初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）20.1 勾股定理及其应用表格导学案

这是一份初中数学人教版（2024）八年级下册（2024）20.1 勾股定理及其应用表格导学案，共6页。学案主要包含了引入思考，知识技能类练习，综合拓展类练习，知识技能类作业，综合拓展类作业等内容，欢迎下载使用。

课题
20.1 勾股定理及其应用（第1课时）
单元
第二十章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1．经历勾股定理的探索过程，理解勾股定理的内容．
2．能运用勾股定理进行简单的直角三角形边长计算．
重点
理解勾股定理的内容，并能运用其进行简单的直角三角形边长计算．
难点
经历勾股定理的探究过程，理解从面积关系到三边关系的推导逻辑．
探究过程
导入新课
【引入思考】
直角三角形是一种特殊的三角形，具有广泛的应用价值，人们对其研究也由来已久．在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫作勾，长的直角边叫作股，斜边叫作弦．根据我国数学典籍 《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就知道，如果勾为三、股为四，那么弦为五．后来人们进一步发现并证明了直角三角形三边之间的数量关系—两条直角边长的平方和等于斜边长的平方，这就是勾股定理．
问题：直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余．对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？
新知探究
本节课来研究：
本节我们研究勾股定理。
阅读：在《周髀算经》的开篇，商高（约公元前11世纪）构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出 “两矩共长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积．
商高所指的面积关系可以用图形表示．如图，红色直角三角形的三边长分别为3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形，所得正方形的面积分别为___，___，___，且9＋16___25．从边的角度看，这个直角三角形的三边满足：两条直角边长的______等于斜边长的______．
想一想：其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？
探究：如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形A1，B1，C1的面积之间有什么关系？A2，B2，C2呢？A3，B3，C3呢？
以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？由此，你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗？
分析：以直角三角形斜边为边的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积．
猜想：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝____．
阅读：证明这个猜想的方法有很多，下面介绍我国古代数学家赵爽（约3世纪）的证法．
如图所示，这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形（红色）可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）．
赵爽利用弦图证明这个猜想的基本思路如下：如图(1)所示，把边长分别为a，b的两个正方形连在一起，它的面积是________ ．这两个正方形还可以分割成四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形（黄色），把图(1)中左、右两个三角形移到图(2)中所示的位置，就会形成一个以c为边长的正方形（图 (3)），它的面积是____．因为图(1)与图(3)都由四个全等的直角三角形 （红色）和一个正方形 （黄色）组成，所以它们的面积相等，即__________．
这样就证明了前面的猜想．它表明了直角三角形三边之间的关系，我国把它称为勾股定理．
赵爽指出：按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四．以勾股之差自相乘为中黄实．加差实，亦成弦实．
归纳：勾股定理
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
指出：在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理．
赵爽通过对图形的分割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，这种方法是我国古代数学家常用的“出入相补法”．“赵爽弦图”体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲．2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是以此图为原型设计的（如图所示）．
探究：根据 “赵爽弦图” ，你能通过计算弦图的面积推导出勾股定理吗？
例1：如图所示，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长．

课堂练习
【知识技能类练习】
必做题：
1．如图，在△ABC中，∠C=90°，若AC=5，AB=13，则BC的长是( )
A．25B．144C．12D．15
2．如图，阴影部分正方形的边长是________．
3．已知△ABC中，∠C=90°，a，b为直角边，c为斜边．
(1)若a=1，b=2，求c；
(2)若a=4，c=5，求b．
选做题：
4．在平面直角坐标系中，点P(−4,3)，则点P到原点的距离为（ ）
A．3B．−5C．5D．4
【综合拓展类练习】
5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．
(1)求证：AC=AE；
(2)若AC=8，BC=6，求CD的长．
课堂小结
说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计
【知识技能类作业】
必做题：
1．劳技课上，小明用同样长度的小木棒去搭建直角三角形，他搭建两条直角边分别用了3根和4根小木棒，那么他搭建斜边用的小木棒数量是（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．已知直角三角形的三边长分别为7，n+1，n+2（n+2是斜边），则n=________．
3．在△ABC中，∠C=90°，设AB=c，BC=a，AC=b．
(1)已知a=8，b=15，求c；
(2)已知c=13，b=5，求a．
选做题：
4．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为（ ）
A．5B．3C．10D．15
【综合拓展类作业】
5．如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=3，求图中阴影部分的面积．