高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量及其运算的坐标表示达标测试

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1.了解空间直角坐标系.
2.能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标．
3.掌握空间向量的坐标表示.
4.掌握空间两点间距离公式.
5.会用向量的坐标解决一些简单的几何问题．
知识解读
知识点一 空间直角坐标系
1．空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(i，j，k))，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴： ，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个 .
(2)相关概念： 叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过 的平面叫做坐标平面，分别称为 平面、 平面、 平面，它们把空间分成八个部分．
2．右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 的正方向，食指指向 的正方向，如果中指指向 的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
【答案】x轴、y轴、z轴 空间直角坐标系Oxyz O 每两个坐标轴 Oxy Oyz Ozx x轴 y轴 z轴
知识点二 空间一点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量eq \(OA,\s\up6(→))，且点A的位置由向量eq \(OA,\s\up6(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq \(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 eq \(OA,\s\up6(→)) 对应的 叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作 ，其中 叫做点A的横坐标， 叫做点A的纵坐标， 叫做点A的竖坐标．
【答案】有序实数组(x，y，z) A(x，y，z) x y z
知识点三 空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．
知识点四 空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
【答案】(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) (λa1，λa2，λa3) a1b1＋a2b2＋a3b3
知识点五 空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b⇔a·b＝0⇔ ；
|a|＝eq \r(a·a)＝ ；
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝ .
【答案】a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3)) eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3)) \r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3)))
知识点六 空间两点间的距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，
则P1P2＝|eq \(P1P2,\s\up6(→))|＝ .
【答案】
跟踪训练
一、单选题
1．已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．以上都不对
2．若，则=（ ）
A．B．C．D．
3．已知空间向量，，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
4．已知，，，则下列结论正确的是（ ）．
A．，B．，
C．，D．以上都不对
5．已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A．2B．4C．D．
6．已知，，则向量与的夹角为（ ）
A．90°B．60°C．30°D．0°
7．如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4，P是的中点，点M在侧面（含边界）内，若.则△BCM面积的最小值为（ ）
A．8B．4C．D．
8．已知，，且，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
二、多选题
9．已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．为钝角D．在方向上的投影向量为
10．若，，与的夹角为120°，则的值为（ ）
A．B．17C．1D．
11．已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ）
A．点的坐标为（2，0，2）B．
C．的中点坐标为（1，1，1）D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2）
12．已知向量，向量与平行，向量与垂直，则（ ）
A．B．
C．的模为5D．向量与的夹角为
三、填空题
13．已知 =(3，2，－1)， (2，1，2)，则=___________．
14．已知，，．若、、三向量共面，则实数______．
15．如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周).若，则点S与P距离的最小值是___________．
16．如图，长方体，若，则的坐标为___________.
四、解答题
17．如图，在棱长为的正方体中，是的中点，是的中点，是的中点.
(1)试建立适当的坐标系，并确定、、三点的坐标；
(2)求证：.
18．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴､y轴､z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量的斜60°坐标为[x，y，z]，记作.
(1)若，，求的斜60°坐标；
(2)在平行六面体中，AB=AD=2，AA1=3，，如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”.
①若，求向量的斜坐标；
②若，且，求.
19．如图所示，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题：
(1)求的模；
(2)求的值；
(3)求证：平面.
20．阅读“多知道一点：平面方程”，并解答下列问题：
(1)建立空间直角坐标系，已知，，三点，而是空间任意一点，求A，B，C，P四点共面的充要条件．
(2)试求过点，，的平面ABC的方程，其中a，b，c都不等于0．
(3)已知平面有法向量，并且经过点，求平面的方程．
(4)已知平面的方程为，证明：是平面的法向量．
(5)①求点到平面的距离；
②求证：点到平面的距离，并将这个公式与“平面解析几何初步”中介绍的点到直线的距离公式进行比较．
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a＋b
a＋b＝
减法
a－b
a－b＝
数乘
λa
λa＝ ，λ∈R
数量积
a·b
a·b＝