初中数学20.1 勾股定理及其应用导学案及答案

这是一份初中数学20.1 勾股定理及其应用导学案及答案，共7页。学案主要包含了引入思考，知识技能类练习，综合拓展类练习，知识技能类作业，综合拓展类作业等内容，欢迎下载使用。
课题
数学活动——利用勾股定理绘制图案
单元
第二十章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1．能利用勾股定理设计并绘制几何图案（如勾股树、螺旋线等）．
2．体会数学与艺术的结合，提升动手实践能力．
重点
能利用勾股定理确定图案中线段长度，规范绘制出符合要求的图案，体会定理的实践价值．
难点
灵活运用勾股定理解决图案绘制中的线段计算、图形构图问题，兼顾图案的合理性与美观性．
探究过程
导入新课
【引入思考】
问题：请同学们说一说勾股定理的内容？
数学不只是计算与推理，它还还彰显出数学的“无限”之美．
新知探究
本节课来研究：
本节我们借助勾股定理，画出美丽又奇妙的几何图案．
活动一：探究勾股树的绘制原理
图1形如一棵树，有人称之为“勾股树”．如何利用勾股定理绘制的呢？
分析：图1中的勾股树，是先以直角三角形为基础，利用勾股定理（对应正方形的面积关系：两个小正方形的面积和等于大正方形的面积），通过在新生成的图形上多次重复构造相同图形，逐步形成图案.
归纳：勾股树以勾股定理为核心，依托正方形的面积关系，通过多次重复构造相似图形，体现数学“无限”之美．
活动二：探究螺旋线的绘制原理
图2形如螺旋，有人称之为“勾股螺旋”，也有人把它称之为“螺旋线”．如何利用勾股定理绘制的呢？
分析：图2中的勾股螺旋，是先以直角三角形为基础，利用勾股定理，通过在新生成的斜边上继续构造直角三角形，逐步形成螺旋图案．
归纳：勾股螺旋以勾股定理为核心，依托直角三角形的边长关系，通过多次重复构造相似直角三角形，体现数学“递推”与“无限延伸”之美．
活动三：探究勾股阶梯图案的绘制原理
图3形如层层递进的阶梯，我们称之为“勾股阶梯”．如何利用勾股定理绘制的呢？
分析：图 3 中的勾股阶梯，是先以直角三角形为基础，利用勾股定理（对应正方形的面积关系：两个小正方形的面积和等于大正方形的面积），通过在新生成的两个小正方形上，多次重复构造相同的直角三角形与正方形，逐步形成阶梯状图案．
归纳：勾股阶梯以勾股定理为核心，依托正方形的面积关系，通过多次重复构造相似图形，体现数学 “对称” 与 “递推” 之美．
创作：请你尝试创作一幅与勾股定理有关的图案，并向同学分享你的作品及其蕴含的数学秘密．
课堂练习
【知识技能类练习】
必做题：
1．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形．如图是一株美丽的“勾股树”其中正方形A、B、C、D的面积分别为6、2、8、9，则最大正方形G的边长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
2．如图所示：画线段OA1=1，过点A1作A2A1⊥OA1，且A2A1=1，连接OA2；过点A2作A3A2⊥OA2，且A3A2=1，连接OA3；过点A3作A4A3⊥OA3，且A4A3=1，连接OA4，⋯，如此操作下去，当操作到连接OA2023后停止操作，在所画图形中，长度为有理数的所有线段之和的长度值为___________．
3．如图，以一个直角三角形的三边为直径作3个半圆，若半圆B、C的面积分别是4、5，则半圆A的面积是多少？
选做题：
4．“勾股树”是以正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为（ ）
A．31B．63C．65D．67
【综合拓展类练习】
5．定义：在△ABC中，若BC=a，AC=b，AB=c，a、b、c满足ac+a2=b2，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：
(1)如图1所示，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，AB=BC，AC>AB．求∠A的度数．
(2)如图2所示，在△ABC中，∠B=2∠A，且∠C>∠A．求证：△ABC为“类勾股三角形”．小明同学想到可以在AB上找一点D使得AD=CD，再作CE⊥BD．
①探索△CDB的形状并说明理由．
②请你帮助小明完成证明过程．
课堂小结
说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计
【知识技能类作业】
必做题：
1．如下图所示，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C、D的面积分别是12，16，9，12，则最大正方形E的面积是（ ）
A．28B．25C．49D．40
2．如图排列的前五个三角形都是直角三角形，则构成这100个三角形的所有线段中有___________条线段长度为整数．
3．如图，以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝4，则图中阴影部分的面积为多少？
选做题：
4．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树……依此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为（ ）
A．1013B．2027C．2026D．2025
【综合拓展类作业】
5．定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割．
(1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM=2.5，MN=6.5，BN=6，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=30，AM=5，求BN的长．