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人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算教案及反思
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这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算教案及反思，共8页。
教学设计模板
教师姓名
单位
学段
高中
学科
数学
适用年级
高一年级
授课时间
课型
新授课
授课时数
题目
6.2.3向量的数乘运算
课标要求
在探究向量的运算性质的基础上，平面向量数乘运算、运算律以及平面向量共线基本定理。提升数学运算、直观想象和逻辑推理素养。
核心素养目标
1.现实情境、数学情境、科学情境， 问题是指在情境中提出的数学问题。
2.能够帮助学生形成相应数学学科核心素养的知识与技能。数学活动过程中反映的思维品质、表述 的严谨性和准确性。
3.能够用数学语言直观地解释和交流数学概念、结论、应用和思想方法，并能进行评价、总结和拓展。
教学重点
平面向量数乘运算、运算律以及平面向量共线基本定理。
教学难点
平面向量数乘运算、运算律以及平面向量共线基本定理。
教学策略
1.探究与发现
2.自主练习与指导
教具准备
多媒体课件，班班通，教材
教学方法
启发和探究教学相结合，自主练习与指导相结合。
学习方法
从特殊到一般，从感性到理性，从具体到抽象。
教学过程
一、 环节一：复习回顾，温故知新
教师活动：
提出问题，引导、检查学生学习情况
思考1：如图，已知向量，求作向量.
思考2：
思考3：
学生活动：
带着已有的知识储备，进入新的学习内容
活动意图说明：
通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
环节二：知识探究（一）：数乘运算的定义
教师活动：
规定：实数λ与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘运算.记作
它的长度和方向规定如下：
学生活动：
回顾学习过的物理知识，独立思考，回答问题
通过思考，浏览教材，总结向量数乘运算的定义。
活动意图说明：
通过思考，由已知的知识引入本节知识，提高学生的解决问题、分析问题的能力。建立知识间的联系，提高学生分析问题、概括能力。让学生进一步理解数乘运算的定义，提高学生理解问题的能力。
环节三：知识探究（二）：数乘运算的几何意义
教师活动：
思考4：你能说明 的几何意义吗？
学生活动：
根据老师引导，总结、归纳向量数乘运算的几何意义，独立思考，回答老师提问。
通过向量数乘运算的定义，独立思考，向量的几何意义。
活动意图说明：
通过思考，让学生进一步理解向量数乘运算的几何意义，建立知识间的联系，提高学生分析问题、概括能力。
环节四：知识探究（三）：数乘运算的运算律
教师活动：
提出问题，引导
思考5：如果把非零向量 的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量，向量该如何表示？向量，之间的关系怎样？
【答案】
思考6：如果把思考4中的长度再伸长到原来的2倍，方向不变得到向量，向量该如何表示？向量，之间的关系怎样？
【答案】
数乘运算的运算律
特别地：
思考7：向量的加法、减法、数乘运算有什么共同点？
【答案】向量的加法、减法、数乘运算的结果仍是向量。
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。
学生活动：
学生可根据老师提示，作图思考答案；
根据老师引导，及对教材的预习，总结、概括数乘运算的运算律；
在学习过程中，要时刻锻炼自己归纳、总结知识点的能力，理解单位向量的含义；
活动意图说明：
通过探究，进一步理解数乘运算的运算律，提高学生的观察、概括能力。
环节五：平面向量共线基本定理，例题讲解
教师活动：
（一）例题讲解
例5：
知识探究（四）：平面向量共线基本定理
思考：通过练习，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？
【答案】实数与向量的积与原向量共线
平面向量共线基本定理：
例7、如图,已知任意两个非零向量a,b,试作
你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗?并证明你的猜想。
所以,A、B、C三点共线
（二）达标检测
1．下列各式中不表示向量的是( )
A．0·a B．a＋3b
C．|3a| D．e(x，y∈R，且x≠y)
2．下列计算正确的个数是( )
①(－3)·2a＝－6a；②2(a＋b)－(2b－a)＝3a；③(a＋2b)－(2b＋a)＝0.
A．0 B．1 C．2 D．3
3.－等于( )
A．a－b＋2c B．5a－b＋2c
C．a＋b＋2c D．5a＋b
4．O为平行四边形ABCD的中心，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1＝________．
5．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，证明：直线AD∥BC。
学生活动：
独立思考，根据老师引导提示，完成例5、例6的解答过程，并举手讲解；
勤动手，运用数乘运算规律进行解题；
及时复习数乘运算定义，独立思考解答题目，注重解题步骤的书写。
及时复习平面向量共线基本定理 ，独立思考解答题目，注重解题步骤的书写。
通过注意观察老师的审题思路和书写解答过程，通过对比的方式找出学生自己的易错点；尤其是遇到一些实际问题时如何把文字语言转化成符号语言，进而利用所学习的数学知识解答出相关问题的答案。
1.【解析】 向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向量．
2.【解析】 因为(－3)·2a＝－6a故①正确；②中左＝2a＋2b－2b＋a＝3a成立，故②正确；③中左＝a＋2b－2b－a＝0≠0，故③错误．
3.【解析】 －＝(3a－2a)＋＋(c＋c)＝a－b＋2c.故选A．
4.【解析】 设点E为平行四边形ABCD的BC边中点，点F为AB边中点，则3e2－2e1＝＋＝＝.【答案】 (或)
5.【证明】 ∵＝＋＝＋＋＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，∴与共线．
又AD与BC不重合，∴直线AD∥BC．
活动意图说明：
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识;学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点.
环节六：课后小结
1. 向量数乘运算的定义；2.数乘运算的几何意义；
3数乘运算的运算律; 4.平面向量共线基本定理;
活动意图说明：
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
作业设计
1. 习题6.2 8.（2）（3）（4）,9题
2. 预习下节课内容
板书设计
向量的数乘运算
复习巩固 “数乘运算”概念 运算规律
几何意义 共线基本定理
例5 例6 例7 例8
教学反思与改进
优点：
不足：
改进措施：
教学设计模板
教师姓名
单位
学段
高中
学科
数学
适用年级
高一年级
授课时间
课型
新授课
授课时数
题目
6.2.3向量的数乘运算
课标要求
在探究向量的运算性质的基础上，平面向量数乘运算、运算律以及平面向量共线基本定理。提升数学运算、直观想象和逻辑推理素养。
核心素养目标
1.现实情境、数学情境、科学情境， 问题是指在情境中提出的数学问题。
2.能够帮助学生形成相应数学学科核心素养的知识与技能。数学活动过程中反映的思维品质、表述 的严谨性和准确性。
3.能够用数学语言直观地解释和交流数学概念、结论、应用和思想方法，并能进行评价、总结和拓展。
教学重点
平面向量数乘运算、运算律以及平面向量共线基本定理。
教学难点
平面向量数乘运算、运算律以及平面向量共线基本定理。
教学策略
1.探究与发现
2.自主练习与指导
教具准备
多媒体课件，班班通，教材
教学方法
启发和探究教学相结合，自主练习与指导相结合。
学习方法
从特殊到一般，从感性到理性，从具体到抽象。
教学过程
一、 环节一：复习回顾，温故知新
教师活动：
提出问题，引导、检查学生学习情况
思考1：如图，已知向量，求作向量.
思考2：
思考3：
学生活动：
带着已有的知识储备，进入新的学习内容
活动意图说明：
通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
环节二：知识探究（一）：数乘运算的定义
教师活动：
规定：实数λ与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘运算.记作
它的长度和方向规定如下：
学生活动：
回顾学习过的物理知识，独立思考，回答问题
通过思考，浏览教材，总结向量数乘运算的定义。
活动意图说明：
通过思考，由已知的知识引入本节知识，提高学生的解决问题、分析问题的能力。建立知识间的联系，提高学生分析问题、概括能力。让学生进一步理解数乘运算的定义，提高学生理解问题的能力。
环节三：知识探究（二）：数乘运算的几何意义
教师活动：
思考4：你能说明 的几何意义吗？
学生活动：
根据老师引导，总结、归纳向量数乘运算的几何意义，独立思考，回答老师提问。
通过向量数乘运算的定义，独立思考，向量的几何意义。
活动意图说明：
通过思考，让学生进一步理解向量数乘运算的几何意义，建立知识间的联系，提高学生分析问题、概括能力。
环节四：知识探究（三）：数乘运算的运算律
教师活动：
提出问题，引导
思考5：如果把非零向量 的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量，向量该如何表示？向量，之间的关系怎样？
【答案】
思考6：如果把思考4中的长度再伸长到原来的2倍，方向不变得到向量，向量该如何表示？向量，之间的关系怎样？
【答案】
数乘运算的运算律
特别地：
思考7：向量的加法、减法、数乘运算有什么共同点？
【答案】向量的加法、减法、数乘运算的结果仍是向量。
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。
学生活动：
学生可根据老师提示，作图思考答案；
根据老师引导，及对教材的预习，总结、概括数乘运算的运算律；
在学习过程中，要时刻锻炼自己归纳、总结知识点的能力，理解单位向量的含义；
活动意图说明：
通过探究，进一步理解数乘运算的运算律，提高学生的观察、概括能力。
环节五：平面向量共线基本定理，例题讲解
教师活动：
（一）例题讲解
例5：
知识探究（四）：平面向量共线基本定理
思考：通过练习，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？
【答案】实数与向量的积与原向量共线
平面向量共线基本定理：
例7、如图,已知任意两个非零向量a,b,试作
你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗?并证明你的猜想。
所以,A、B、C三点共线
（二）达标检测
1．下列各式中不表示向量的是( )
A．0·a B．a＋3b
C．|3a| D．e(x，y∈R，且x≠y)
2．下列计算正确的个数是( )
①(－3)·2a＝－6a；②2(a＋b)－(2b－a)＝3a；③(a＋2b)－(2b＋a)＝0.
A．0 B．1 C．2 D．3
3.－等于( )
A．a－b＋2c B．5a－b＋2c
C．a＋b＋2c D．5a＋b
4．O为平行四边形ABCD的中心，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1＝________．
5．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，证明：直线AD∥BC。
学生活动：
独立思考，根据老师引导提示，完成例5、例6的解答过程，并举手讲解；
勤动手，运用数乘运算规律进行解题；
及时复习数乘运算定义，独立思考解答题目，注重解题步骤的书写。
及时复习平面向量共线基本定理 ，独立思考解答题目，注重解题步骤的书写。
通过注意观察老师的审题思路和书写解答过程，通过对比的方式找出学生自己的易错点；尤其是遇到一些实际问题时如何把文字语言转化成符号语言，进而利用所学习的数学知识解答出相关问题的答案。
1.【解析】 向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向量．
2.【解析】 因为(－3)·2a＝－6a故①正确；②中左＝2a＋2b－2b＋a＝3a成立，故②正确；③中左＝a＋2b－2b－a＝0≠0，故③错误．
3.【解析】 －＝(3a－2a)＋＋(c＋c)＝a－b＋2c.故选A．
4.【解析】 设点E为平行四边形ABCD的BC边中点，点F为AB边中点，则3e2－2e1＝＋＝＝.【答案】 (或)
5.【证明】 ∵＝＋＝＋＋＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，∴与共线．
又AD与BC不重合，∴直线AD∥BC．
活动意图说明：
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识;学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点.
环节六：课后小结
1. 向量数乘运算的定义；2.数乘运算的几何意义；
3数乘运算的运算律; 4.平面向量共线基本定理;
活动意图说明：
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
作业设计
1. 习题6.2 8.（2）（3）（4）,9题
2. 预习下节课内容
板书设计
向量的数乘运算
复习巩固 “数乘运算”概念 运算规律
几何意义 共线基本定理
例5 例6 例7 例8
教学反思与改进
优点：
不足：
改进措施：
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