高中数学人教A版 (2019)必修 第二册平面向量的运算教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册平面向量的运算教案，共8页。
6.2.3向量的数乘运算
教学目标
（一）知识与技能
1.理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律；
2．掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线。
（二）过程与方法
理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。
（三）情感、态度与价值观
通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生自主探究知识形成的过程的能力，合作释疑过程中合作交流的能力。激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情感，培养学生实事求是的科学态度，勇于创新的精神。
教学重、难点
重点：掌握向量的数乘的定义和运算律。
难点：掌握向量共线定理，能够灵活运用向量的数乘运算。
教学方法
引导点拨、合作探究、讲授法
课型
新授课
教学过程
（一）创设情境，引入新课
预习教材内容，思考以下问题：
1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？
2．向量数乘运算满足哪三条运算律？
3．向量共线定理是怎样表述的？
4．向量的线性运算是指的哪三种运算？
（二）探索新知，整体认知
探究点1：向量的线性运算
例1：（1）计算：
①4（a＋b）－3（a－b）－8a；
②（5a－4b＋c）－2（3a－2b＋c）；
③eq \f(2,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（4a－3b）＋\f(1,3)b－\f(1,4)（6a－7b）))．
（2）设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)a－b))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(2,3)b))＋（2b－a）．
解：（1）①原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a
＝－7a＋7b．
②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c
＝－a－c．
③原式＝eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4a－3b＋\f(1,3)b－\f(3,2)a＋\f(7,4)b))
＝eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)a－\f(11,12)b))
＝eq \f(5,3)a－eq \f(11,18)b．
（2）原式＝eq \f(1,3)a－b－a＋eq \f(2,3)b＋2b－a
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－1－1))a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1＋\f(2,3)＋2))b
＝－eq \f(5,3)a＋eq \f(5,3)b＝－eq \f(5,3)（3i＋2j）＋eq \f(5,3)（2i－j）
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－5＋\f(10,3)))i＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(10,3)－\f(5,3)))j
＝－eq \f(5,3)i－5j．
eq \a\vs4\al()规律方法：向量线性运算的基本方法
（1）类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
（2）方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．
探究点2：向量共线定理及其应用
例2：已知非零向量e1，e2不共线．
（1）如果eq \(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq \(BC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq \(CD,\s\up6(→))＝3（e1－e2），求证：A、B、D三点共线；
（2）欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
解：（1）证明：因为eq \(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5（e1＋e2）＝5eq \(AB,\s\up6(→))．
所以eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))共线，且有公共点B，
所以A、B、D三点共线．
（2）因为ke1＋e2与e1＋ke2共线，
所以存在实数λ，使ke1＋e2＝λ（e1＋ke2），
则（k－λ）e1＝（λk－1）e2，
由于e1与e2不共线，只能有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))
所以k＝±1．
eq \a\vs4\al()规律方法：向量共线定理的应用
（1）若b＝λa（a≠0），且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行．
（2）若b＝λa（a≠0），且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))，则eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))共线，又eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
（三）初步应用，理论迁移
探究点3：用已知向量表示其他向量
例3：如图，ABCD是一个梯形，eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(CD,\s\up6(→))且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2|eq \(CD,\s\up6(→))|，M，N分别是DC，AB的中点，已知eq \(AB,\s\up6(→))＝e1，eq \(AD,\s\up6(→))＝e2，试用e1，e2表示下列向量．
（1）eq \(AC,\s\up6(→))＝________；
（2）eq \(MN,\s\up6(→))＝________．
解析：因为eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(CD,\s\up6(→))，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2|eq \(CD,\s\up6(→))|，
所以eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))．
（1）eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝e2＋eq \f(1,2)e1．
（2）eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AN,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,4)e1－e2＋eq \f(1,2)e1＝eq \f(1,4)e1－e2．
答案：（1）e2＋eq \f(1,2)e1
（2）eq \f(1,4)e1－e2
互动探究
变条件：在本例中，若条件改为eq \(BC,\s\up6(→))＝e1，eq \(AD,\s\up6(→))＝e2，试用e1，e2表示向量eq \(MN,\s\up6(→))．
解：因为eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AN,\s\up6(→))，
eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))，
所以2eq \(MN,\s\up6(→))＝（eq \(MD,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))）＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＋（eq \(AN,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))）．
又因为M，N分别是DC，AB的中点，
所以eq \(MD,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝0，eq \(AN,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))＝0．
所以2eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))，
所以eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)（－eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))）＝－eq \f(1,2)e2－eq \f(1,2)e1．
eq \a\vs4\al()规律方法：用已知向量表示其他向量的两种方法
（1）直接法
（2）方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
(四)课堂练习，及时反馈
1．eq \f(1,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)（2a＋8b）－（4a－2b）))等于（ ）
A．2a－bB．2b－a
C．b－aD．a－b
解析：选B．原式＝eq \f(1,6)（2a＋8b）－eq \f(1,3)（4a－2b）＝eq \f(1,3)a＋eq \f(4,3)b－eq \f(4,3)a＋eq \f(2,3)b＝－a＋2b．
2．若点O为平行四边形ABCD的中心，eq \(AB,\s\up6(→))＝2e1，eq \(BC,\s\up6(→))＝3e2，则eq \f(3,2)e2－e1＝（ ）
A．eq \(BO,\s\up6(→))B．eq \(AO,\s\up6(→))
C．eq \(CO,\s\up6(→))D．eq \(DO,\s\up6(→))
解析：选A．eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝3e2－2e1，eq \(BO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)e2－e1．
3．已知e1，e2是两个不共线的向量，若eq \(AB,\s\up6(→))＝2e1－8e2，eq \(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq \(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，求证A，B，D三点共线．
证明：因为eq \(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq \(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，
所以eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝e1－4e2．
又eq \(AB,\s\up6(→))＝2e1－8e2＝2（e1－4e2），所以eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(BD,\s\up6(→))，所以eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BD,\s\up6(→))共线．
因为AB与BD有交点B，所以A，B，D三点共线．
（五）梳理小结，深化理解
1．向量的数乘的定义
一般地，规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
（1）|λa|＝|λ||a|．
（2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0．
2．向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，那么：
（1）λ（μa）＝（λμ）a．
（2）（λ＋μ）a＝λa＋μa．
（3）λ（a＋b）＝λa＋λb．
3．向量的线性运算及向量共线定理
（1）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1a±μ2b）＝λμ1a±λμ2b．
（2）向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．
（六）布置作业，深入研究
教材第15页练习题第1-3题。
板书设计
1．向量的数乘的定义
规定：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa。
2．向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，那么：
λ（μa）＝（λμ）a．
（λ＋μ）a＝λa＋μa．
λ（a＋b）＝λa＋λb．
3．向量的线性运算及向量共线定理
（1）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．
（2）向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．
6.2.3向量的数乘运算
课件展示
例1
例2
练习1
练习2
教学反思