高中数学人教A版 (2019)必修 第二册简单几何体的表面积与体积课时作业

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一、必备知识分层透析
二、重点题型分类研究
题型1: 棱柱的表面积与体积
题型2：棱锥的表面积与体积
题型3：棱台的表面积与体积
三、高考（模拟）题体验
一、必备知识分层透析
知识点1：棱柱、棱锥、棱台的表面积
（1）正方体、长方体的表面积
正方体、长方体的表面积就是各个面的面积的和
长、宽、高分别为的长方体的表面积：
棱长为的正方体的表面积：.
（2）棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图
棱柱的侧面展开图为平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长.如图:
棱锥的侧面展开图由若干个三角形拼成如图
棱台的侧面展开图由若干个梯形拼成如图
（3）棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱的表面积：
棱锥的表面积：
棱台的表面积：
知识点2：棱柱、棱锥、棱台的体积
（1）棱柱的体积
①棱柱的高：柱体的两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长.
②棱柱的体积：柱体的体积等于它的底面积和高的乘积，即.
（2）棱锥的体积
①棱锥的高：锥体的顶点到底面之间的距离，即从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长.
②棱锥的体积：锥体的体积等于它的底面积和高的乘积的,即理解.
（3）棱台的体积
①棱台的高：台体的两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，此点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长
②棱台的体积：(,分别为上下底面面积，为台体的高)
二、重点题型分类研究
题型1: 棱柱的表面积与体积
典型例题
例题1．已知长方体的表面积为62，所有棱长之和为40，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
例题2．如图1，水平放置的直三棱柱容器中，，，现往内灌进一些水，水深为2．将容器底面的一边固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为三角形，如图2，则容器的高为（ ）
A．3B．4C．D．6
例题3．我国古代建筑的屋顶对建筑立面起着特别重要的作用，古代建筑屋顶主要有庑殿式、硬山顶、歇山顶、悬山顶攒尖顶、盝顶、卷棚顶等类型，其中硬山式屋顶造型的最大特点是比较简单、朴素，只有前后两面坡，而且屋顶在山墙墙头处与山墙齐平，没有伸出部分，山面裸露没有变化．硬山式屋顶（如图1）可近似地看作直三棱柱（如图2），其高为，到平面的距离为，为，则可估算硬山式屋顶的体积约为（ ）
A．B．C．D．
例题4．棱柱中，底面三角形的三边长分别为3、4、5，高为（）.过三条侧棱中点的截面把此三棱柱分为两个完全相同的三棱柱，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱，小明尝试了除原三棱柱之外的所有情形，发现全面积都比原三棱柱的全面积小，则的取值范围是______.
例题5．我国已出现了用3D打印技术打印出来的房子，其耗时只有几个小时，其中有一尺寸如图所示的房子．不计屋檐，求其表面积和体积．
同类题型演练
1．已知一个直四棱柱的高为2，其底面ABCD水平放置的直观图（斜二测画法）是边长为1的正方形，则这个直四棱柱的表面积为（ ）
A．10B．C．D．
2．已知一个直四棱柱的底面是菱形，一个底面的面积为4，两个对角面（过相对侧棱的截面）面积分别为5和6，那么它的表面积为_________．
3．如图，已知正四棱柱，､为上､下底面的中心，O为的中点.过点O且与直线AB平行的平面截这个四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1和，则四棱柱的表面积为___________.
4．如下图所示，某学校设置了一些装饰品，这些装饰品是由正方体截去八个一样的四面体得到的，已知装饰品的体积为，现学校准备为装饰品的所有棱（含底面）加装灯带，请问学校需要购买灯带的长度为____________cm.
5．我国古代数学名著《九章算数》中，将底面是直角三角形的直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)称之为“堑堵”.如图，三棱柱为一个“堑堵”，底面是以为斜边的直角三角形，，如果三棱柱有半径为1的内切球，则三棱柱的体积为___________.
题型2：棱锥的表面积与体积
典型例题
例题1．在三棱锥中，，且，，则该三棱锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
例题2．益阳市“一园两中心”项目是益阳市委市政府推进“大益阳城市圈”建设、实现益阳“东接东进”战略作出的重大决策.“两中心”是指益阳市文化中心、益阳市政务中心.其中图书馆是益阳市文化中心的重要场馆之一，市政府决定在图书馆顶上安装太阳能板发电，要测量顶部的面积，将图书馆看成一个长方体与一个等底的正四棱锥组合而成，经测量长方体的底面是边长为24m的正方形，且高为10m，当正四棱锥的顶点在阳光的照射下的影子恰好落在底面正方形的对角线的延长线上时（此时光线正好经过长方体的顶点），正四棱锥顶点的影子到长方体下底面中心的距离为m，则图书馆顶部的面积为（ ）
A．576B．624C．688D．728
例题3．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)”，下底面宽丈，长丈，上棱丈，平面.与平面的距离为1丈，问它的体积是
A．4立方丈B．5立方丈
C．6立方丈D．8立方丈
例题4．已知：直四棱柱所有棱长均为2，.在该棱柱内放置一个球，设球的体积为，直四棱柱去掉球剩余部分的体积为.
(1)求三棱锥的的表面积；
(2)求的最大值.（只要求写出必要的计算过程，不要求证明）
例题5．为了求一个棱长为的正四面体的体积，某同学设计如下解法：构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体为棱长是的正四面体，且有.
(1)类似此解法，如图2，一个相对棱长都相等的四面体，其三组棱长分别为、、，求此四面体的体积；
(2)对棱分别相等的四面体中，，，.求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形.
同类题型演练
1．在我国古代数学著作《九章算术》中，“鳖臑”是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在“鳖臑”中，平面，平面，，，，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
2．在△ABC中，.则以BC为轴，将△ABC旋转一周所得的几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
3．已知三棱锥的顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为，，，，则当三棱锥的体积最大时，（ ）
A．4B．C．5D．
4．如图，在中，，，是上的高，沿把折起，使，若，则三棱锥的表面积为_______．
5．如图，两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入一个棱长为2的正方体内，已知棱锥重合的底面与正方体的底面平行，八面体的各顶点均在正方体的表面上，则该八面体表面积的取值范围为______．
题型3：棱台的表面积与体积
典型例题
例题1．已知一个正棱台的上、下底面是边长分别为2、8的正方形，侧棱长为5，则该棱台的表面积为（ ）
A．148B．168C．193D．88
例题2．已知某正六棱台的上、下底面边长为1和3，高为1，则其侧面积为（ ）
A．B．C．D．
例题3．已知在三棱锥中，平面，为等腰直角三角形，且，，点为棱上一点，且，过点作平行于底面的截面，那么三棱台的体积等于（ ）．
A．B．C．D．
例题4．如图所示，正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥.
(1)求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比；
(2)若大棱锥的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.
同类题型演练
1．若正三棱台上、下底面边长分别是和，棱台的高为，则此正三棱台的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
2．某校高一级学生进行创客活动，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去正四棱台后所得的几何体，其中，为增强其观赏性和耐用性，现对该模型表面镀上一层金属膜，每平方厘米需要金属，不考虑损耗，所需金属膜的质量为____________．
3．如图，在正四棱台中，，且四棱锥的体积为48，则该四棱台的体积为___________.
4．已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，用一个平行于棱锥底面且距离底面长度为3的平面去截棱锥，所得棱台的体积为_____________.
三、高考（模拟）题体验
1．在各棱长均为1的正三棱柱中，、分别为、的中点，过、、三点的截面将三棱柱分成上下两部分，记体积较小部分的体积为，另一部分的体积为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知正四棱台中，，若该四棱台的体积为，求这个四棱台的表面积为（ ）
A．24B．44C．D．
3．米斗是我国古代官仓，粮栈､米行必备的用具，是称量粮食的量器.如图是一种米斗，可盛米10升（1升=1000cm3），已知盛米部分的形状为正四棱台，且上口宽为18cm，下口宽为24cm，则高约为（ ）
A．18.8cmB．20.4cmC．22.5cmD．24.2cm
4．已知某圆锥的轴截面为等边三角形，且该圆锥内切球的表面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知、、是半径为的球的球面上的三个点，且，，，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，已知某圆锥形容器的轴截面是面积为的正三角形，在该容器内放置一个圆柱，使得圆柱的上底面与圆锥的底面重合，且圆柱的高是圆锥的高的，则圆柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．（多选）在正三棱锥中，设，，则下列结论中正确的有（ ）
A．当时，到底面的距离为
B．当正三棱锥的体积取最大值时，则有
C．当时，过点A作平面分别交线段，于点，不重合，则周长的最小值为
D．当变大时，正三棱锥的表面积一定变大
8．（多选）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（ ）
A．该圆台的高为
B．该圆台轴截面面积为
C．该圆台的体积为
D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为