高中数学空间点、直线、平面之间的位置关系课时作业

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难点：会利用基本事实与推论证明共线、共点、共面问题；会判断点、直线、平面的位置关系
一、平面的概念及表示方法
1、平面的概念：几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是无限延展的
2、平面的特点：（1）平面是平的；（2）平面是没有厚度的；（3）平面是无限延展而没有边界的；（4）平面是由空间点、线组成的无限集合；（5）平面图形是空间图形的重要组成部分。
3、平面的画法：
（1）当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍；
（2）当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线。
4、平面的表示方法：
（1）一个希腊字母：如，，等；
（2）两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两个顶点；
（3）四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点。
5、点与直线（平面）、直线与平面的位置关系
（1）点与直线（平面）的位置关系只能用“∈”或“∉”，
（2）直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．
二、平面的基本事实
1、基本事实1
（1）内容：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
（2）图形：
（3）符号表示：A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α
（4）作用：确定一个平面或判断“直线共面”的方法
2、基本事实：
（1）内容：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
（2）图形：
（3）符号表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α
（4）作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内
3、基本事实：
（1）内容：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
（2）图形：
（3）符号表示：P∈α，P∈β⇒α∩β＝l且P∈l
（4）作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明点共线或线共点
4、三个推论：
推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
三、空间点、直线、平面位置关系
1．直线与直线的位置关系
（1）共面与异面直线
定义：不同在任何一个平面内的两条直线．
异面直线的画法：
① ②
（2）空间两条直线的位置关系
2、直线与平面的位置关系
3、两个平面的位置关系
题型一 空间符号的正确使用
【例1】如图所示，用符号语言可表述为（ ）
A．，，
B．
C．
D．
【变式1-1】若点在直线上，在平面上，则点，直线，平面之间的关系可以记作（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】下面表述与结论都正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【变式1-3】图为平行四边形ABCD所在的平面，有下列表示方法：①平面ABCD；②平面BD；③平面AD；④平面ABC；⑤AC；⑥平面.其中不正确的个数有______个.
【变式1-4】用符号语言改写下列语句：
（1）点A在平面内，点B不在直线l上；
（2）直线l在平面内，直线m与平面有且只有一个公共点M；
（3）直线a和b相交于一点M．
题型二 基本事实与推论的理解
【例2】下列条件不能确定一个平面的是（ ）
A．不共线三点 B．直线和直线上一点
C．两条平行直线 D．两条相交直线
【变式2-1】已知直线l和平面，若，，则过点P且平行于l的直线（ ）．
A．只有一条，不在平面内 B．只有一条，且在平面内
C．有无数条，一定在平面内 D．有无数条，不一定在平面内
【变式2-2】（多选）下列结论中正确的是（ ）
A．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点
B．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线
C．若点既在平面内，又在平面内，则与相交于，且点在上
D．任意两条直线不能确定一个平面
【变式2-3】已知、为平面，、、、为点，为直线，下列推理中错误的是（ ）
A．，，，，则
B．，，，，则直线，直线
C．，，则
D．、、，、、，且、、不共线，则、重合
题型三 点共面与线共面的问题
【例3】在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（多选）以下四个命题中，不正确的命题是（ ）
A．不共面的四点中，其中任意三点不共线
B．若点共面，点共面，则共面
C．若直线共面，直线共面，则直线共面
D．依次首尾相接的四条线段必共面
【变式3-2】如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ）
A．，，三点共线 B．，，，四点共面
C．，，，四点共面 D．，，，四点共面
【变式3-3】已知、、、、是空间五个点，且线段、和两两相交，求证：、、、、这五个点在同一平面上．
【变式3-4】如图所示，，，．求证：直线，，在同一平面内．
题型四 线共点与点共线问题
【例4】在三棱锥的边上分别取E、F、G、H四点，如果，则点P（ ）
A．一定在直线上 B．一定在直线上
C．在直线或上 D．不在直线上，也不在直线上
【变式4-1】如图所示，在平面外，它的三边所在直线分别交平面于P、Q、R三点．求证：P、Q、R三点在同一直线上．
【变式4-2】如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C与截面DBC1交于O点，AC，BD交于M点，求证：C1，O，M三点共线．
【变式4-3】如图，已知平面，且，设在梯形中，，且.求证：共点．
题型五 直线与直线的位置关系
【例5】异面直线是指（ ）
A．不同在任何一个平面内的两条直线
B．平面内的一条直线与平面外的一条直线
C．分别位于两个不同平面内的两条直线
D．空间中两条不相交的直线
【变式5-1】若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（ ）
A．平行 B．异面 C．相交 D．平行、相交或异面
【变式5-2】以下四个图中，表示直线与平行的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】已知、是异面直线，是、外一点，经过点且与、都相交的直线有（ ）
A．至少1条 B．最多1条
C．有且只有1条 D．可能为0条也有可能多于1条
题型六 直线与平面的位置关系
【例6】如果直线平面，直线平面，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】若一直线上有一点在已知平面外，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线与平面平行 B．直线与平面相交
C．直线上至少有一个点在平面内 D．直线上有无数多个点都在平面外
【变式6-2】如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？
（1）AM所在的直线与平面ABCD；
（2）CN所在的直线与平面ABCD；
（3）AM所在的直线与平面CDD1C1；
（4）CN所在的直线与平面A1B1C1D1.
题型七 平面与平面的位置关系
【例7】平面上有三个不共线点到平面距离相等，则平面与平面的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．垂直 D．相交或平行
【变式7-1】空间三个平面如果每两个都相交，那么它们的交线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．1条或3条
【变式7-2】平面与平面相交于直线l，点A、B在平面上，点C在平面上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点D．设A、B、C三点确定的平面为，则与的交线是（ ）
A．直线AC B．直线AB C．直线CD D．直线BC
【变式7-3】已知点是平面外的两点,则过点与平行的平面有______个.
【答案】0或1
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
【题型1 空间符号的正确使用】
1、点A在直线l上，直线l在平面内，用符号表示，正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
2、如图所示，用符号语言可表述为（ ）
A．，，
B．
C．
D．
3、用符号表示下列语句，并画出相应的图形：
（1）点A在平面内，点B在平面外；
（2）直线a经过平面外的一点M．
4、若点在直线上，在平面内，则，，之间的关系可记作（ ）
A． B． C． D．
5、下列关于点、线和面的关系表示错误的是（ ）
A．点平面 B．直线平面
C．直线平面 D．平面平面
【题型2 基本事实与推论理解】
1、下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面
C．两条直线确定一个平面 D．梯形可确定一个平面
2、（多选）有下列命题：
①经过三点确定一个平面；
②梯形可以确定一个平面；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
其中正确命题是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
3、下列推断中，错误的是（ ）
A．若，，，则
B．，，，
C．，
D．，，且不共线重合
4、已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，表示不同的平面，则下列推理中错误的是（ ）
A． B．
C． D．，
5、下列说法中错误的是（ ）
A．经过两条平行直线，有且只有一个平面
B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
C．平面与平面相交，它们只有有限个公共点
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
【题型3 点共面与线共面问题】
1、已知四个选项中的图形棱长都相等，且P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（ ）
A． B． C． D．
2、如图.正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F.G分别是BC，CC1，B1C1的中点，O1，O2分别是四边形ADD1A1， A1B1C1D1的中心，则（ ）
A．A，C，O1，D1四点共面 B．D，E，C，F四点共面
C．A，E，F，D1四点共面 D．E，G，O1，O2四点共面
3、如图，，与、分别交于、两点，与、分别交于、两点，．求证：、、、、五点共面．
4、如图，已知A，B，C，D是空间四点，且点A，B，C在同一直线l上，点D不在直线l上．求证：直线AD，BD，CD在同一平面内．
5、如图，已知直线，，，．求证：a，b，c，l共面．
【题型4 线共点与点共线问题】
1、在空间四边形的各边上的依次取点，若所在直线相交于点，则
A．点必在直线上 B．点必在直线上
C．点必在平面外 D．点必在平面内
2、如图，在正方体中，点分别是棱上的点，若与交于点Q，求证：三点共线.
3、如图，在四面体中作截面，若的延长线交于点的延长线交于点，的延长线交于点．则三点的位置关系是_______．
4、如图，在三棱锥中，分别是的中点，点在上，点在上，且有.试判定直线的位置关系.
5、如图，在三棱柱中，，．求证：直线，BP，CQ相交于一点．
【题型5 直线与直线的位置关系】
1、若直线和没有公共点，则与的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．异面 D．平行或异面
2、正方体中，与对角线成异面直线的棱有（ ）
A．3条 B．4条 C．6条 D．8条
3、已知a与b相交，且b与c是异面直线，那么a与c的位置关系是（ ）
A．异面 B．相交 C．平行 D．都有可能
4、为异面直线，且.若，则直线l必定（ ）
A．与a，b都相交 B．与a，b都不相交
C．至少与a，b之一相交 D．至多与a，b之一相交
5、如图，已知直线、是异面直线，直线、分别与、都相交，则关于直线、的位置关系说法正确的是（ ）

A．可能是平行直线 B．一定是异面直线
C．可能是相交直线 D．平行、相交、异面都有可能
【题型6 直线与平面的位置关系】
1、下列说法中，正确的个数是（ ）
①如果两条平行直线中的一条与一个平面相交，那么另一条直线也与这个平面相交;
②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行;
③已知两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行;
④分别与两条异面直线平行的两条直线是异面直线.
A．0 B．1 C．2 D．3
2、若直线与平面有两个公共点，则与的位置关系是（ ）
A． B． C．与相交 D．
3、如图所示，在长方体中，直线与长方体的六个面之间的位置关系如何？
4、如图，在长方体中，若P为棱的中点，直线与平面ABCD是否相交？为什么？直线呢？
【题型7 平面与平面的位置关系】
1、可使平面和重合的条件是它们的公共部分中有（ ）
A．三个点 B．1个点和一条直线 C．无数个点 D．两条平行直线．
2、命题“如果两个平面有无数多个公共点，那么这两个平面重合”是______．（填“真命题”或“假命题”）
3、如图，已知平面α∩平面β＝l，P∈β且P∉l，M∈α，N∈α，又MN∩l＝R，M，N，P三点确定的平面记为γ，则β∩γ是（ ）
A．直线MP B．直线NP C．直线PR D．直线MR
4、若面，面，面，则平面与平面的位置关系_________.
5、在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别为A1B1，B1C1的中点.求证:平面ACC1A1与平面BEF相交.
位置关系
特点
相交
同一平面内，有且只有一个公共点
平行
同一平面内，没有公共点
异面直线
不同在任何一个平面内，没有公共点
位置关系
直线a在平面α内
直线a在平面α外
直线a与平面α相交
直线a与平面α平行
公共点
无数个公共点
一个公共点
没有公共点
符号表示
a⊂α
a∩α＝A
a∥α
图形表示
位置关系
两平面平行
两平面相交
公共点
没有公共点
有无数个公共点(在一条直线上)
符号表示
α∥β
α∩β＝l
图形表示