面、右面展开如图②，由勾股定理可得 AB=8+42+52=13cm;
把长方体按左面、上面展开如图③，由勾股定理可得 AB=8+52+42=185cm.
∵145