人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积教学设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积教学设计，共24页。教案主要包含了【单元目标】，【单元知识结构框架】，【学情分析】，【教学设计思路/过程】，【教学问题诊断分析】，【教学成果自我检测】等内容，欢迎下载使用。

一、【单元目标】
1．知识与技能：
（1）通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式．
（2）能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．
（3）通过对圆柱、圆锥、圆台、球的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式．
（4）能运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．
2．数学学科素养
（1）数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的体积公式，圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式；
（2）数学运算：求多面体或多面体组合体的表面积和体积，求旋转体及组合体的表面积或体积；
（3）数学建模：数形结合，运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题，数形结合，运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.
二、【单元知识结构框架】
三、【学情分析】
1．认知基础
第一节是在学生已从棱柱、棱锥、棱台的结构特征和直观图两个方面认识了多面体的基础上，进一步从度量的角度认识棱柱、棱锥、棱台，主要包括表面积和体积.
第二节是在学生已从圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征和直观图两个方面认识了旋转体的基础上，进一步从度量的角度认识圆柱、圆锥、圆台、球，主要包括表面积和体积.
四、【教学设计思路/过程】
课时安排： 约2课时
第一课时：棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
第二课时：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
教学重点：掌握棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积计算公式和应用；
教学难点：棱台、圆台的体积公式的理解
教学方法/过程：
五、【教学问题诊断分析】
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
问题1：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积如何计算？
【答案】棱柱、棱锥、棱台的各个面都是平面，则棱柱、棱锥、棱台的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
【破解方法】通过学生对棱柱、棱锥、棱台的侧面展开的观察，引发学生思考，让学生了解棱柱、棱锥、棱台各个表面特征，自己总结出方法，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
问题2：求解棱柱、棱锥、棱台和组合体的侧面积、表面积有哪些是要注意的？
【答案】(1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和.
(2)对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行，要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题.
(3)组合体的表面积应注意重合部分的处理.
【破解方法】通过对立体图形的展开，观察出各个图形的特点，通过平面图形的面积公式，归纳出棱柱、棱锥、棱台和组合体的侧面积、表面积公式的特征，了解公式的来龙去脉，从而加深公式的印象.
问题3：柱体、锥体、棱台体的体积公式是什么？
【答案】1．棱柱：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.
2．棱锥：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝eq \f(1,3)Sh.
3．棱台：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝eq \f(1,3)(S′＋eq \r(S′S)＋S)h.
【破解方法】对于柱体、锥体、棱台体的体积公式可以类比平面图形的面积公式进行记忆，让学生感受从二维到三维的区别和相似，在推导过程中可以加以类比.
新知探究
考点一：柱、锥、台的表面积
例1．正六棱锥的底边长为4厘米，高为2厘米，求它的侧面积．
【分析】根据已知中正六棱锥的底边长为4厘米，高为2厘米，求出侧高，进而可得正六棱锥的侧面积．
【解答】解：正六棱锥的底边长为4厘米，
故底面中心到底面边长的距离，
故正六棱锥的侧高，
故正六棱锥的侧面积厘米．
例2．已知四棱锥的各棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形，求它的表面积．
【分析】根据题意，该四棱锥的底面是边长为5的正方形，四个侧面都是边长为5的正三角形，由此结合正方形和正三角形面积计算公式，即可算出该四棱锥的表面积．
【解答】解：作出正四棱锥，如图所示：
正四棱锥各棱长均为5，
正四棱锥的底面是边长为5的正方形，一个侧面为边长为5的等边三角形
由此可得侧面中，面积
因此，它的侧面积为，
底面积为
该正四棱锥的表面积为
变式训练：正三棱锥的三条侧棱两两垂直，它的底面积为，求它的侧面积．
【分析】设正三棱锥的侧棱长为，推出侧棱与底面面积的关系，求出侧棱长，然后求出侧面积．
【解答】解：设正三棱锥的侧棱长为，则由条件知底面边长，
底面面积，，
．
故它的侧面积为．
解题技巧（求多面体表面积注意事项）
1．多面体的表面积转化为各面面积之和．
2．解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决．
题型二：柱、锥、台的体积
例1．如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为
A．3B．4C．6D．9
【分析】利用已知条件，直接求出四棱锥的体积即可．
【解答】解：是长方体，且，，
四棱锥的体积为．
故选：．
例2．已知三棱台中，三棱锥的体积为4，三棱锥的体积为8，则四面体的体积为
A．B．C．D．
【分析】设，，棱台的高为，用三棱锥的体积求出、，再求出三棱台的体积，即可求出四面体的体积．
【解答】解：如图所示，
设，，棱台的高为，
由题意知，，
解得；
，解得；
所以三棱台的体积为：
，
所以四面体的体积为：
．
故选：．
变式训练1：如图，正方体的棱长为，那么三棱锥的体积是
A．B．C．D．
【分析】求出到平面的距离为，从而三棱锥的体积是．
【解答】解：正方体的棱长为，
到平面的距离为，
三棱锥的体积是：
．
故选：．
变式训练2：如图，在正三棱柱中，，．求它的侧面积、体积．
【分析】由已知该正三棱柱的侧面积，体积，由此能求出结果．
【解答】解：在正三棱柱中，，．
它的侧面积．
它的体积．
解题技巧(求棱柱、棱锥、棱台体积的注意事项)
1．常见的求几何体体积的方法
①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
2．求几何体体积时需注意的问题
柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．
六、【教学成果自我检测】
1．课前预习
设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.
1．已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为2，那么它的体积为
A．B．C．D．以上都不对
【分析】作出正四棱锥的图象，利用勾股定理求出正四棱锥的高，由锥体的体积公式求解即可．
【解答】解：如图所示，在正四棱锥中，，，
设正四棱锥的高为，连接，
则，
在中，，
则正四棱锥的体积为．
故选：．
2．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则三棱锥的体积为
A．B．C．D．不确定
【分析】计算的面积和点到平面的距离，再利用锥体的体积公式求解即可．
【解答】解：因为平面，
又，在直线上运动，
所以平面，
因为点到平面的距离不变，且，
所以，
因为点到平面的距离为，
所以．
故选：．
3．直平行六面体的底面是菱形，两个对角面面积分别为，，求直平行六面体的侧面积．
【分析】设底面边长为，侧棱长为，两对角线分别为，，由条件建立方程组，消去，，用，表示侧面积．
【解答】解：设底面边长为，侧棱长为，两对角线分别为，．
则，消去，，由（1）得，
由（2）得，代入（3）得：，
，
．
2．课堂检测
设计意图：例题变式练.
【变式1】如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，为的中点，则平面截四棱锥上下两部分的体积之比为
A．B．C．D．
【分析】设平面交棱于点，连接，，利用等体积法以及分割法，得到，结合锥体的体积公式分析求解即可．
【解答】解：设平面交棱于点，连接，，
则，
因为，且平面，平面，
故平面，
又平面，且平面平面平面，
所以，
因为为的中点，
所以点为的中点，
则，
，
所以，
所以平面截四棱锥上下两部分的体积之比为．
故选：．
【变式2】底面是边长为1的正方形，侧面均是等边三角形的四棱锥的体积为
A．B．C．D．
【分析】首先确定该四棱锥为正四棱锥，由正棱锥的几何性质求出棱锥的高，利用棱锥的体积公式求解即可．
【解答】解：底面是边长为1的正方形，侧面均是等边三角形的四棱锥是正四棱锥，
底面正方形对角线长为，
则正四棱锥的高，
所以正四棱锥的体积为．
故选：．
【变式3】正四棱台的高，侧棱，对角线长分别为，，，求它的侧面积．
【分析】利用正四棱台的两底面的半径（中心到底面顶点的距离）、高、侧棱长构成一个直角梯形，从而构造直角三角形，使用勾股定理，求出两底面的边长，代入侧面积公式进行运算．
【解答】解：如图，在△中过作于，
则，，，，，
上底边长，下底边长，
斜高，
．
3．课后作业
设计意图：巩固提升.
1.课本116页练习
2.课本习题8.3复习巩固及综合运用
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
问题1：圆柱、圆锥、圆台的侧面积、底面积、表面积公式各是什么？
【答案】
【破解方法】通过学生对圆柱、圆锥、圆台的侧面展开的观察，引发学生思考，让学生了解圆柱、圆锥、圆台各个表面特征，自己总结出方法，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
问题2：圆柱、圆锥、圆台的体积公式各是什么？
【答案】1．棱柱：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.
2．棱锥：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝eq \f(1,3)Sh.
3．棱台：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝eq \f(1,3)(S′＋eq \r(S′S)＋S)h.
【破解方法】对于圆柱、圆锥、圆台的体积公式可以类比柱体、锥体、棱台体的体积公式进行记忆，让学生感受二者，在推导过程中可以加以类比.
问题3：球的表面积与体积公式各式什么？
【答案】1．球的体积公式V＝43πR3 (其中R为球的半径)．
2．球的表面积公式S＝4πR2.
【破解方法】类比利用圆周长求圆面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积.把球O的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n 个“小锥体”.小椎体的底面积的和就是球的表面积，小椎体的体积和就是球的体积.
新知探究
题型一 圆柱、圆锥、圆台的表面积
例1．如果圆锥底面半径为，轴截面为等腰直角三角形，那么圆锥的侧面积为
A．B．C．D．
【分析】根据圆锥的底面半径及轴截面为等腰直角三角形，然后求出圆锥的母线，即可求解圆锥的侧面积．
【解答】解：圆锥的轴截面是等腰直角三角形，圆锥的底面半径为，
圆锥的轴截面是等腰直角三角形，
圆锥的母线长为，
底面周长为：．
圆锥的侧面积为：．
故选：．
例2．圆柱的底面积为，侧面展开图为正方形，那么这个圆柱的侧面积为
A．B．C．D．
【分析】根据圆柱侧面展开图中其中的一边长是底面圆的圆周，另一边是母线长，由题意求出关系式，再表示出圆柱的侧面面积．
【解答】解：设圆柱的底面半径是，母线长是，
圆柱的底面积为，侧面展开图为正方形，，且，
圆柱的侧面积为．
故选：．
【变式训练1】如图，将边长为的正方形，剪去阴影部分后，得到圆锥的侧面和底面的展开图，则圆锥的体积是
A．B．C．D．
【分析】设圆锥底面圆的半径是，母线为，根据直线与圆相切、圆与圆相切的性质，结合正方形的边长为得到．再由扇形的弧长正好等于底面圆的周长，算出，从而解出，进而可得此圆锥的体积．
【解答】解：根据题意，欲在正方形内剪去阴影部分后裁剪出圆锥的底面，
则圆锥的底面圆与正方形的边和以为中心角的扇形的弧都相切，
设此时圆的圆心为，与边相切于点，设圆锥底面圆的半径是，母线为，
可得，即，
扇形的弧长正好等于底面圆的周长，即，解之得，
两式联解可得，
由此可得，圆锥的高，
圆锥的体积．
故选：．
【变式训练2】已知一个圆锥的底面圆的半径为1，体积为，则该圆锥的侧面积为 ．
【分析】根据圆锥的体积计算出圆锥的高，以及圆锥的母线，进而求出圆锥的侧面积．
【解答】解：设圆锥的高为，底面半径为，
圆锥的底面半径为1，体积是，
，
即，
圆锥的母线长，
圆锥的侧面积，
故答案为：．
解题技巧（求旋转体表面积注意事项）
旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥．
题型二 圆柱、圆锥、圆台的体积
例1．已知直角梯形的上底和下底长分别为1和2，较短腰长为1，若以较长的底为旋转轴将该梯形旋转一周，则该旋转体的体积为
A．B．C．D．
【分析】旋转体由圆柱与圆锥组成，圆柱、圆锥的底面圆的半径、高均为1，由此可求该旋转体的体积．
【解答】解：由题意，旋转体由圆柱与圆锥组成，圆柱的底面圆的半径为1，高为1，体积为
圆锥的底面圆的半径为1，高为1，体积为
旋转体的体积为
故选：．
例2．如图，将边长为的正方形，剪去阴影部分后，得到圆锥的侧面和底面的展开图，则圆锥的体积是
A．B．C．D．
【分析】设圆锥底面圆的半径是，母线为，根据直线与圆相切、圆与圆相切的性质，结合正方形的边长为得到．再由扇形的弧长正好等于底面圆的周长，算出，从而解出，进而可得此圆锥的体积．
【解答】解：根据题意，欲在正方形内剪去阴影部分后裁剪出圆锥的底面，
则圆锥的底面圆与正方形的边和以为中心角的扇形的弧都相切，
设此时圆的圆心为，与边相切于点，设圆锥底面圆的半径是，母线为，
可得，即，
扇形的弧长正好等于底面圆的周长，即，解之得，
两式联解可得，
由此可得，圆锥的高，
圆锥的体积．
故选：．
【变式训练1】已知某圆台的上、下底面半径分别为2和8，且该圆台的母线长为10，则圆台的体积为
A．B．C．D．
【分析】根据圆台的上、下底面半径分别为2和8，圆台的母线长为10，求得圆台的高，代入台体的体积公式是计算．
【解答】解；圆台的上、下底面半径分别为2和8，圆台的母线长为10，圆台的高，
圆台的体积．
故选：．
【变式训练2】圆柱的侧面展开图是一个边长为2和4的矩形，则圆柱的体积为
A．B．C．或D．8
【分析】圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，可以有两种形式的圆柱的展开图，分别求出底面半径和高，分别求出体积．
【解答】解：圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，
当母线为4时，圆柱的底面半径是，此时圆柱体积是；
当母线为2时，圆柱的底面半径是，此时圆柱的体积是，
综上所求圆柱的体积是：或．
故选：．
解题技巧(求几何体积的常用方法)
(1)公式法：直接代入公式求解．
(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的几何体即可．
(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．
(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
题型三 球的表面积与体积
例1．已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，则球的表面积为
A．B．C．D．
【分析】首先利用球中的截面和半径和之间建立勾股定理的联系，进一步求出的值，最后求出球的表面积．
【解答】解：设球的半径为，平面与球心的距离为，截面圆的半径为，
如图所示：
，
平面与球心的距离为，即，
截球所得截面的面积为，
则，
，
故由得，
，球的表面积，
故选：．
例2．三棱柱中，平面，，，，则三棱柱的外接球的表面积为
A．B．C．D．
【分析】由三棱柱的结构特征，把三棱柱放入长方体中，则长方体的外接球就是三棱柱的外接球，利用长方体的体对角线求出长方体的外接球的半径，从而得到三棱柱的外接球半径，再利用球的表面积公式求出棱柱的外接球的表面积即可．
【解答】解：把三棱柱放入长方体中，
如图所示：
所以长方体的外接球即是三棱柱的外接球，
，，
长方体的外接球的半径，
三棱柱的外接球半径为，
三棱柱的外接球的表面积为，
故选：．
【变式训练1】已知三棱锥的三条侧棱，，两两垂直，且，，，则三棱锥的外接球的表面积为
A．B．C．D．
【分析】设三棱锥的外接球的半径为，由题意可得：，进而得出三棱锥的外接球的表面积．
【解答】解：设三棱锥的外接球的半径为，
由题意可得：，
．
三棱锥的外接球的表面积为．
故选：．
【变式训练2】已知正三棱锥的四个顶点，，，都在球的球面上，是正三角形，正三棱锥的高为3，且，则球的体积为
A．B．C．D．
【分析】由题意画出图形，把三棱锥的侧棱长用球的半径表示，可得底面外接圆的半径，再由勾股定理列式求得外接球的半径，代入球的体积公式得答案．
【解答】解：如图，
设底面三角形的中心为，连接，则球的球心在上，
由题意可得，，设球的半径为，即，
由题意可知，，可得，
在中，求得，
在中，有，解得．
球的体积为．
故选：．
解题技巧（与球有关问题的注意事项）
1．正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．
2．球与正方体的各条棱相切
球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝2a2 ，如图(2)．
3．长方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝ a2+b2+c22 ，如图(3)．

4．正方体的外接球
正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝eq \r(3)a.
5．正四面体的外接球
正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝eq \f(\r(6),2)a.
6、有关球的截面问题
常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决.
六、【教学成果自我检测】
1．课前预习
设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.
1．一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为，则棱柱与棱锥的体积之比为
A．B．2C．D．3
【分析】利用棱柱和棱锥的体积公式求解即可．
【解答】解：设棱柱的高为，底面积为，
则棱锥的高为，底面积为，
所以棱柱与棱锥的体积之比为．
故选：．
2．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为
A．B．C．D．
【分析】设圆锥的底面半径为，母线为，高为，由半圆的弧长列出关系，求出，，由勾股定理求出，再利用圆锥的体积公式求解即可．
【解答】解：设圆锥的底面半径为，母线为，高为，
因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，
所以，解得，，
故，
所以该圆锥的体积为．
故选：．
3．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形，则这个圆柱的表面积是
A．B．C．D．
【分析】利用圆柱与侧面展开图的关系，先求出圆柱的底面半径以及母线长，然后由圆柱的表面积公式求解即可．
【解答】解：设圆柱的底面半径为，母线长为，
因为圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形，
所以，
解得，，
所以圆柱的表面积是．
故选：．
4．如图，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．若球的体积为，则圆柱的表面积为
A．B．C．D．
【分析】利用球的体积公式求出球的半径，从而得到圆柱的底面半径和高．
【解答】解：设球的半径为，则，解得；
所以圆柱的底面半径为1，高为2，表面积为．
故选：．
2．课堂检测
设计意图：例题变式练.
【变式1】已知圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则这个圆锥的底面半径为
A．B．1C．2D．4
【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，根据题意列方程组求解即可．
【解答】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，
根据侧面展开图是面积为的半圆，
所以，
解得，，
所以圆锥的底面半径为1．
故选：．
【变式2】甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和，若，则 ．
【分析】由题意知甲，乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成个圆，设圆的半径（即圆锥母线）为3，结合，即可求出，，再利用勾股定理可得，由此即可求出答案．
【解答】解：由题意知甲，乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成个圆，
设圆的半径（即圆锥母线）为3，
甲，乙两个圆锥的底面半径分别为，，高分别为，，
由，则，
解得，，
由勾股定理得，
所以，
故答案为：．
【变式3】一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的表面积与球的表面积之比为 ．
【分析】设球的半径为，分别求出球和圆柱的表面积即可求解．
【解答】解：设球的半径为，则该圆柱的底面半径为，高为，
所以圆柱的表面积为：，球的表面积为：，
则圆柱的表面积与球的表面积之比为，
故答案为：．
3．课后作业
设计意图：巩固提升.
1.课本119页练习
2.课本习题8.3复习巩固及综合运用
圆柱(底面半径为r，母线长为l)
圆锥(底面半径为r，母线长为l)
圆台(上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l)
侧面展
开图
底面积
S底＝2πr2
S底＝πr2
S底＝π(r′2＋r2)
侧面积
S侧＝2πrl
S侧＝πrl
S侧＝π(r′＋r)l
表面积
S表＝2πr(r+l)
S表＝πr(r+l)
S表＝π(r′2＋r2)+ π(r′＋r)l