人教版高中数学必修第二册8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 同步练习(含答案)

这是一份人教版高中数学必修第二册8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 同步练习(含答案)，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.棱长为3的正方体的表面积为( )
A.27B.64C.54D.36
2. 已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图L8-3-1),则三棱锥B1-ABC的体积V=( )
图L8-3-1
A.14 B.12
C.36 D.34
3.如图L8-3-2,长方体ABCD - A1B1C1D1的体积为V1,E为棱CC1上的点,且CE=13CC1,三棱锥E-BCD的体积为V2,则V2V1=( )
图L8-3-2
A.13B.16C.19D.118
4.已知正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为5,则该正四棱锥的体积为( )
A.43 B.23 C.43 D.433
5.已知正三棱柱的高为4,体积为43,则底面三角形的边长为( )
A.1B.2C.3D.4
6.如图L8-3-3,在正方体ABCD - A1B1C1D1中,正三棱锥D - A1BC1的表面积与正方体的表面积之比是( )
图L8-3-3
A.22 B.33C.3 D.2
7.如图L8-3-4,在三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D -ABE的体积为V1,三棱锥P-ABC的体积为V2,则V1∶V2=( )
图L8-3-4
A.1∶2 B.1∶3C.1∶4 D.1∶5
8.如图L8-3-5,一个直三棱柱形容器中盛有水,且侧棱AA1=8.若侧面AA1B1B水平放置时,水面恰好过AC,BC,A1C1,B1C1的中点,则当底面ABC水平放置时,水面的高为( )
图L8-3-5
A.6 B.7
C.2 D.4
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
9.有一个正四棱台形的油槽,可以装油190 L,假如它的两底面边长分别为60 cm和40 cm,则它的高为 cm.
10.已知正四棱柱的底面边长为22,体积为32,则此四棱柱的表面积为 .
11.已知正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,则四棱锥A1-EFGH的体积为 .
12.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB,AC,AA1两两成60°角,点E,F,G分别为AB,AC,AA1上的点,且AE=12AB,AF=13AC,AG=23AA1,则三棱锥G - AEF的体积与三棱柱ABC-A1B1C1的体积之比为 .
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)已知一个长方体共顶点的三个面的面积分别是2,3,6.
(1)求这个长方体的体对角线长;
(2)求这个长方体的体积.
14.(10分)正四棱台ABCD - A1B1C1D1的上底面是边长为2的正方形,下底面是边长为4的正方形,侧棱长为2,侧面是全等的等腰梯形,求正四棱台的表面积.
15.(5分)在《九章算术》中,堑堵指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱,阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图L8-3-6,在堑堵ABC-A1B1 C1中,AC⊥BC,AA1=AB=2,则当阳马B - A1ACC1 的体积最大时,堑堵ABC-A1 B1 C1的体积为 .
图L8-3-6
16.(15分)如图L8-3-7是一个以△A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体,截面为ABC,已知A1B1=B1C1=2,∠A1B1C1=90°,AA1=4,BB1=3,CC1=2.
(1)求该几何体的体积;
(2)求截面ABC的面积.
图L8-3-7
参考答案与解析
1.C [解析] 所求表面积为6×32=54.
2.D [解析] V=13×34×3=34.
3.D [解析] 由题意得,V1=S长方形ABCD·CC1,V2=13S△BCD·CE=13×12S长方形ABCD×13CC1=118S长方形ABCD·CC1,则V2V1=118.故选D.
4.D [解析] 由题知该正四棱锥底面的对角线的长度为22,故该正四棱锥的高h=5−2=3,所以其体积V=13×4×3=433,故选D.
5.B [解析] 设正三棱柱底面三角形的边长为a,则底面三角形的面积S=34a2,由正三棱柱的体积V=34a2×4=43,得a=2,故选B.
6.B [解析] 设正方体的棱长为1,则正方体的表面积为6,正三棱锥D-A1BC1的棱长均为2,其表面积为4×12×2sin 60°×2=23,∴ 正三棱锥D - A1BC1的表面积与正方体的表面积之比是33,故选B.
7.C [解析] ∵E是PC的中点,∴P,C到平面ABE的距离相等,∴V三棱锥P-ABE=V三棱锥C-ABE,又D是PB的中点,∴D到平面ABE的距离等于P到平面ABE的距离的12,∴V三棱锥D-ABE=12V三棱锥P-ABE=14V三棱锥P-ABC,∴V1V2=V三棱锥D-ABEV三棱锥P-ABC=14.故选C.
8.A [解析] 根据题意,当侧面AA1B1B水平放置时,有水的部分为四棱柱,其底面是梯形,设△ABC的面积为S,则S梯形=34S,水的体积V水=34S×A1A=6S.当底面ABC水平放置时,有水的部分为三棱柱,设水面的高为h,则V水=Sh=6S,故h=6,故选A.
9.75 [解析] 设正四棱台的体积为V mL,上、下底面的面积分别为S' cm2,S cm2,高为h cm,则V=13(S+SS'+S')h,即h=3VS+SS'+S',则h=3×190 0003600+2400+1600=75,故高为75 cm.
10.16+322 [解析] 设正四棱柱的高为h,则h=32(22)2=4,所以此四棱柱的表面积为4×4×22+2×22×22=322+16.
11.43 [解析] ∵正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,∴四边形EFGH是边长为2的正方形,又点A1到平面EFGH的距离d=AA1=2,∴四棱锥A1-EFGH的体积V=13×d×S正方形EFGH =13×2×2×2 =43.
12.127 [解析] 设三棱柱ABC-A1B1C1的高为H,三棱锥G - AEF的高为H',则三棱锥G - AEF的体积V=13×S△AEF×H'=13×S△AEF×23H.设△AEF的边AF上的高为h',则根据点E为AB的中点得,△ABC的边AC上的高为2h',所以S△AEF=12×AF×h'=12×13AC×h'=16AC×h',S△ABC=12×AC×2h'=AC×h',则三棱锥G - AEF的体积V1=127AC×H×h',三棱柱ABC-A1B1C1的体积V2=AC×h'×H,故所求体积之比为127.
13.解:(1)设此长方体共顶点的三条棱的长分别为a,b,c,
则ab=2,bc=3,ac=6,解得c=3,a=2,b=1.
故这个长方体的体对角线长为(2)2+(3)2+12=6.
(2)由(1)可知这个长方体的体积V=abc=6.
14.解:∵正四棱台的上底面是边长为2的正方形,下底面是边长为4的正方形,
∴上底面、下底面的面积分别是4,16.
∵侧棱长为2,侧面是全等的等腰梯形,
∴侧面的高为4−(4−22) 2=3,
∴一个侧面的面积为12×(2+4)×3=33,
∴正四棱台的表面积为4+16+33×4=20+123.
15.2 [解析] 设AC=x,BC=y,则由题意得x>0,y>0,x2+y2=4.阳马B - A1ACC1的体积V1=13×2x×y=23xy,∵xy≤x2+y22=2,当且仅当x=y=2时取等号,∴当阳马B - A1ACC1的体积最大时,AC=BC=2,此时堑堵ABC - A1B1C1的体积V2=S△ABC·AA1=12×2×2×2=2.
16.解:(1)如图,过C作平行于△A1B1C1的截面A2B2C,分别交AA1,BB1于点A2,B2.
由题知,该几何体的体积V=V三棱柱A1B1C1-A2B2C+V四棱锥C-ABB2A2=12×2×2×2+13×12×(1+2)×2×2=6.
(2)在△ABC中,AB=22+(4−3)2=5,
BC=22+(3−2)2=5,
AC=(22)2+(4−2)2=23,
则S△ABC=12×23×(5)2-(3)2=6.