人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量及其运算的坐标表示第2课时导学案及答案

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进一步学习空间向量坐标运算,能运用空间向量坐标运算解决空间中平行与垂直的问题,会求两点距离、模及异面直线所成的角.
题型(一) 利用空间向量的坐标运算证明平行问题
[例1] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若O1为A1C1中点,O2为AC中点.
求证:(1)BO1∥D1O2;
(2)平面ACD1∥平面BA1C1.
听课记录:
|思|维|建|模|
判断空间向量平行的步骤
(1)向量化:将空间中的平行转化为向量的平行.
(2)向量关系代数化:写出向量的坐标.
(3)对于a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根据x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R)或x1x2=y1y2=z1z2(x2,y2,z2都不为0)判断两向量是否平行.
[提醒] 由空间向量平行求值只需根据平行的条件建立方程(组)求解即可.
[针对训练]
1.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,E为CP的中点,
N为DE的中点,DM=14DB,DA=DP=1,CD=2,求证:MN∥AP.
题型(二) 利用空间向量的坐标运算证明垂直问题
[例2] 如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.
(1)求证:EF⊥CD;
(2)已知点G在平面PAD内,且GF⊥平面PCB,试确定点G的位置.
听课记录:
|思|维|建|模|
判断空间向量垂直的步骤
(1)向量化:将空间中的垂直转化为向量的垂直.
(2)向量关系代数化:写出向量的坐标.
(3)对于a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根据x1x2+y1y2+z1z2是否为0判断两向量是否垂直.
[提醒] 由空间向量垂直求值只需根据垂直的条件建立方程(组)求解即可.
[针对训练]
2.如图,在三棱台A1B1C1-ABC中,∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,A1A=3,AB=AC=2A1C1=2,D为BC的中点.求证:平面A1AD⊥平面BCC1B1.
题型(三) 利用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题
[例3] 如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1D,BD的中点,点G在棱CD上,且CG=14CD,H为C1G的中点.
(1)求FH的长;
(2)求异面直线EF与C1G所成角的余弦值.
听课记录:
|思|维|建|模|
利用空间向量的坐标运算求夹角和距离的一般步骤
[针对训练]
3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,M,N分别是B1C1,A1A的中点.
(1)求M,N的距离;
(2)求cs的值.
课下请完成课时检测(六)
第2课时 空间向量坐标运算的应用
[题型(一)]
[例1] 证明:(1)如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1.
依题意知B(1,1,0),O112,12,1,D1(0,0,1),O212,12,0,
∴BO1=−12,−12,1,D1O2=12,12,−1,∴BO1=-D1O2,∴BO1∥D1O2,即BO1∥D1O2.
(2)∵A1(1,0,1),C1(0,1,1),A(1,0,0),C(0,1,0),∴A1C1=(-1,1,0),AC=(-1,1,0),
∴A1C1=AC,∴AC∥A1C1.又AC⊂平面ACD1,A1C1⊄平面ACD1,∴A1C1∥平面ACD1.
又由(1)知BO1∥平面ACD1,而A1C1∩BO1=O1,且A1C1⊂平面BA1C1,BO1⊂平面BA1C1,∴平面ACD1∥平面BA1C1.
[针对训练]
1.证明:法一 由题意知,直线DA,DC,DP两两垂直,以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴、
y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则D(0,0,0),A(1,0,0),P(0,0,1),N0,12,14,M14,12,0,
所以AP=(-1,0,1),MN=−14,0,14,所以MN=14AP.又M∉AP,故MN∥AP.
法二 由题意可得MN=MD+DN=14BD+12DE=14BD+12×12(DC+DP)=14BD+14DC+14DP
=14BC+14DP=14(AD+DP)=14AP.又M∉AP,所以MN∥AP.
[题型(二)]
[例2] 解:
(1)证明:以D为坐标原点,DA,DC,DP分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系(如图),设AD=a(a>0),则D(0,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),Ea,a2,0,P(0,0,a),Fa2,a2,a2,
所以EF=−a2,0,a2,DC=(0,a,0),所以EF·DC=−a2,0,a2·(0,a,0)=0,
所以EF⊥CD.
(2)因为G∈平面PAD,设G(x,0,z),所以FG=x−a2,−a2,z−a2.由(1)知CB=(a,0,0),CP=(0,-a,a).因为GF⊥平面PCB,所以FG·CB=x−a2,−a2,z−a2·(a,0,0)=ax−a2=0,FG·CP=x−a2,−a2,z−a2·(0,-a,a)=a22+az−a2=0,所以x=a2,z=0,所以点G的坐标为a2,0,0,即点G为AD的中点.
[针对训练]
2.证明:由题意可建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,3),D(1,1,0),
所以BC=(-2,2,0),AD=(1,1,0),AA1=(0,0,3).因为BC·AD=-2+2+0=0,BC·AA1=0+0+0=0,所以BC⊥AD,
BC⊥AA1,所以BC⊥AD,BC⊥AA1.又AD∩AA1=A,AD,AA1⊂平面A1AD,所以BC⊥平面A1AD,又BC⊂平面BCC1B1,所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.
[题型(三)]
[例3] 解:(1)如图,建立空间直角坐标系,D为坐标原点,则有F12,12,0,H0,78,12,
∴FH=−12,38,12,∴|FH|=−122+382+122
=418.∴FH的长为418.
(2)由(1)知E0,0,12,F12,12,0,
∴EF=12,12,−12,∴|EF|=32.
又C1(0,1,1),G0,34,0,
∴C1G=0,−14,−1,∴|C1G|=174.
∴EF·C1G=12×0+12×−14+−12×(-1)=38,∴|cs|=|EF·C1G||EF||C1G|=5117.即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为5117.
[针对训练]
3.解:(1)如图,建立空间直角坐标系,依题意得A1(1,0,2),C(0,0,0),B(0,1,0),N(1,0,1),
B1(0,1,2),C1(0,0,2).M0,12,2,∴MN=1,−12,−1,
∴|MN|=12+−122+(−1)2=32.
∴M,N的距离为32.
(2)由(1)得BA1=(1,-1,2),CB1=(0,1,2),
BA1·CB1=3,|BA1|=6,|CB1|=5,
∴cs=BA1·CB1|BA1||CB1|=3010.
建系
根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系
求坐标
利用题设条件写出相关点的坐标,进而求得相关向量的坐标
计算
利用空间向量的夹角和距离的公式求解