高中数学人教A版 (2019)必修 第二册简单几何体的表面积与体积课后练习题

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1．某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意可知，该四棱台的上、下底面边长分别为，，故该香料收纳罐的容积为．故选：C．
2．已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为、，高为，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意可知，该圆台的体积为.故选：C.
3．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面水平放置时，液面恰好过，，，的四等分点处，，当底面水平放置时，液面高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设当底面水平放置时，液面高为，依题意，侧面水平放置时，液面恰好过，，，的四等分点处，，所以水的体积，解得.
故选：B
4．一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】母线长为1，设底面圆半径为，则，∴，∴，
故圆锥的体积为，故选：A.
5．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个底面周长恰为高的倍的正四棱锥，现将一个棱长为的正方体铜块，熔化铸造一些高为的胡夫金字塔模型，则该铜块最多能铸造出（ ）个该金字塔模型（不计损耗）？
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】在正四棱锥中，令，连接，则正四棱锥的高为
设正四棱锥的底面边长为a，则，即
∴正四棱锥的体积为则可得，则
该铜块最多能铸造出4个该金字塔模型，故选：B.
6．已知正三棱台的上､下底面的棱长分别为3和6，侧棱长为2，则该正三棱台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】如图画出正三棱台，连接上下底面中心，即为三棱台的高，
过作，垂足为，则，,
又上下底面外接圆半径分别，，侧棱长为，
所以正三棱台的高为，因为正三棱台的上､下底面的边长分别为3，6，所以上下底面面积分别为，，
所以其体积为.
故选：D.
7．“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓．《九章算术．商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”，即一个长方体沿对角面斜解（图1）．得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱维称为鳖臑（图4）．若长方体的体积为V，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设长方体的长宽高分别为，，则，，，故，，，，则ABC错误，D正确；
故选：D.
8．如图所示，P是正三棱柱表面上的一个动点，且，若三棱锥的体积为3，则AP长度的最大值､最小值分别为（ ）
A．4，1B．，1.5C．4.5，D．，2
【答案】B
【详解】设点P到平面的距离为h，则，∴.点A到BC的距离为3，如图，取的中点D，AB的中点E，AC的中点F，的中点G，连接DE，EF，FG，GD，则点P在矩形DEFG的边上自由移动，点A到EF的距离为，，∴.
故选：B
二、多选题
9．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，多见于亭阁式建筑、园林建筑下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为米，则该正四棱锥的（ ）
A．底面边长为6米B．侧棱与底面所成角的余弦值为
C．侧面积为平方米D．体积为立方米
【答案】AD
【详解】对A，如图所示，在正四棱锥中，为正方形的中心，且，设底面边长为，正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为，所以，则，
在直角中，可得，即，解得，所以正四棱锥的底面边长为，所以A正确；
对B，因为平面，所以为侧棱与底面所成的角，在直角中，可得，所以B错误；
对C，正四棱锥的侧面积为平方米，所以C错误；
对D，正四棱锥的体积为立方米，所以D正确.
故选：AD.
10．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小棱锥所得的多面体，如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为的截角四面体，则下列说法正确的是（ ）
A．该截角四面体的内切球体积B．该截角四面体的体积为
C．该截角四面体的外接球表面积为D．外接圆的面积为
【答案】BD
【详解】
该四面体底面正三角形的高等于，所以四面体的高，
由图可知，该截角四面体的内切球的直径等于，所以内切球的体积等于，故A错误；
正四面体的体积，所以剪掉一个角的体积等于，
所以该截角四面体的体积为,故B正确；
取上下底面的中心为,外接球的球心为，连接如图，因为截角四面体上下底面间的距离等于，设外接球的半径等于，因为为边长等于的正三角形，所以的高等于，所以,又因为下底面为正六边形，所以，
所以即
所以解得，所以，故C错误；
连接，则,所以，由正四面体对棱互相垂直可知，,
所以在直角中，，
所以外接圆的面积为，故D正确.故选:BD.
三、填空题
11．已知正三棱锥的底面边长为6，体积为三点均在以为球心的球的球面上，是该球面上任意一点，则三棱锥体积的最大值为__________.
【答案】
【详解】因为正三棱锥的底面边长为6，所以三棱锥的底面面积为，
设底面外接圆的半径为，由正弦定理得，所以底面外接圆的半径.
三棱锥的体积为，则三棱锥的高.所以球的半径.
则三棱锥体积的最大值为.故答案为：
12．在正方体中，点为侧棱上一点，且，平面将该正方体分成两部分，其体积分别为，则__________.
【答案】
【详解】
由题意，延长线段与的延长线交于点，连接交于，连接，故平面延展开后即为平面，将该正方体分成的两部分一部分是三棱台，另一部分是剩余的部分.
由于，故，不妨设正方体棱长为3，
，
，即.故答案为：.
四、解答题
13．《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑 (四个面均为直角三角形的四面体)．在如图所示的堑堵中，已知，，．当阳马体积等于时， 求：
(1)堑堵的侧棱长；
(2)鳖臑的体积；
(3)阳马的表面积．
【答案】(1)(2)(3)
(1)因为，，，所以．所以△为直角三角形．
设堑堵的侧棱长为，则，则，
所以，所以堑堵的侧棱长为．
(2)因为，所以．所以鳖臑的体积为．
(3)因为，，，，
，所以阳马的表面积的表面积为．
14．（1）若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，求该圆锥的体积.
（2）已知正三棱台（由正三棱锥截得的棱台）的上､下底面的边长分别为2和4，棱台的侧棱长为，求它的侧面积.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）设圆锥底面圆的半径为r，高为h，母线长为l，
由题意，得，则，，，故.
（2）如图，作出正三棱台，过点B作BM⊥B1C1于点M，在Rt△BB1M中，B1M=1，BB1=，故BM==，所以侧面积为3××(2+4)×=.

15．如图，在棱长为1的正方体中，截去三棱锥，求：
(1)截去的三棱锥的体积；
(2)剩余的几何体的表面积．
【答案】(1)(2)
（1）∵正方体的棱长为1，
三棱锥的体积
（2）是边长为的等边三角形，，
∴，，
所以剩余几何体表面积为．
16．如图，直三棱柱有外接圆柱，点，分别在棱和上，.
(1)若，且三棱柱有一个内切球，求三棱柱的体积；
(2)若，连接，，将三棱柱的侧面和展开成一个平面图形，求展开图形中面积的取值范围.
【答案】(1)(2)
(1)，是圆柱的上下底面圆心，而且点，分别在棱和上，由此可知是为斜边的直角三角形. ,
设的内切圆的半径为，则由等面积法，可知:,，故三棱柱的内切球的半径也是，故三棱柱的高，进而三棱柱的体积.
(2)三棱柱的侧面和展开成一个平面图形,
设，则，，，所以.
B能力提升
17．如图，菱形中，，，为上一点，满足，将菱形沿对折，形成四面体，满足
(1)设折叠前的面积为，折叠后的面积为，求的值；
(2)求三棱锥的体积
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为在菱形中，，，，所以，，.
设的高，则，所以，所以.
因为折叠后是一正四面体，所以，此时为等腰三角形，
在中，由余弦定理得
在中，由勾股定理，以为底边的高为，所以.
所以，
（2）如图，将正四面体放入如图所示的正方体中，
已知，则正方体边长为，体积，
三棱锥体积
所以正四面体的体积
因为点满足，所以的体积为
C综合素养
18．设正六棱锥的底面积为，高为h，侧面积为S，
(1)将S表示为h的函数；
(2)当时，求的正弦值；
(3)将F到平面的距离d表示为h的函数，并求d的取值范围．
【答案】(1)(2)(3)，
【详解】（1）设底面边长为a，可解得，在底面正六边形中，中心到各边的距离为，
侧面积，其中斜高，所以；
（2）由（1），时，
而，解得；
（3）
如图，设为中点，连接，
在中，，
在中，，，
故.
又，.
由易得.所以，
.，. 显然d是关于h的严格增函数，所以.