高中数学人教A版 (2019)必修 第二册简单几何体的表面积与体积一课一练

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难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成，以及与球等有关的组合体的表面积和体积的计算.
一、圆柱、圆锥、圆台的表面积
1、侧面展开图及侧面积公式
2、圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤;
解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：
（1）得到空间几何体的平面展开图．
（2）依次求出各个平面图形的面积．
（3）将各平面图形的面积相加．
二、圆柱、圆锥、圆台的体积
1、圆柱、圆锥、圆台的体积公式：
（1）圆柱的体积公式：V圆柱=S底×h
（2）圆锥的体积公式：V圆锥=13S底×h
（3）圆台的体积公式：V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
2、柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
三、球的表面积和体积
1、球的体积公式：V=43πR3
2、球的表面积公式：S=4πR2
四、球的截面的性质
1、球的轴截面（过球心的截面）是将球的问题（立体几何问题）转化为平面问题（圆的问题）的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题．
2、用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质：
（1）球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；
（2）球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系d＝eq \r(R2－r2).
题型一 圆柱的表面积和体积
【例1】以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】设甲､乙两个圆柱的底面面积分别为，体积为，若它们的侧面积相等且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm，高10cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为rcm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为（ ）
A． B． C．4 D．5
【变式1-3】如图，一个底面半径为3的圆柱被一平面所截，截得几何体的最短和最长母线长分别为3和5，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
题型二 圆锥的表面积和体积
【例2】已知圆锥的底面积为1，表面积为3，则它的侧面展开图的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.如图所示的带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为9π，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该屋顶的体积约为（ ）
A． B．16π C．18π D．
【变式2-2】甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】如图，将底面半径为2的圆锥放倒在平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆本身恰好滚动了2周，则（ ）
A．圆锥的母线长为8 B．圆锥的表面积为
C．圆锥的侧面展开图扇形圆心角为 D．圆锥的体积为
题型三 圆台的表面积和体积
【例3】圆台的上、下底面半径和高的长度之比为，侧面积为，则圆台的母线长是（ ）
A．20 B．2 C． D．10
【变式3-1】某圆锥的侧面积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】已知圆台的上、下底面的面积分别为、，侧面积是，则这个圆台的体积是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】《九章算术》是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积（单位：平方丈）为（ ）
A． B． C． D．
题型四 球的表面积和体积
【例4】（多选）已知某球的表面积为，则下列说法中正确的是（ ）
A．球的半径为2 B．球的体积为 C．球的体积为 D．球的半径为1
【变式4-1】把一个铁制的底面半径为，侧面积为的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】若球的表面积扩大为原来的n倍，则它的半径比原来增加的倍数为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】已知三个球的体积之比为，则它们的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
题型五 球的截面问题
【例5】用一个平面截半径为3的球，截面面积为，则球心到截面的距离为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【变式5-1】两平行平面截半径为13的球，若截面面积分别为和，则这两个平面间的距离是______
【变式5-2】设地球的半径为，、两地均在北纬45°线上，且，在东经20°，则的经度为______．
【变式5-3】已知球O的半径为5，平面、截球O所得的截面圆、的半径均为4，若，则平面与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
题型六 组合体的表面积和体积
【例6】如图是某厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成.其中，圆锥的底面和球的直径都是0.6m，圆锥的高是0.4m.要对这个台灯表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶200克，则共需胶（ ）克.
A． B． C． D．
【变式6-1】在一个底面圆直径和高都是2的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的下底面重合，圆锥的顶点是圆柱的上底面中心．这个几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径为的半球．已知该胶囊的体积为，则它的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】高一学生小李在课间玩耍时不慎将一个篮球投掷到一个圆台状垃圾篓中，恰好被上底口（半径较大的圆）卡住，球心到垃圾篓底部的距离为，垃圾篓上底面直径为24a，下底面直径为18a，母线长为13a，则该篮球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-4】在如图所示平面图形中，弧CD为四分之一圆弧，，，，，．求将此平面图形绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积及体积．
∴
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
【题型1 圆柱的表面积和体积】
1、将边长是1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一圈，所得几何体的表面积为______．
2、用一个宽2厘米、长3厘米的矩形卷一个圆柱，则此圆柱的侧面积为（ ）平方厘米.
A．5 B．6 C．8 D．12
3、如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是，那么圆柱的体积等于（ ）
A． B． C． D．
4、如图所示的斜截圆柱中，已知其底面直径为40cm，母线最短50cm，最长80cm，求斜截圆柱的体积．
5、如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，，，求该圆柱的侧面积与表面积．
【题型2 圆锥的表面积和体积】
1、若一个圆锥的轴截面是边长为3的正三角形，则这个圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2、一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（ ）
A． B． C． D．
3、甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A． B． C． D．
4、已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
5、如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则圆锥的母线长为_____
【题型3 圆台的表面积和体积】
1、已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，它的侧面展开图扇环的圆心角为90°，则圆台的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2、如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形.把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
2、已知某圆台上下底面的面积之比为1∶9，侧面积为，母线长为2，则该圆台的高为（ ）
A．2 B． C． D．1
4、已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则该圆台全面积为________.
5、圆台的上、下底面半径分别是10和20，体积是，则圆台的母线长为______.
【题型4 球的表面积和体积】
1、已知球 的表面积为 ， 则它的体积为（ ）
A． B． C． D．
2、已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为_________．
3、如果圆柱、圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，则圆柱、球、圆锥的体积的比是______.
4、若三个球的体积之比为，则这三个球的表面积之比为______．
5、已知三个球的半径、、满足，则它们的表面积、、满足的等量关系是______.
【题型5 球的截面问题】
1、过半径为4的球表面上一点作球的截面，若与该截面所成的角是，则到该截面的距离是（ ）
A．4 B． C．2 D．1
2、若某平面截球得到直径为6的圆面，球心到这个圆面的距离是4，则此球的体积为（ ）
A． B． C． D．
3、经纬度是经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系统，称为地理坐标系统，它是利用三维空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系．能够标示地球上任何一个位置，其中纬度是地球重力方向上的铅垂线与赤道平面所成的线面角．如我国著名冰城哈尔滨就处在北纬，若将地球看成近似球体，其半径约为，则北纬纬线的长为（ ）
A． B． C． D．
4、过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积是球的表面积的______________.
5、已知球的半径为5，若两平行平面分别截球所得的截面面积为，，求这两个平行平面间的距离．
1、如图①，普通蒙古包可近似看作是圆柱和圆锥的组合体；如图②，已知圆柱的底面直径米，母线长米，圆锥的高米，则该蒙古包的侧面积约为（ ）
A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米
2、如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为，圆柱的底面半径为，高为，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3、唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画､漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示.已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为，设酒杯上部分（圆柱）的体积为，下部分（半球）的体积为，则___________.
4、如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积为（ ）
A．(60+4)π B．(60+8)π C．(56+8)π D．(56+4)π
5、如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm．
（1）这种“浮球”的体积是多少？(结果精确到0.1)
（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶约多少克？（精确到克）
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l