人教A版 (2019)必修 第二册简单几何体的表面积与体积优质学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册简单几何体的表面积与体积优质学案，共9页。学案主要包含了知识梳理，课堂达标等内容，欢迎下载使用。
【引入】 在前面我们已经学习了棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积，那么对于圆柱、圆锥、圆台等旋转体，它们的表面积和体积又该如何计算呢？
一、圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积
探究1 如何根据圆柱的侧面展开图，求圆柱的表面积？


探究2 如何根据圆锥的侧面展开图，求圆锥的表面积？


探究3 如何根据圆台的侧面展开图，求圆台的表面积？


【知识梳理】
圆柱、圆锥、圆台的表面积
温馨提示 圆柱、圆锥、圆台的表面积公式的关系
例1 (1)已知圆锥的顶点为O，底面圆心为O1，过OO1的平面截该圆锥所得截面为一个面积为4eq \r(3)的等边三角形，则与该圆锥同底等高的圆柱的表面积为( )
A.8π B.8eq \r(3)π C.12π D.8π＋8eq \r(3)π
(2)若圆台的上、下底面半径分别为2，6，且侧面面积等于两底面面积之和，则圆台的母线长为________，表面积为________.


思维升华 解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：
(1)得到空间几何体的平面展开图；
(2)依次求出各个平面图形的面积；
(3)将各平面图形的面积相加.
训练1 (1)过圆柱的上、下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则圆柱的侧面积是( )
A.12eq \r(2)π B.16π C.8π D.10π
(2)一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是18π，则母线长为( )
A.eq \r(2) B.2 C.3 D.2eq \r(2)
二、圆柱、圆锥、圆台的体积
探究4 我们以前学习过圆柱、圆锥的体积公式，你能由圆台的定义，利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式吗？


【知识梳理】
温馨提示 圆柱、圆锥、圆台的体积公式的关系
例2 (1)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙.若eq \f(S甲,S乙)＝2，则eq \f(V甲,V乙)＝( )
A.eq \r(5) B.2eq \r(2) C.eq \r(10) D.eq \f(5\r(10),4)
(2)已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为________.


思维升华 求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，圆锥、圆台的高是由母线、高、半径(半径的差)组成的直角三角形的边长列出方程并求解.
训练2 圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16eq \r(2)π，则圆锥的体积是( )
A.eq \f(64π,3) B.eq \f(128π,3) C.64π D.128eq \r(2)π
三、球的表面积和体积
探究5 设球的半径为R，你能类比圆的面积公式推导方法，推导出球的体积公式吗？



【知识梳理】
球的表面积与体积公式
例3 已知△ABC的三个顶点在球O的表面上，且AB＝4eq \r(2)，AC＝2，BC＝6.若球心O与BC中点的连线长为4，求球的表面积与体积.





思维升华 1.公式是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件.
2.两个结论：(1)两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；(2)两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方.
训练3 一平面截一球得到直径为2eq \r(5) cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的体积是( )
A.12π cm3 B.36π cm3C.64eq \r(6π) cm3 D.108π cm3
【课堂达标】
1.若圆锥的底面半径为eq \r(3)，高为1，则圆锥的体积为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,2) C.π D.2π
2.若一个球的体积为4eq \r(3)π，则它的表面积为( )
A.3π B.12 C.12πD.36π
3.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是( )
A.eq \f(1＋2π,2π) B.eq \f(1＋4π,4π) C.eq \f(1＋2π,π) D.eq \f(1＋4π,2π)
4.如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则eq \f(R,r)＝________.
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
探究1 提示 圆柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱的高(母线).
则S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)，其中r为圆柱的底面半径，l为母线长.
探究2 提示 圆锥的侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长，侧面展开图扇形的面积为eq \f(1,2)×2πrl＝πrl，
∴S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)，其中r为圆锥底面半径，l为母线长.
探究3 提示 圆台的侧面展开图是一个扇环，内弧长等于圆台上底面圆的周长，外弧长等于圆台下底面圆的周长，
如图，eq \f(x,x＋l)＝eq \f(r,R)，解得x＝eq \f(r,R－r)l，
S扇环＝S大扇形－S小扇形
＝eq \f(1,2)(x＋l)×2πR－eq \f(1,2)x·2πr
＝π[(R－r)x＋Rl]＝π(r＋R)l，
所以S圆台侧＝π(r＋R)l，S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2).
知识梳理
1.πr2 2πrl＋2πr2 πr2 πrl＋πr2 πr′2 πr2 πl(r＋r′) π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
例1 (1)D (2)5 80π [(1)由题意，过直线OO1的平面截该圆锥所得的截面是面积为4eq \r(3)的等边三角形，
设等边三角形的边长为a，
可得eq \f(\r(3),4)a2＝4eq \r(3)，解得a＝4，
则圆锥的高h＝4sin 60°＝2eq \r(3)，
底面圆的半径r＝2，
所以与该圆锥同底等高的圆柱的表面积
S＝S侧＋2S底＝2πrh＋2πr2
＝2π×2×2eq \r(3)＋2π×22
＝8π＋8eq \r(3)π.
(2)设圆台的母线长为l，
则由题意得π(2＋6)l＝π×22＋π×62，
∴8πl＝40π，∴l＝5，
∴该圆台的母线长为5.
圆台的表面积为
S＝π×(2＋6)×5＋π×22＋π×62
＝40π＋4π＋36π
＝80π.]
训练1 (1)B (2)C [(1)如图所示，
过圆柱的上、下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是正方形ABDC，面积为16，故边长AB＝AC＝4，即圆柱的底面半径r＝2，高AC＝4，
则圆柱的侧面积S＝2πr·AC＝16π.
(2)设圆台的母线长为l，
上、下底面半径分别为r，R，
则l＝eq \f(1,2)(r＋R)，
因为圆台的侧面积是18π，
所以18π＝π(r＋R)l＝2πl2，
解得l＝3.]
探究4 提示 V圆台＝eq \f(1,3)πh(r′2＋r′r＋r2).
知识梳理
πr2h eq \f(1,3)πr2h eq \f(1,3)π(r′2＋r′r＋r2)h
例2 (1)C (2)224π [(1)设母线长为l，
甲圆锥底面圆半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2，
则eq \f(S甲,S乙)＝eq \f(πr1l,πr2l)＝eq \f(r1,r2)＝2，所以r1＝2r2.
又eq \f(2πr1,l)＋eq \f(2πr2,l)＝2π，
则eq \f(r1＋r2,l)＝1，所以r1＝eq \f(2,3)l，r2＝eq \f(1,3)l，
所以甲圆锥的高h1＝eq \r(l2－\f(4,9)l2)＝eq \f(\r(5),3)l，
乙圆锥的高h2＝eq \r(l2－\f(1,9)l2)＝eq \f(2\r(2),3)l，
所以eq \f(V甲,V乙)＝eq \f(\f(1,3)πreq \\al(2,1)h1,\f(1,3)πreq \\al(2,2)h2)＝eq \f(\f(4,9)l2×\f(\r(5),3)l,\f(1,9)l2×\f(2\r(2),3)l)＝eq \r(10).
(2)设上底面半径为r，则下底面半径R＝4r，高h＝4r，如图.
∵母线长为10，
∴102＝(4r)2＋(4r－r)2，解得r＝2.
∴下底面半径R＝8，高h＝8，
∴V圆台＝eq \f(1,3)π(r2＋rR＋R2)h＝224π.]
训练2 A [作圆锥的轴截面，如图所示，
由题意知，在△PAB中，∠APB＝90°，PA＝PB.
设圆锥的高为h，底面半径为r，
则h＝r，PB＝eq \r(2)r.
由S侧＝π·r·PB＝16eq \r(2)π，
得eq \r(2)πr2＝16eq \r(2)π，
所以r＝4，则h＝4.
故圆锥的体积V圆锥＝eq \f(1,3)πr2h＝eq \f(64π,3).]
探究5 提示 分割、求近似和，再由近似和转化为准确和，得出球的体积公式.
知识梳理
4πR2 eq \f(4,3)πR3
例3 解 ∵AB＝4eq \r(2)，AC＝2，BC＝6，
∴AB2＋AC2＝BC2，即△ABC为直角三角形，
∴平面ABC被球所截得的图形是以BC为直径的圆.
由已知球心O与截面圆圆心的距离为4，
∴球的半径R＝eq \r(42＋32)＝5，
∴球的表面积S＝4πR2＝100π，
体积V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(500π,3).
训练3 B [设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，
则OO1垂直于截面圆O1，如图所示.
在Rt△OO1A中，O1A＝eq \r(5) cm，OO1＝2 cm，
∴球的半径
R＝OA＝eq \r(22＋（\r(5)）2)＝3(cm)，
∴球的体积V＝eq \f(4,3)×π×33＝36π(cm3).]
课堂达标
1.C [V＝eq \f(1,3)πr2h＝eq \f(1,3)×π×(eq \r(3))2×1＝π.]
2.C [设球的半径为R，依题意有eq \f(4π,3)R3＝4eq \r(3)π，所以R＝eq \r(3)，S＝4πR2＝12π.]
3.A [设底面圆半径为r，母线长为h，
∴h＝2πr，
则eq \f(S表,S侧)＝eq \f(2πr2＋2πrh,2πrh)＝eq \f(r＋h,h)＝eq \f(r＋2πr,2πr)＝eq \f(1＋2π,2π).]
4.eq \f(2\r(3),3) [依题意eq \f(4,3)πr3＝πR2·r，∴eq \f(R,r)＝eq \f(2,\r(3))＝eq \f(2\r(3),3).]
圆柱
底面积：S底＝________，
侧面积：S侧＝2πrl，
表面积：S＝________
圆锥
底面积：S底＝________，
侧面积：S侧＝πrl，
表面积：S＝________
圆台
上底面面积：S上底＝________，
下底面面积：S下底＝________，
侧面积：S侧＝________，
表面积：S＝________
几何体
体积
说明
圆柱
V圆柱＝Sh＝________
S为底面积，h是高，r是底面半径
圆锥
V圆锥＝eq \f(1,3)Sh＝________
S为底面积，h是高，r是底面半径
圆台
V圆台＝eq \f(1,3)(S′＋eq \r(S′S)＋S)h＝______________
S′，S分别为上、下底面面积，h为高，r′，r分别是上、下底面半径
前提条件
球的半径为R
球的表面积公式
S球＝________
球的体积公式
V球＝________
球的表面积公式与
体积公式的联系
V球＝eq \f(1,3)S球R