高中数学人教A版 (2019)必修 第二册简单几何体的表面积与体积课时作业

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难点：棱台的表面积和体积公式的推导。
一、多面体的表面积、侧面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，
表面积是侧面积与底面面积之和．
1、棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图
（1）棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长；
（2）棱锥的侧面展开图由若干个三角形组成；
（3）棱台的侧面张开图由若干个梯形组成。

2、棱柱、棱锥、棱台的表面积
（1）棱柱的表面积：S棱柱=S侧+2S底；
（2）棱锥的表面积：S棱锥=S侧+S底；
（3）棱台的表面积：S棱台=S侧+S上底+S下底
二、棱柱、棱锥、棱台的体积
1、棱柱的高和体积
（1）棱柱的高：两底面之间的距离，即从一个底面上任意一点，向另外一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面之间的交点）之间的距离，也就是垂线段的长。
（2）棱住的体积：棱柱的体积等于它的底面积S底和高h的乘积，即V棱柱=S底×h.
2、棱锥的高和体积
（1）棱锥的高：棱锥的顶点到底面之间的距离，即从顶点向底面作垂线，
顶点到垂足（垂线与底面之间的交点）之间的距离，即垂线段的长。
（2）棱锥的体积：棱锥的体积等于它的底面积S底和高h的乘积的13，即V棱锥=13S底×h
3、棱台的体积：V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
题型一 棱柱的表面积计算
【例1】如图，在正三棱柱中，D为棱的中点．若截面是面积为6的直角三角形，求此三棱柱的表面积．
【答案】
【解析】设，则，．
由题意得即解得
从而．
【变式1-1】已知正四棱柱的侧棱长为，它的体对角线长为，则这个正四棱柱的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设底面边长为，由题意得，解得，所以侧面积为．故选：B
【变式1-2】正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则它的表面积为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则高为，
它的表面积为.故选:B.
【变式1-3】如图，已知正方体的棱长为，沿图1中对角面将它分割成两个部分，拼成如图2的四棱柱，则该四棱柱的全面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面，由于截面为矩形，长为，宽为，所以面积为，所以拼成的几何体的表面积为.故选：C.
题型二 棱锥的表面积计算
【例2】若正三棱锥的底面边长等于，三条侧棱两两垂直，则它的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为正三棱锥的底面边长等于，三条侧棱两两垂直，所以三棱锥的侧棱长为，则它的侧面积为.故选：A.
【变式2-1】已知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则该三棱锥的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，正三棱锥中，，取的中点，连接，
则在上，且，又，所以，
所以，则，
所以，
故三棱锥的表面积为.故选：D
【变式2-2】如图，在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，三棱锥D1­AB1C的表面积与正方体的表面积的比为（ ）
A．1∶1 B．1∶ C．1∶ D．1∶2
【答案】C
【解析】设正方体的边长为，则表面积，因为三棱锥的各面均是正三角形，其边长为正方体侧面对角线．则面对角线长为，三棱锥D1­AB1C的表面积，所以.故选：C
【变式2-3】已知一个正四棱锥的底面边长为4，以该正四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥的一个侧面三角形的面积，则该正四棱锥的侧面积为______．
【答案】
【解析】设正四棱锥的高为，侧面三角形的高为，由题意，，得，所以该正四棱锥的侧面积为故答案为：
题型三 棱台的表面积计算
【例3】已知正三棱台上底面边长为1，下底面边长为2，高为1．求该三棱台表面积．
【答案】
【解析】如图，正三棱台，分别为上下底面的中心，
连接并延长交于，连接CO并延长交AB于D，连接。
∵等边三角形的边长为1，∴,
∵等边三角形ABC的边长为2，∴
，
所以该三棱台表面积为：
【变式3-1】已知一个正棱台的上、下底面是边长分别为2、8的正方形，侧棱长为5，则该棱台的表面积为（ ）
A．148 B．168 C．193 D．88
【答案】A
【解析】棱台的侧面是等腰梯形，高，所以一个侧面积，
所以该棱台的表面积.故选：A
【变式3-2】已知某正六棱台的上、下底面边长为1和3，高为1，则其侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图正六棱台中，设上底面的中心为，下底面的中心为，过点作，
则，，，所以，
在侧面中，，，，过点作，则，所以，所以，所以；故选：C
【变式3-3】如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥.
（1）求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比；
（2）若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.
【答案】（1）；（2）侧面积；表面积.
【解析】（1）设小棱锥的底面边长为，斜高为，则大棱锥的底面边长为，斜高为，
所以大棱锥的侧面积为，小棱锥的侧面积为，
棱台的侧面积为，所以大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比.
（2）因为小棱锥的底面边长为4cm，所以大棱锥的底面边长为8cm，
因为大棱锥的侧棱长为12cm，所以大棱锥的斜高为cm，
所以大棱锥的侧面积为，所以棱台的侧面积为，
棱台的上，下底面的面积和为，
所以棱台的表面积为.
题型四 棱柱的体积计算
【例4】所有棱长都为2的直三棱柱的体积为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【解析】由题意，直三棱柱的所有棱长都为，可得高为则底面正三角形的面积为，所以该直三棱柱的体积为.故选：B.
【变式4-1】已知斜三棱柱的一个侧面的面积为10，该侧面与其相对侧棱的距离为3，则此斜三棱柱的体积为（ ）
A．30 B．15 C．10 D．60
【答案】B
【解析】如图，两个斜三棱柱组成一个四棱柱，以斜三棱柱的一个侧面为四棱柱的底面，面积为，高，四棱柱的体积，则此斜三棱柱的体积为.故选：B
【变式4-2】如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的三等分点处，，当底面ABC水平放置时，液面高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，设靠近点的三等分点为点，
当底面水平放置时，液面高度为，此时液体体积，因为,所以，,所以，解得.故选：A.
【变式4-3】已知正六棱柱最长的一条对角线长为13厘米，侧面积为180平方厘米，则这个棱柱的体积为______．
【答案】或
【解析】因为正六棱柱最长的一条对角线长为13厘米，侧面积为180平方厘米
设底面边长为，高为则解得或
则这个棱柱的体积为或
故答案为:或.
题型五 棱锥的体积计算
【例5】在正四棱锥中，，，则该四棱锥的体积是______．
【答案】
【解析】过点作平面，则为正方形的中心，
连接，易知．因为，所以，又，
所以，
则四棱锥的体积.故答案为：.
【变式5-1】已知正四棱锥，底面边长是，体积是，那么这个四棱锥的侧棱长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为正四棱锥，底面边长是，所以底面积为.设正四棱锥的高为h，由，所以.所以侧棱长为.即侧棱长为.故选：C
【变式5-2】已知三棱锥的体积为1，、、分别为OA、OB、OC的中点，则三棱锥的体积为___.
【答案】
【解析】三棱锥中，令点A到平面的距离为，因为是棱OA的中点，则点到平面的距离为，又、分别为棱OB、OC的中点，
则有，
因此.
【变式5-3】设三棱柱的体积为1，则四棱锥的体积为___________
【答案】
【解析】如图，连结，，，.
设的面积为，则的面积为，设.
由已知，所以.
又，所以.
所以.故答案为：.
题型六 棱台的体积计算
【例6】已知三棱台中，三棱锥的体积为4，三棱锥的体积为8，则四面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，棱台高为，由已知，得，，得，三棱台的体积为，
因为平面，所以到平面的距离等于到平面的距离，即，所以三棱台的体积，
所以.故选：B.
【变式6-1】某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，该四棱台的上、下底面边长分别为，，故该香料收纳罐的容积为．故选：C．
【变式6-2】正四棱台的上，下底面的边长分别为2，4，侧棱长2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高，
下底面面积，上底面面积，
所以该棱台的体积.故选：C.
【变式6-3】如图，在上、下底面对应边的比为的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱的平面，这个平面分三棱台成两部分，则＝________.
【答案】
【解析】因为三棱台中，上、下底面对应边的比为，所以，设三棱台的上底面面积为，则下底面面积为，高为，，.
设剩余的几何体的体积为V，则V＝，所以，.
故答案为：
8.3.1 棱柱、棱柱、棱台的表面积和体积
【题型1 棱柱的表面积计算】
1、如图，是棱长都为2的直平行六面体，且，则这个直平行六面体的表面积为（ ）
A．16 B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知：底面是菱形，且，，所以,
所以底面的面积为：，又因为每个侧面的面积都是，
所以这个直平行六面体的表面积为，故选：D
2、正方体的棱长扩大到原来的6倍，则其表面积扩大到原来的（ ）
A．2倍 B．12倍 C．18倍 D．36倍
【答案】D
【解析】设正方体棱长为a，则其表面积为，故正方体的棱长扩大到原来的6倍，则其表面积为，扩大到原来的36倍，故选：D
3、已知一个直四棱柱的高为2，其底面ABCD水平放置的直观图（斜二测画法）是边长为1的正方形，则这个直四棱柱的表面积为（ ）
A．10 B． C． D．
【答案】C
【解析】由于直观图是正方形，所以ABCD是两邻边分别为1与3，高为的平行四边形，
其周长是，面积是，所以直四棱柱的表面积是.故选：C
4、若斜三棱柱的高为，侧棱与底面所成角为，相邻两侧棱之间距离为5，则该三棱柱的侧面积等于______.
【答案】120
【解析】设是斜三棱柱的高，因此侧棱与底面所成角为，
所以有，因为相邻两侧棱之间距离为5，
所以该三棱柱的侧面积等于，故答案为：120
5、正六棱柱高5，最长的对角线为13，则它的侧面积是______.
【答案】180
【解析】设正六棱柱的底面边长为，则底面上最长对角线长为，所以由，解得，所以侧面积为．故答案为：．
【题型2 棱锥的侧面积与表面积】
1、已知三棱锥的三条侧棱长均为2，侧面有两个是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高为，则这个三棱锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】结合题目边长关系，三棱锥如图所示，，
由题意是等腰直角三角形，
则，
则表面积为.故选：C.
2、一个正四棱锥的底面边长为，高为，则该正四棱锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下图所示，在正四棱锥中，底面的边长为，设点在底面的射影点为点，则四棱锥的高，则为的中点，且，，
取的中点，连接，则，且，，故正四棱锥的表面积为.故选：B.
3、在正六棱锥中，底面边长为，侧棱长为，求正六棱锥的侧面积和表面积.
【答案】侧面积为，表面积为．
【解析】因为正六棱锥中，底面边长为，侧棱长为，
故侧面斜高为，故侧面积.
又底面为边长为的正六边形，可看成6个边长为的正三角形组合，
故底面面积为，故表面积为.
综上，正六棱锥的侧面积为，表面积为.
4、如图，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为__________．
【答案】
【解析】六个面的中心构成的多面体共8个面，每个侧面都是全等的正三角形，且正三角形的边长为，所以表面积为．故答案为：
5、已知正四面体的表面积为，其四个面的中心分别为，设四面体的表面积为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，正四面体四个面的中心分别为、、、，
四面体也是正四面体．连接并延长与交于点，连接并延长与交于点．、分别为面的中心，．．又，．
面积比是相似比的平方，两四面体的面积比为；．故选：．
【题型3 棱台的侧面积与表面积】
1、已知正三棱台的上、下底面的边长分别为2和4，棱台的侧棱长为，求它的侧面积．
【答案】.
【解析】如图，作出正三棱台，过点B作BM⊥B1C1于点M.，
易知在Rt△BB1M中，B1M＝1，BB1＝，故BM＝＝，
所以侧面积为3××(2＋4)×＝.
2、“斗”不仅是我国古代容量单位，还是量粮食的器具，如图所示．其可近似看作正四棱台，上底面是边长为的正方形，下底面是边长为的正方形，高为．“斗”的面的厚度忽略不计，则该“斗”的所有侧面的面积之和与下底面的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正四棱台，上底面是边长为的正方形，下底面是边长为的正方形，高为，
四棱台的侧面均为等腰梯形，则其高为，所以“斗”的所有侧面的面积之和为，下底面的面积为，所以.故选: A.
3、已知某个正四棱台的上、下底面边长和高的比为，若侧棱长为，则该棱台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设上底面边长为，则下底面边长为，高为，上底面正方形对角线长为，下底面正方形对角线长为，又侧棱长为，所以，解得，
所以侧面等腰梯形的高为，所以该棱台的侧面积为.故选：A.
4、一个几何体共有六个侧面且都是全等的等腰梯形，等腰梯形的上底长为10cm，下底长为15cm，腰为9cm，上、下底面都是正六边形，求该几何体的全面积．
【答案】
【解析】如图所示其中一个等腰梯形,
分别过A,B作AE⊥CD,BF⊥CD,E,F分别为垂足，则四边形AEFB为矩形.其中EF=AB=9,，所以.所以该几何体的侧面积,上下底面积的和，所以该几何体的全面积.
5、正四棱台两底面边长分别为和.
（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为，求棱台的侧面积；
（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）如图，设、分别为上、下底面的中心，
过作于，过作于，连接，则为正四棱台的斜高，
由题意知，，
又，∴斜高，
∴；
（2）由题意知，，∴，
∴，又，.
【题型4 棱柱的体积计算】
1、设正四棱柱的一条对角线长为3，它的底面积是4，则它的体积是（ ）
A．4 B．8 C． D．4或
【答案】A
【解析】设正四棱柱的底面边长为，高为，则且，解得，，所以正四棱柱的体积为.故选：A.
2、如图，在四棱柱中，底面是正方形，底面，，那么该四棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在四棱柱中，底面是正方形，底面，，，
该四棱柱的体积为．故选：C．
3、斜三棱柱中，侧面BB1C1C的面积为S，侧棱AA1到侧面BB1C1C的距离为a，则该斜三棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．Sa
【答案】C
【解析】在斜三棱柱的一侧补上一个三棱柱，使之成为一个平行六面体，如图，
显然，它的体积为，所以斜三棱柱的体积为.故选：C
4、已知铜质的五棱柱的底面积为16，高为4，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块，如果不计损耗，那么铸成铜块的棱长为______．
【答案】4
【解析】五棱柱的底面积为16，高为4，所以体积为，将它熔化后铸成一个正方体的铜块体积不变，所以铜块的棱长为4.故答案为：4.
5、设正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为______．
【答案】
【解析】由正六棱柱可得底面为正六边形，则底面积，
即正六棱柱的体积.故答案为：.
【题型5 棱锥的体积计算】
1、已知正四棱锥的高为3，底面边长为，则该棱锥的体积为（ ）
A．6 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】根据棱锥的体积公式得该棱锥的体积为故选：C.
2、正四棱锥的所有棱长均为1，则它的体积是______.
【答案】
【解析】如图所示，正四棱锥棱长均为1，连接AC、BD交于点O，连接PO
根据正四棱锥的性质，可得平面ABCD.所以，，
所以正四棱锥的体积.故答案为:.
3、已知正三棱锥的底面边长为，体积为，则底面的中心O到侧面PAB的距离是______.
【答案】
【解析】如图，延长交于，则是中点，且，连接，
平面，平面，∴，同理，
，平面，∴平面，
过作于，即平面，则，，平面，
∴平面，的长即为O到侧面PAB的距离，
由已知，,
在中，，
，．故答案为：．
4、如图，在三棱锥中，，且，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，且，
∴，作于D，则，设三棱锥的高为，
∴..故选：A.
【题型6 棱台的体积计算】
1、在正四棱台中， ，则该四棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】作出轴截面如图所示，过点作，垂足为，因为正四棱台中，，所以，，，即梯形为等腰梯形，
所以，，所以，该四棱台的体积为
故选：B
2、正三棱台上下底面的边长为1，2，斜高为1，则其体积为______．
【答案】
【解析】如图，设上下底面中心分别为，分别为的中点，则即为斜高，
过点作于点，
则，，所以，所以，上底面面积，下底面面积，
所以棱台的体积.故答案为：.
3、若正三棱台的上､下底面的面积分别是和，体积为，则其侧棱长为___________.
【答案】
【解析】因为棱台体积公式V （SS′）h，所以，所以高，又因为正三棱台上､下底面的面积分别是和，所以上下底面边长分别是2和4，如图所示，O′､O分别是上､下底面的中心，连接OO′､O′B′､OB，在平面BOO′B′内作B′E⊥OB于E，∵是边长为2的等边三角形，O′是中心，∴O′B′，OB，∴在中，，BE，∴B′B，
∴该三棱台的侧棱长为.
4、《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和为，则方亭的体积为______.
【答案】
【解析】由题意得，设，则，.过点，在平面内分别作，，垂足分别为点、，
在等腰梯形中，因为，，，则四边形为矩形，所以，，则，因为，，，
所以，所以，
在中，由勾股定理得，
所以等腰梯形的面积为，所以.
所以，，方亭的高，
故方亭的体积为.故答案为：
5、如图所示，已知三棱台的体积为，其中，截去三棱锥，则剩余部分的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设三棱台的高为，上底面的面积为，下底面的面积为.
因为，所以，
则三棱台的体积为：.
截去三棱锥的体积为：，所以剩余部分的体积为，
所以剩余部分的体积为.故选：C.