人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量及其运算的坐标表示第1课时导学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量及其运算的坐标表示第1课时导学案，共8页。
[课时目标]
1.在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性,会用空间直角坐标系刻画点的位置.
2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示,空间向量运算的坐标表示及距离公式.
逐点清(一) 空间直角坐标系及点的坐标
[多维理解]
1.空间直角坐标系
2.空间直角坐标系中的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中,i,j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量OA,且点A的位置由向量OA唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使OA=xi+yj+zk.在单位正交基底{i,j,k}下与向量OA对应的有序实数组 ,叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的 ,y叫做点A的 ,z叫做点A的 .
3.点的坐标的特点
4.点P(a,b,c)的对称性
循规记忆:关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反.
[微点练明]
1.点P(-5,0,6)位于( )
A.y轴上B.z轴上
C.Ozx平面内D.Oyz平面内
2.(多选)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=4,AA1=3,以直线DA,DC,DD1分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,则下列结论正确的是( )
A.点B1的坐标为(3,5,4)
B.点C1关于点B对称的点为(8,5,-3)
C.点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3)
D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)
3.已知点P(2,3,-1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1,点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2,点P2关于z轴的对称点为P3,则点P3的坐标为 .
逐点清(二) 空间向量的坐标
[多维理解]
在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作OA=a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a= .有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作a= .
[微点练明]
1.已知{i,j,k}是空间的一个单位正交基底,且AB=-i+j-k,则AB的坐标为( )
A.(-1,1,-1)B.(-i,j,-k)
C.(1,-1,-1)D.(1,-1,1)
2.已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,且BP=13BD',建立如图所示的空间直角坐标系,则点P的坐标为( )
A.13,13,13B.23,23,23
C.13,23,13D.23,23,13
3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,B1C1的中点,若以{AB,AD,AA1}为基底,
则向量AE的坐标为 ,向量AF的坐标为 ,向量AC1的坐标为 .
4.已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=4,建立适当的空间直角坐标系,求向量AB,AC1,BC1的坐标.
逐点清(三) 空间向量运算的坐标表示
[多维理解]
1.设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
2.设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB= .即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标 起点坐标.
|微|点|助|解|
(1)空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示一致.
(2)运用公式可以简化运算:(a±b)2=a2±2a·b+b2;(a+b)·(a-b)=a2-b2.
(3)向量线性运算的结果仍是向量,用坐标表示;数量积的结果为数量.
[微点练明]
1.若向量a=(4,0,-2),向量a-b=(0,1,-2),则b=( )
A.(-4,1,0)B.(-4,1,-4)
C.(4,-1,0)D.(4,-1,-4)
2.已知向量a=(1,2,1),b=(1,-1,m),且a·b=-2,则m=( )
A.-1B.1
C.-2D.2
3.已知A(1,1,0),B(2,0,-1),C(-1,3,-2),则AB+BC=( )
A.(4,-4,0)B.(-4,4,0)
C.(-2,2,0)D.(-2,2,-2)
4.若A(2,-4,-1),B(-1,5,1),C(3,-4,1),则CA·CB=( )
A.-11B.3
C.4D.15
5.已知向量a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=12c-2a,则c=( )
A.(0,3,-6)B.(0,6,-20)
C.(0,6,-6)D.(6,6,-6)
逐点清(四) 空间向量性质的坐标表示
[多维理解]
1.空间向量性质的坐标表示
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
2.常用公式
(1)向量的坐标公式:
设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则P1P2= .
(2)空间两点间的距离公式:
若P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则P1P2=|P1P2|= .
(3)空间线段中点的坐标公式:
若P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则线段P1P2的中点坐标为 .
[微点练明]
1.已知A(2,-3,-1),B(-6,5,3),则|AB|=( )
A.26B.46
C.233D.12
2.(多选)已知向量a=(1,-1,0),b=(-1,0,1),c=(2,-3,1),则( )
A.向量a,b的夹角为π3
B.(a+2b)·(b+c)=7
C.(a+5b)⊥c
D.a∥(b-c)
3.已知空间向量a=(1,n,2),b=(-2,1,2),若2a-b与b垂直,则|a|等于( )
A.532 B.372 C.352 D.212
4.若四边形ABCD是平行四边形,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则顶点D的坐标为( )
A.(1,1,-7)B.(5,3,1)
C.(-3,1,5)D.(5,13,-3)
5.(多选)已知点P是△ABC所在平面外一点,若AB=(-2,1,4),AP=(1,-2,1),AC=(4,2,0),则下列结论正确的有( )
A.AP⊥ABB.BC=(6,1,-4)
C.BC=53D.AP∥BC
课下请完成课时检测(五)
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
第1课时 空间向量及其运算的坐标表示
[逐点清(一)]
[多维理解] 1.坐标向量 每两条坐标轴 Oxy Oyz Ozx x轴 y轴 z轴
2.(x,y,z) 横坐标 纵坐标 竖坐标
3.(0,y,0) (x,y,0) (x,0,z) 4.(a,-b,-c) (-a,b,-c) (-a,-b,c) (a,b,-c)
(-a,b,c) (a,-b,c) (-a,-b,-c)
[微点练明]
1.C 2.BCD 3.(2,-3,1)
[逐点清(二)]
[多维理解] xi+yj+zk (x,y,z)
[微点练明]
1.选A 根据空间向量坐标的定义,由AB=-i+j-k,知AB=(-1,1,-1).
2.选D 记x,y,z轴正方向上的单位向量分别为i,j,k,则DA=i,DC=j,DD'=k,因为DP=DD'+D'P
=DD'+23D'B=DD'+23(D'D+DB)=DD'+23(-DD'+DA+DC)=23DA+23DC+13DD'=23i+23j+13k,所以点P的坐标为23,23,13.故选D.
3.解析:因为AE=AD+DD1+D1E=12AB+AD+AA1,所以向量AE的坐标为12,1,1.因为AF=AB+BB1+B1F
=AB+12AD+AA1,所以向量AF的坐标为1,12,1.因为AC1=AB+AD+AA1,所以向量AC1的坐标为(1,1,1).
答案:12,1,1 1,12,1 (1,1,1)
4.解:建立如图所示的空间直角坐标系,设14AB=i,14AC=j,14AA1=k,AB=4i+0j+0k=(4,0,0).
AC1=AA1+AC=0i+4j+4k=(0,4,4).BC1=BC+CC1=BA+AC+CC1=-4i+4j+4k=(-4,4,4).
[逐点清(三)]
[多维理解] 1.(a1+b1,a2+b2,a3+b3) (a1-b1,a2-b2,a3-b3) (λa1,λa2,λa3) a1b1+a2b2+a3b3 2.(x2-x1,y2-y1,z2-z1) 减去
[微点练明]
1.选C b=a-(a-b)=(4,0,-2)-(0,1,-2)=(4,-1,0).
2.选A 因为a·b=-2,所以1×1+2×(-1)+1×m=-2⇒m=-1,故选A.
3.选D AB+BC=AC=(-1,3,-2)-(1,1,0)=(-2,2,-2).
4.选C 由已知,CA=(2-3,-4-(-4),-1-1)=(-1,0,-2),CB=(-1-3,5-(-4),1-1)=(-4,9,0),∴CA·CB=4+0+0=4.
5.选B 由题意,得c=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20).
[逐点清(四)]
[多维理解] 1.a1b1+a2b2+a3b3=0 a12+a22+a32 a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32b12+b22+b32 2.(1)(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
(2)(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2 (3)x1+x22,y1+y22,z1+z22
[微点练明]
1.选D 由A(2,-3,-1),B(-6,5,3)可得AB=(-8,8,4),所以|AB|=(−8)2+82+42=12.
2.选CD |a|=12+(−1)2+02=2,|b|=(−1)2+02+12=2,a·b=1×(-1)+(-1)×0+0×1=-1,设向量a,b的夹角为θ,则cs θ=a·b|a||b|=−12×2=-12,因为θ∈[0,π],则θ=2π3,A错误.a+2b=(-1,-1,2),b+c=(1,-3,2),则(a+2b)·(b+c)=-1×1+(-1)×(-3)+2×2=6,B错误.a+5b=(-4,-1,5),则(a+5b)·c=-4×2+(-1)×(-3)+5×1=0,故(a+5b)⊥c,C正确.b-c=(-3,3,0),则b-c=-3a,故a∥(b-c),D正确.
3.选C 由题意可得,2a-b=2(1,n,2)-(-2,1,2)=(4,2n-1,2),因为2a-b与b垂直,则(2a-b)·b=4×(-2)+(2n-1)×1+2×2=0,解得n=52,即a=1,52,2,所以|a|=12+522+22=352,故选C.
4.选D ∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=DC,设D(x,y,z),则AB=(-2,-6,-2),DC=(3-x,7-y,-5-z),
∴3−x=−2,7−y=−6,−5−z=−2,解得x=5,y=13,z=−3.
5.选ABC 因为AB·AP=-2-2+4=0,所以AP⊥AB,故A正确;BC=AC-AB=(4+2,2-1,-4)=(6,1,-4),故B正确;|BC|=36+1+16=53,故C正确;设BC=λAP,则(6,1,-4)=λ(1,-2,1),故6=λ,1=−2λ,−4=λ,此方程组无解.所以BC,AP不共线,故AP∥BC不成立,故D错误.
空间
直角
坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}.以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i,j,k都叫做
坐标
平面
在空间直角坐标系Oxyz中,通过 的平面叫做坐标平面,分别称为 平面, 平面, 平面
右手
直角
坐标系
在空间直角坐标系Oxyz中,让右手拇指指向 的正方向,食指指向 的正方向,如果中指指向 的正方向,
则称这个坐标系为右手直角坐标系
点的位置
x轴上
y轴上
z轴上
坐标的形式
(x,0,0)
(0,0,z)
点的位置
Oxy平面内
Oyz平面内
Ozx平面内
坐标的形式
(0,y,z)
对称轴、对称平面或对称中心
对称点坐标
x轴
y轴
z轴
Oxy平面
Oyz平面
Ozx平面
坐标原点
向量运算
向量表示
坐标表示
加法
a+b
减法
a-b
数乘
λa
数量积
a·b
平行
a∥b(b≠0)⇔a=λb⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R)
垂直
a⊥b⇔a·b=0⇔
模
|a|=a·a=
夹角
公式
cs=a·b|a||b|=