【新教材新课标】人教版数学八下20.1 第1课时 勾股定理（教学课件+教学设计）

人教版数学(新教材)八年级下册20.1 勾股定理A，B，C的面积有什么关系？ 在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫作勾，长的直角边叫作股，斜边叫作弦.根据我国数学典籍《周牌算经》记载，在约公元前11世纪，人们就知道，如果勾为三、股为四，那么弦为五.后来人们进一步发现并证明了直角三角形三边之间的数量关系——两条直角边长的平方和等于斜边长的平方，这就是勾股定理. 直角三角形是一种特殊的三角形，具有广泛的应用价值，人们对其研究也由来已久.20.1 勾股定理及其应用第1课时 勾股定理1．经历勾股定理的探索过程，感受数形结合的思想．3．尝试用多种方法验证勾股定理，体验解决问题策略的多样性．（难点）2．掌握勾股定理，会运用勾股定理解决一些与直角三角形有关的问题．（重点）学 习 目 标 直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余，对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？ 在《周髀算经》的开篇，商高（约公元前11世纪）构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积.新 课 导 入 商高所指的面积关系可以用图形表示.如图，红色直角三角形的边长分别为3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形，所得正方形的面积分别为9，16，25，且9+16=25.从边的角度看，这个直角三角形的三边满足：两条直角边长的平方和等于斜边长的平方. 其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？新 课 导 入1.如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形A，B，C的面积之间有什么关系？D，E，F呢？ACBDFE图①图②合 作 探 究ACB图①正方形A中含有___个小正方形，即A的面积是____．正方形B中含有___个小正方形，即B的面积是___．正方形C中含有___个小正方形，即C的面积是____．观察：999918189＋9＝18，满足两直角边的平方和等于斜边的平方．数格子法合 作 探 究DFE图②正方形D中含有___个小正方形，即D的面积是____．正方形E中含有___个小正方形，即E的面积是___．正方形F中含有___个小正方形，即F的面积是___．4444884＋4＝8，满足两直角边的平方和等于斜边的平方．观察：合 作 探 究2.对于下图中的直角三角形，是否还满足前面所猜想的数量关系？你又是如何计算的呢？正方形C的面积可以怎么计算呢？提示：以直角三角形斜边为边的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积.合 作 探 究ACB图①方法一：分“割”成若干个直角边为整数的三角形 方法二：把C“补” 成边长为7的正方形 合 作 探 究正方形A中含有___个小正方形，即A的面积是___．正方形B中含有___个小正方形，即B的面积是___．正方形C中含有___个小正方形，即C的面积是____．161699252516＋9＝25，满足两直角边的平方和等于斜边的平方．观察：合 作 探 究新 知 小 结勾股弦我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理）拓 展 提 升“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，右图是弦图的示意图． 弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，尝试验证：a2＋b2＝c2． 证明勾股定理的方法有很多，下面介绍我国古代数学家赵爽的证法.合 作 探 究尝试验证：a2＋b2＝c2． 化简得：c2 ＝a2＋b2．S大正方形 ＝S小正方形＋4S直角三角形 这就证明了勾股定理．证明：弦图合 作 探 究用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形．与上面的方法类似，根据这一图形，尝试证明勾股定理． 化简得：c2 ＝a2＋b2．S大正方形＝S小正方形＋4S直角三角形 证明：合 作 探 究解：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理，AB2＝AC2＋BC2＝82＋62＝100，所以AB=10.（2）在Rt△DEF中，根据勾股定理，DE2＋EF2＝DF2，从而DE2＝DF2-EF2＝172＋152＝64，所以DE=8.典 例 精 析典 例 精 析例2　在Rt△ABC中， ∠C=90°.（1）若a：b=1：2 ，c=5,求a;（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.x2+(2x)2=52，(2)∵b=15，∠A=30°,因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得(2x)2-x2=152，解得典 例 精 析典 例 精 析1.下列说法中,正确的是 （ ）A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2C2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .36 cm²随 堂 练 习3.在△ABC中，∠C=90°.（1）若a=15，b=8，则c= . （2）若c=13，b=12，则a= .4.若直角三角形中，有两边长是5和7，则第三边长的平方为_________.17574或24随 堂 练 习5．求斜边长17 cm，一条直角边长15 cm的直角三角形的面积． 随 堂 练 习D6．如图，求等腰△ABC的面积．随 堂 练 习勾股定理证明定理课 堂 总 结