数学八年级下册（2024）第二十章 勾股定理20.2 勾股定理的逆定理及其应用图文ppt课件

这是一份数学八年级下册（2024）第二十章 勾股定理20.2 勾股定理的逆定理及其应用图文ppt课件，共36页。PPT课件主要包含了结论能成立吗，证一证，知识点2勾股数，常见勾股数，勾股数拓展性质，如345，勾股定理的逆定理，互逆定理，第二十章勾股定理，所以AC＝4等内容，欢迎下载使用。
前面我们学习了勾股定理，同学们能说出它的题设和结论吗？
勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边为 c，那么 a2 + b2 = c2.
结论：a2 + b2 = c2.
题设(条件)：直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边为 c.
反过来，如果一个三角形的三边长 a，b， c， 满足 a2 + b2 = c2. 那么这个三角形的题设和结论是怎样的？
结论：这个三角形是直角三角形.
题设(条件)：三角形的三边长 a，b， c， 满足 a2 + b2 = c2.
据说，古人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等等距的 13 个结，然后以 3 个结间距，4 个结间距，5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
这种做法真能得到一个直角三角形吗？
知识点1： 勾股定理的逆定理
这个三角形三边有什么关系吗？
32 + 42 = 52
(1) 下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这些数为边长 (单位：cm) 画三角形：
① 2.5，6，6.5； ② 4，7.5，8.5.
(2) 量一量：用量角器分别测量上述各三角形的度数.
(3) 想一想：判断这些三角形的形状，提出猜想.
这些三角形是直角三角形！
构造两直角边分别为a，b 的Rt△A′B′C′
已知：如图，△ABC的三边长 a，b，c，满足a2+b2=c2． 求证：△ABC 是直角三角形．
证明：作 Rt△A′B′C′，使∠C′ = 90°，A′C′ = b，B′C′ = a，
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
∴∠C = ∠C′ = 90°， 即△ABC 是直角三角形.
在△ABC 和△A′B′C′ 中
则 A′B′ 2 = B′C′ 2 + A′C′ 2 = a2 + b2.
∵ a2 + b2 = c2，∴ A′B′ 2 = c2 . ∴ A′B′ = c .
如果三角形的三边长 a 、b 、c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
这是判定直角三角形的一个依据.
例1 判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是 直角三角形：
(1) a = 8，b = 15，c = 17；
(2) a = 14，b = 13，c = 15.
答案：(1) 是直角三角形.
(2) 不是直角三角形.
1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是( )A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7
2.一个三角形的三边的长分别是 3，4，5，则这个三角形最长边上的高是 ( )A．4 B．3 C．2.5 D．2.4
3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26 等等.
一组勾股数，都扩大相同倍数 k ( k 为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
勾股定理：在 Rt△ABC 中，若∠C = 90°，则___________
回顾所学，并完成下列框图.
a2 + b2 = c2
在 △ABC 中，若 a2 + b2 = c2，则△ABC 为直角三角形且∠C = 90°.
1.下列各组数是勾股数的是 ( ) A.3，4，7 B.5，12，13 C.1.5，2，2.5 D.1，3，5
将直角三角形的三边长扩大同样的倍数，则得到的三角形 ( )A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
3.在△ABC 中，∠A， ∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c.①若∠C - ∠B = ∠A，则△ABC 是直角三角形；②若 c2 - b2 = a2，则△ABC是直角三角形，且∠C = 90°；③若 (c + a)(c - a) = b2，则△ABC 是直角三角形；④若∠A∶∠B∶∠C = 5∶2∶3，则△ABC是直角三角形.以上命题中的假命题有 （ ）A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
4. 若△ABC 的三边 a，b，c 满足 a2 + b2 + c2 + 50 = 6a + 8b + 10c. 试判断△ABC 的形状.
解：∵ a2 + b2 + c2 + 50 = 6a + 8b + 10c， ∴ a2－6a + 9 + b2－8b + 16 + c2－10c + 25 = 0. 即 (a－3)² + (b－4)² + (c－5)² = 0. ∴ a = 3，b = 4，c = 5， 即 a2 + b2 = c2. ∴△ABC 是直角三角形.
20.2 勾股定理的逆定理及其应用
第2课时 勾股定理的逆定理的应用
在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需要使用一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理经常会被用到，这节课让我们一起来学习吧.
知识点1： 勾股定理的逆定理的应用
例1 如图，港口 P 位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 n mile，“海天”号每小时航行 12 n mile. 它们离开港口 1.5 h 后分别位于点 Q，R 处，且相距 30 n mile. 如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行吗？
分析：在图中可以看到，由于 “远航”号的航向已知，如果能求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向.
解：根据题意，PQ = 16×1.5 = 24，PR = 12×1.5 = 18，QR = 30.
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1 = 45°. 因此∠2 = 45°，即“海天”号沿西北方向航行.
所以∠QPR = 90°.
因为 242 + 182 = 302，即 PQ2 + PR2 = QR2，
1. A、B、C 三地的两两距离如图所示，A 地在 B 地的正东方向，C 在 B 地的什么方向？
解：∵ BC2 + AB2 = 52 + 122 = 169，AC2 = 132 = 169，∴ BC2 + AB2 = AC2.即△ABC 是直角三角形，∠B = 90°.答：C 在 B 地的正北方向．
2.如图是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8 m，AD ＝ BC ＝6 m，AC ＝9 m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？
解：∵ AB＝DC＝8 m，AD＝BC＝6 m，∴ AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100.又∵ AC2＝92＝81，∴ AB2＋BC2≠AC2.∴ ∠ABC≠90°，∴ 该农民挖的不合格．
分析：若能求出 AC 的长，就可以根据勾股定理或其逆定理判断△ACD 是不是直角三角形，从而判断 AC 是否垂直于 AD.
知识点2： 勾股定理及其逆定理的综合应用
解：因为 AC⊥BC，所以∠ACB＝90°.在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，AC²＝AB²－BC²＝5²－3²＝16.
所以 AC²＋AD²＝CD².
因此△ACD 是直角三角形，即AC⊥AD.
3. 如图，在△ABC 中，AB = 17，BC = 16，BC 边上 的中线 AD = 15，试说明：AB = AC.
解：∵ BC = 16，AD 是 BC 边上的中线，∴ BD = CD = BC = 8.∵ 在△ABD 中，AD2 + BD2 = 152 + 82 = 172 = AB2，∴△ABD 是直角三角形，即∠ADB = 90°．∴ 在 Rt△ADC 中，∴ AB = AC.
4. 如图，在网格图中，每个小正方形的边长都为 1，△ABC 的顶点均位于格点上.(1) 判断∠C 是否为直角，并求出△ABC 的面积；
解：如图，BC2 = 2，AC2 = 13，AB2 = 17.∴ AB2 ≠ AC2 + BC2 ，∠C 不是直角.∴ S△ABC = 2×4 - ×1×1 - ×2×3 - ×1×4 = 2.5.
(2) 请在网格图中分别画出顶点均在格点上的三角形， 使其分别满足以下要求：①画一个直角边为 3，面积为 6 的直角三角形②画一个面积为 5 的等腰三角形.
勾股定理的逆定理的应用
与勾股定理结合解决不规则图形等问题
1. 在△ABC 中，三边长分别为 3，4，5，那么最长边上的高为_______.
2. 若一个三角形的三边长之比为 3∶4∶5，且周长为60 ，则它的面积为____________.
3.在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标 A、B．于是，一艘搜救艇以16 海里/时的速度离开港口 O（如图）沿北偏东 40° 的方向向目标 A 的前进，同时，另一艘搜救艇也从港口 O 出发，以 12 海里/时的速度向着目标 B 出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标 A、B．此时，他们相距 30 海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？
解：根据题意得 OA = 16×1.5 = 24 (海里)，OB = 12×1.5 = 18 (海里)，∵ OB2 + OA2 = 242 + 182 = 900， AB2 = 302 = 900，∴ OB2 + OA2 = AB2. ∴∠AOB = 90°.∵第一艘搜救艇以 16 海里/时的速度离开港口O (如图)沿北偏东 40° 的方向向目标 A 的前进，∴ ∠BOD = 50°，即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西 50 度．
解：连接 BD. 在Rt△ABD 中，由勾股定理得 BD2 = AB2 + AD2，∴ BD = 5 cm.又∵ CD = 12 cm，BC = 13 cm，∴ BC2 = CD2 + BD2. ∴△BDC 是直角三角形.∴S四边形ABCD = SRt△BDC－SRt△BAD= BD•CD－ AB•AD = ×(5×12－3×4) = 24 (cm2)．
4. 如图，四边形 ABCD 中，AB⊥AD，已知 AB = 3 cm，AD = 4 cm，CD = 12 cm，BC = 13 cm，求四边形 ABCD 的面积.