高中数学8.3 简单几何体的表面积与体积优秀课时练习
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一.多面体的表面积与体积
(一)棱柱、棱锥、棱台的表面积
1.定义:多面体的表面积是各个面的面积之和.
2.求棱柱、棱锥、棱台的表面积
(1)多面体表面积:棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和.
(2)基本步骤
①清楚各侧面的形状,求出每个侧面的面积.
②求出其底面的面积.
③求和得到表面积.
注意:组合体的表面积应注意重合部分的处理
(二)棱柱、棱锥和棱台的体积公式
旋转体的表面积与体积
知识简用
题型一 多面体的表面积
【例1-1】底面为正方形的直棱柱,它的底面对角线长为,体对角线长为,则这个棱柱的侧面积是______.
【答案】8
【解析】如图所示:
,,又,,解得:,
所以棱柱的侧面积.故答案为:8
【例1-2】已知正四棱锥的底面边长和侧棱长都为2,则该四棱锥的表面积为( )
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】依题意,正四棱锥的底面正方形面积为4,四个侧面是全等的正三角形,每个正三角形面积为,所以四棱锥的表面积为.故选:C
【例1-3】已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16,侧棱长为10,则该棱台的侧面积为( )
A.80B.240C.350D.640
【答案】B
【解析】由题意可知,该棱台的侧面为上、下底分别为4和16,腰长为10的等腰梯形,
∴等腰梯形的高为,∴等腰梯形的面积为,
∴该棱台的侧面积为.故选:B.
题型二 多面体的体积
【例2-1】所有棱长都为2的直三棱柱的体积为( )
A.B.C.6D.
【答案】B
【解析】由题意,直三棱柱的所有棱长都为,可得高为,则底面正三角形的面积为,
所以该直三棱柱的体积为.
故选:B.
2.已知正三棱柱的底面边长为2,侧棱长为,则三棱锥的体积为( )
A.B.C.1D.
【答案】C
【解析】正三棱柱的底面边长为2,侧棱长为,棱柱的底面面积为:.
棱柱的体积为:.由三棱锥的体积的推导过程可知:三棱锥的体积为:.故选:C.
【例2-3】在正四棱台中, ,则该四棱台的体积为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】作出轴截面如图所示,过点作,垂足为,因为正四棱台中,,所以,,,即梯形为等腰梯形,
所以,,所以,该四棱台的体积为 故选:B
【例2-4】如图,在棱长为的正方体中,求三棱锥的体积.
【答案】.
【解析】在棱长为的正方体中,是三棱锥底面上的高,
所以三棱锥的体积
题型三 旋转体的表面积
【例3-1】如图,四边形是圆柱的轴截面,是圆柱的一条母线,已知,,,求该圆柱的侧面积 表面积
【答案】侧面积为,表面积为
【解析】易知:,因为,,所以,即,因为,
所以圆柱的侧面积,圆柱的表面积.
【例3-2】已知一个圆锥的底面半径为,其体积为,则该圆锥的侧面积为( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】设圆锥的底面半径为,高为,母线长为,则,,即,解得,
所以,所以该圆锥的侧面积为.故选:D
【例3-3】一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半,且侧面积是,则母线长为( )
A.B.2C.3D.
【答案】C
【解析】设圆台的母线长为,上、下底面半径分别为,,则,
因为圆台的侧面积是,所以,解得,所以.故选:C.
题型四 旋转体的体积
【例4-1】若一个圆锥的底面半径为1,母线长为,则圆锥的体积是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】因为圆锥的底面半径为1,母线长为,所以圆锥的高为,
所以圆锥的体积为,故选:C
【例4-2】圆台的上、下底面的面积分别是,,侧面积是,则这个圆台的体积是( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】设圆台的上、下底面的半径分别为r,R,母线长为l,高为h.,
由圆台的上、下底面的面积分别是,,得所以,,
由圆台侧面积公式可得,所以,所以,
所以该圆台的体积.故选:D.
【例4-3】已知球 的表面积为 , 则它的体积为( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】球的表面积为 ,设球O的半径为R,则有,解得,
所以球的体积为.故选:A
题型五 组合体的体积与表面积
【例5-1】如图①,普通蒙古包可近似看作是圆柱和圆锥的组合体;如图②,已知圆柱的底面直径米,母线长米,圆锥的高米,则该蒙古包的侧面积约为( )
A.平方米B.平方米C.平方米D.平方米
【答案】D
【解析】依题意得,圆柱的侧面积,
,,在中,,
圆锥的侧面积,
该蒙古包的侧面积,故选:D.
【例5-2】攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式,多见于亭阁式建筑、园林建筑.如图所示的带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥,其底面积为9π,侧面展开图是圆心角为的扇形,则该屋顶的体积约为( )
A.B.16πC.18πD.
【答案】D
【解析】底面积为9π,即,所以底面圆的半径,所以底面圆周长为,即圆锥侧面展开图的弧长,又因为侧面展开图是圆心角为的扇形,所以扇形半径,
如图所示:则圆锥的高,则圆锥的体积.
故选:D.
8.3 简单几何体的表面积与体积(精讲)
思维导图
典例精讲
考点一 多面体的体积与表面积
【例1-1】已知一个直四棱柱的高为2,其底面ABCD水平放置的直观图(斜二测画法)是边长为2的正方形,则这个直四棱柱的体积为( )
A.8B.C.D.
【答案】C
【解析】由于直观图是正方形,所以ABCD是水平边长为2,且水平边上的高为的平行四边形,则ABCD面积是,所以直四棱柱的体积是.故选:C.
【例1-2】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,三棱锥D1AB1C的表面积与正方体的表面积的比为( )
A.1∶1B.1∶
C.1∶D.1∶2
【答案】C
【解析】设正方体的边长为,则表面积,因为三棱锥的各面均是正三角形,其边长为正方体侧面对角线.则面对角线长为,三棱锥D1AB1C的表面积,
所以.故选:C
【例1-3】正三棱台上下底面的边长为1,2,斜高为1,则其体积为______.
【答案】
【解析】如图,设上下底面中心分别为,分别为的中点,则即为斜高,
过点作于点,则,
,所以,所以,
上底面面积,下底面面积,
所以棱台的体积.故答案为:.
【例1-4】一个正四棱锥的底面边长为,高为,则该正四棱锥的表面积为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】如下图所示,在正四棱锥中,底面的边长为,
设点在底面的射影点为点,则四棱锥的高,则为的中点,且,,
取的中点,连接,则,且,,故正四棱锥的表面积为.
故选:B.
【例1-5】已知某个正四棱台的上、下底面边长和高的比为,若侧棱长为,则该棱台的侧面积为( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】设上底面边长为,则下底面边长为,高为,上底面正方形对角线长为,下底面正方形对角线长为,又侧棱长为,所以,解得,
所以侧面等腰梯形的高为,所以该棱台的侧面积为.
故选:A.
【例1-6】如图,在长方体中,是的中点,则三棱锥的体积为______.
【答案】10
【解析】由题意可得,因为是的中点,所以,,,
,所以,
故答案为:10.
【一隅三反】
1.已知正三棱锥P-ABC的底面边长为6cm,顶点P到底面ABC的距离是cm,则这个正三棱锥的侧面积为( )
A.27B.C.9D.
【答案】A
【解析】由题意可知底面三角形的中心到底面三角形的边的距离为:,
所以正三棱锥的斜高为:,所以这个正三棱锥的侧面积为:.故选:.
2.已知三棱锥的三条侧棱长均为2,侧面有两个是等腰直角三角形,底面等腰三角形底上的高为,则这个三棱锥的表面积为( )
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】结合题目边长关系,三棱锥如图所示,,由题意是等腰直角三角形,则,,则表面积为.故选:C.
3.如果正四棱柱的对角线长为3.5,侧面的一条对角线长为2.5,则该棱柱的体积为____.
【答案】
【解析】设正四棱柱的底面边长为,高为,则且,
所以,,所以,所以该棱柱的体积为.故答案为:.
4.若正三棱台的上、下底面的面积分别是和,体积为,则其侧棱长为___________.
【答案】
【解析】因为棱台体积公式V (SS′)h,所以,所以高,
又因为正三棱台上、下底面的面积分别是和,所以上下底面边长分别是2和4,如图所示,O′、O分别是上、下底面的中心,连接OO′、O′B′、OB,在平面BOO′B′内作B′E⊥OB于E,
∵是边长为2的等边三角形,O′是中心,
∴O′B′,OB,∴
在中,,BE,∴B′B,
∴该三棱台的侧棱长为.
故答案为:
5.在正四棱锥中,,,则该四棱锥的体积是______.
【答案】
【解析】过点作平面,则为正方形的中心,连接,易知.
因为,所以,又,所以,
则四棱锥的体积.故答案为:.
考点二 旋转体的体积与表面积
【例2-1】在一个底面圆直径和高都是2的圆柱内挖去一个圆锥,圆锥的底面与圆柱的上底面重合,圆锥的顶点是圆柱的下底面中心,这个几何体的表面积为____.
【答案】
【解析】挖去圆锥的母线长为,则圆锥的侧面积为,圆柱的侧面积为,圆柱的一个底面积为,故几何体的表面积为.
故答案为:.
【例2-2】已知某圆台上下底面的面积之比为1∶9,侧面积为,母线长为2,则该圆台的高为( )
A.2B.C.D.1
【答案】B
【解析】设圆台的上底面半径为,母线长为,高为,因为圆台的上底面面积是下底面面积的倍,所以下底面的半径为,又母线长,圆台的侧面积为,则,解得,
则圆台的高.故选:B.
【例2-3】(多选)已知圆锥的底面半径为2,其侧面展开图为一个半圆,则下列说法正确的是( )
A.圆锥的高是B.圆锥的母线长是4
C.圆锥的表面积是D.圆锥的体积是
【答案】BD
【解析】设圆锥母线为,高为,侧面展开图的弧长与底面圆周长相等,由弧长公式得,即;所以圆锥的母线长是4,即B正确;高为,所以选项A错误;
圆锥的表面积是,故C错误;圆锥的体积是,即D正确.故选:BD
【一隅三反】
1.已知某圆锥的侧面积为底面积的倍,体积为 ,则该圆锥的母线长为( )
A. B. C.D.
【答案】C
【解析】设该圆锥的底面半径为,母线长为 ,圆锥的侧面积为:,
圆锥的底面积为:,圆锥的体积为: ,
由题意得,解得: ,.所以母线长为:.故选:C.
2.某圆锥的侧面积为1,用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台,若圆台上底面和下底面半径之比为,则该圆台的侧面积为( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】设圆台的上底面半径为,下底面半径为,设圆台的母线为,则圆锥的底面半径为,圆锥的母线为,圆锥的侧面积记为,
截去的小圆锥的侧面积即为,故圆台的侧面积为,故选:C
3.已知圆台的轴截面面积为10,母线与底面所成的角为,则圆台的侧面积为___.
【答案】
【解析】如图所示,依题意,
设下底面圆半径为,上底面圆半径为,圆台的高为,过点作交于点,
在中,,,,,
则圆台轴截面的面积,
则圆台的侧面积.故答案为:.
考点三 组合体的体积与表面积
【例3-1】(多选)折扇是我国古老文化的延续,在我国已有四千年左右的历史,“扇”与“善”谐音,折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化,也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1).图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分),若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9,且,则该圆台的( )
A.高为B.体积为
C.表面积为D.上底面积、下底面积和侧面积之比为
【答案】AC
【解析】设圆台的上底面半径为,下底面半径为,则,解得.圆台的母线长,圆台的高为,则选项正确;
圆台的体积,则选项错误;
圆台的上底面积为,下底面积为,侧面积为,则圆台的表面积为,则正确;由前面可知上底面积、下底面积和侧面积之比为,则选项D错误.故选:AC.
【例3-2】毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子,内部木架结构,外部毛毡围拢,建造和搬迁都很方便,适合牧业和游牧生活.如图所示,某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合,圆锥的高为3米,圆柱的高为2.5米,底面直径为8米,则建造该毡帐需要毛毡( )平方米.
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】圆柱的侧面积为平方米;圆锥的母线长为,侧面积为平方米.所以建造该毡帐需要毛毡平方米.故选:B
【一隅三反】
1.在世界文化史上,陀螺的起源甚早,除了南极洲外,在其他大陆都有发现.这样写道:“没有人准确知道人们最初玩陀螺的时间.但古希腊儿童玩过陀螺,而在中国和日本,陀螺成为公众娱乐已有几百年的时间.”已知一陀螺圆柱体部分的高,圆锥体部分的高,底面圆的直径,这个陀螺的表面积( )
A. B.C.D.
【答案】C
【解析】由题意可得圆锥体的母线长为,所以圆锥体的侧面积为,
圆柱体的侧面积为,圆柱的底面面积为,所以此陀螺的表面积为,故选:C.
2.亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式,它是逗留赏景的场所,也是园林风景的重要点缀.重檐圆亭(图1)是常见的一类亭,其顶层部分可以看作是一个圆锥以及一个圆台(图2)的组合体.已知某重檐凉亭的圆台部分的轴截面如图3所示,则该圆台部分的侧面积为( )
A.m2B.3.6m2C.7.2m2D.11.34m2
【答案】A
【解析】由圆台的轴截面图,母线,所以该圆台侧面积.故选:A.
3.早在一万多年前的新石器时代,生活在金丽衢地区古人就开始制作各种石器,今天在浦江上山遗址、水康湖西遗址、义乌桥头遗址等还可以见到各种当时的石器,现在农村还在使用的石磨就是从古代的石器演变而来的.如果一个石磨近似看作两个圆柱体拼合而成,每个圆柱体的底面直径是80cm,每个圆柱体的高为30cm,那么这两个圆柱体的表面积之和为( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】由题意可得一个石磨底面积为:底=,侧=
所以一个石磨的表面积为:,所以两个石磨的表面积为:.
故选:D
考点四 外接球与内切球
【例4-1】已知某圆柱的内切球半径为,则该圆柱的侧面积为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】】由题意得,该圆柱底面圆的半径为,圆柱的高为7,所以该圆柱的侧面积为.
故选:B.
【例4-2】在直三棱柱中,,,,则此三棱柱外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】因为,,所以为等腰直角三角形,将直三棱柱补全为如图长方体,则长方体的外接球即直三棱柱的外接球,因为,,所以外接球直径,所以外接球半径,表面积.故选:C.
【例4-3】已知正三棱锥的四个顶点都在球O的球面上,其侧棱长为,底面边长为4,则球O的表面积是( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】如图所示:
设为正三角形的中心,连接,则平面,球心在上,
设球的半径为,连接,∵正三角形的边长为4,∴,
又∵,∴在中,,
在中,,,,
∴,解得,∴球的表面积为.故选:D.
【一隅三反】
1.已知正方体的所有顶点都在同一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球体的体积为( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】设正方体的棱长为,其外接球的半径为,因为正方体的表面积为18,所以,所以,,所以,得,所以正方体外接球的体积为,故选:A.
2.在直三棱柱中,,,则该直三棱柱的外接球的体积是______.
【答案】
【解析】由于,所以,且直角三角形的外心在的中点处,
设外接球的半径为,则,所以外接球的体积为.故答案为:
3.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,平面,,,,,求球的表面积___________.
【答案】
【解析】根据余弦定理得,故,
根据正弦定理得,故,其中为三角形外接圆半径,
设为三棱锥外接球的半径,则,故,则球的表面积.
故答案为:.
4.四面体的每个顶点都在球的球面上,两两垂直,且,,,则球的表面积为________.
【答案】.
【解析】根据题意将四面体补成如图所示的长方体,则长方体的体对角线的长等于四面体外接球的直径的长,设外接球的半径为,因为,,,
所以,所以,所以球的表面积为,
故答案为:
5.已知棱长为2的正四面体的顶点都在一个球面上,则该球的体积为___________.
【答案】
【解析】如图,是正四面体的高,为其外接球的球心,设外接球的半径为,
因为正四面体的棱长为2,所以所以,
所以,所以由,得,解得,
所以外接球的体积为,故答案为:
6.已知的顶点都在半径为的球的球面上,球心到平面的距离为,则球的表面积为___________.
【答案】
【解析】在底面中,由余弦定理得:
又,则,由正弦定理得:,
所在外接圆的半径,如图,即
球心到平面的距离为,且,可得,
则球的表面积是.故答案为:.
8.3 简单几何体的表面积与体积(精练)
1.已知正四棱柱的侧棱长为,它的体对角线长为,则这个正四棱柱的侧面积为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】设底面边长为,由题意得,解得,所以侧面积为.
故选:B
2.已知正四棱锥的侧棱长为2,高为.则该正四棱锥的表面积为( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】由题意可知,则,,所以该正四棱锥的表面积为,故选:C
3.如图,在四棱柱中,底面是正方形,底面,,那么该四棱柱的体积为( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】在四棱柱中,底面是正方形,底面,,,
该四棱柱的体积为.故选:C.
4.以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周,所得到的几何体的表面积为( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】由题意,所得几何体为高和底面半径均为2的圆柱体,所以几何体表面积为.故选:D
5.将边长为2的正三角形绕着它的一条高线旋转一周得到一个圆锥,则该圆锥的侧面积为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】边长为2的正三角形绕着它的一条高线旋转一周得到一个圆锥,所以该圆锥的底面半径为,圆锥的母线长为2,因此该圆锥的侧面积为,故选:B
6.若圆锥的侧面展开图为一个半圆面,则它的底面面积与侧面面积之比是( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】设圆锥的底面圆的半径为,扇形的半径为,由题意可得,,
所以,该圆锥的侧面积为,底面积为,
所以,该圆锥的底面面积与侧面面积之比是.故选:D.
7.以斜边长为2的等腰直角三角形一直角边为轴,旋转一周形成的几何体的表面积为( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】由题意可得所形成的几何体为圆锥,圆锥的高和底面半径均为,母线长为2,
所以圆锥的表面积为.故选:.
8.已知圆锥的底面半径为,侧面展开图是圆心角为的扇形,则该圆锥的侧面积为( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】设圆锥的底面半径为,侧面展开扇形的半径为,因为底面周长,所以扇形的弧长,所以,所以圆锥的侧面积为,故选:D
9.《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早 多年.在《九章算术》中,将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图 是阳马,,,,.则该阳马的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因,平面ABCD,平面ABCD,则,又因四边形ABCD为矩形,则.则阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同.
又,,.则外接球的直径为长方体体对角线,故外接球半径为:,则外接球的表面积为:
故选:B
10.已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上,是球O的直径.若平面平面,,,球O的体积为,则三棱锥的体积为( )
A.9B.18C.27D.36
【答案】A
【解析】如图,三棱锥的所有顶点都在球O的球面上,是球O的直径
O为中点,∴,,
∵平面平面,平面平面,平面,∴平面,
设,由球O的体积为,可得,
则,∴三棱锥的体积为9,故选∶A.
11.如图,所有棱长都等于的三棱柱的所有顶点都在球上,球的体积为( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】如图,三棱柱外接球的球心在上下底面三角形中心连线的中点处,(分别是等边三角形和的中心,点是线段的中点,即外接球的球心),,,所以球的体积.
故选:D
12.一个正四棱柱的每个顶点都在球的球面上,且该四棱柱的底面面积为3,高为,则球的体积为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】设该正四棱柱的底面边长为,高为,则,,解得,所以该正四棱柱的体对角线为球的直径,设球的半径为,所以,,即,
所以,球的体积为.故选:B
13.若正四面体的表面积为,则其外接球的体积为( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】设正四面体的棱长为,由题意可知:,解得:,
所以正四面体的棱长为,
将正四面体补成一个正方体,则正方体的棱长为,正方体的体对角线长为,
因为正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长,所以外接球半径,
则外接球的体积为,故选:.
14.折扇是我国古老文化的延续,在我国已有四千年左右的历史,“扇”与“善”谐音,折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化,也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1).图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分),若两个圆弧DE,AC所在圆的半径分别是3和6,且,则该圆台的体积为( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】设圆台上下底面的半径分别为,由题意可知,解得,
,解得:,作出圆台的轴截面,如图所示:
图中,,过点向作垂线,垂足为,则,
所以圆台的高,则上底面面积,,由圆台的体积计算公式可得:,故选:.
15.在一次劳动技术课上,某12人的小组中的同学们利用图(一)的棱长为的正方体胶泥作为原料,每人制作一个图(二)的冰激淋胶泥模型(上部分为一个半球,下部分为一个以半球的大圆面为底的圆锥),则制作完成后剩下的胶泥约为( )(忽略制作过程中的损耗,)
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】由题可知正方体胶泥的体积为,
每个冰激淋胶泥的体积为,
所以12个冰激淋胶泥的体积为,所以.故选:B.
16.已知圆锥的底面半径为2,高为,则该圆锥的内切球表面积为( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】如图,圆锥与内切球的轴截面图,点为球心,内切球的半径为,为切点,设,即,由条件可知,,中,,
即,解得:,所以圆锥内切球的表面积.
故选:D
17.如下图是一个正八面体,其每一个面都是正三角形,六个顶点都在球O的球面上,则球O与正八面体的体积之比是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得正方形的中心即为外接球球心,设,则,球的体积为,而,故正八面体的体积,得,故选:A
18.设正六棱柱的底面边长为1,侧棱长为5,那么它的体积为______.
【答案】
【解析】由正六棱柱可得底面为正六边形,则底面积,
即正六棱柱的体积.故答案为:.
19.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高4cm,将一个球放在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时,测得水深为3cm.若不计容器的厚度,则球的体积为______
【答案】
【解析】过球心作与正方体的前后面平行的截面,如图,截球得大圆,截正方体得正方形,,线段是正方体上底面截球所得截面圆直径,虚线表示水面,,设球半径为,则,,由勾股定理得,即,解得,
所以球体积为.故答案为:.
20.如图,某种水箱用的“浮球”,是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知球的直径为8cm,圆柱筒高为3cm.
(1)求这种“浮球”的体积;
(2)要在这样的3000个“浮球”的表面涂一层胶质,如果每平方厘米需要涂胶0.1克,共需胶多少克?
【答案】(1)(2)26400克
【解析】(1)由题意得该几何体由两个半球和一个圆柱筒组成,所以体积为一个球体体积和一个圆柱体积之和,由球体的体积为:,圆柱体积为:,
所以浮球的体积为:.
(2)上下半球的表面积:,圆柱侧面积:,
所以,1个浮球的表面积为,3000个浮球的表面积为:,
因此每平方厘米需要涂胶0.1克,共需胶克.
1.(多选)已知正四棱台上、下底面边长分别为,侧棱长为,则( )
A.正四棱台的高为B.正四棱台的斜高为
C.正四棱台的表面积为D.正四棱台的体积为
【答案】BCD
【解析】对于A,正四棱台上下底面对角线长为,
正四棱台的高,A错误;
对于B,正四棱台的斜高,B正确;
对于C,正四棱台侧面积为,上下底面面积分别为,
正四棱台的表面积,C正确;
对于D,正四棱台的体积,D正确.
故选:BCD.
2.已知圆台的上下底面半径分别为1和2,侧面积为,则该圆台的外接球半径为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】设圆台的高和母线分别为,球心到圆台上底面的距离为,根据圆台的侧面积公式可得,因此圆台的高,当球心在圆台内部时,则,解得,故此时外接球半径为,当球心在圆台外部时,则,,解得不符合要求,舍去,故球半径为故选:B
3(多选)圆台的上、下底面半径分别是10和20,它的侧面展开图扇环的圆心角为,则圆台的( )
A.母线长是20B.表面积是
C.高是D.体积是
【答案】ABD
【解析】如图所示,
设圆台的上底面周长为,因为扇环的圆心角为,所以,又,所以,同理,故圆台的母线,高,
体积,表面积.
故选:ABD.
4.已知圆锥的表面积为,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的体积为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】设圆锥的底面半径为,侧面展开图的半圆半径为,则,即.
故圆锥的侧面积为,解得,圆锥的高为.
故圆锥的体积为.故选:B
5.如图,直三棱柱中,是的中点,则 ( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】因为是的中点,,
,.故选:C.
6.若圆台的高是3,一个底面半径是另一个底面半径的2倍,母线与下底面成角,则这个圆台的侧面积是( )
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析由题意,可作该圆台的轴截面,如下图所示:
则圆台的高,上底面半径,下底面半径,即,
母线,即,在中,,,
易知在正方形中,,则,即,
综上,,圆台的侧面积.
故选:B.
7.在轴截面顶角为直角的圆锥内,作一内接圆柱,若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积,则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为( )
A.B.2C.D.
【答案】D
【解析如图所示,为圆锥的轴截面,,设圆柱的底面圆半径为,高为,
圆锥的底面半径为,则圆锥的高为,母线长为,由题意知,,
即;由相似边成比例得,即,,
即,,即圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为.故选:D.
8.把一个铁制的底面半径为,侧面积为的实心圆柱熔化后铸成一个球,则这个铁球的半径为( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析因为实心圆柱的底面半径为,侧面积为,所以圆柱的高为,
则圆柱的体积为,设球的半径为,则,故选:C
9.已知三棱柱所有的顶点都在球的球面上,球的体积是,,,则( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析设球的半径为,外接圆的半径为,则,解得,
因为,,由正弦定理得,外接圆的半径,
则.故选:B
10.正八面体是每个面都是正三角形的八面体.如图所示,若此正八面体的棱长为2,则它的内切球的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析以内切球的球心为顶点、正八面体的八个面为底面,可将正八面体分为8个全等的正三棱锥,设内切球的半径为,则,
且正四棱锥的高为图中,易得,即:
解得:,所以,内切球的表面积为.故选:C.
11.已知,,三点均在球的表面上,,且球心到平面的距离等于球半径的,则下列结论正确的为( )
A.球的外切正方体的棱长为B.球的表面积为
C.球的内接正方体的棱长为D.球的半径为
【答案】A
【解析设球O的半径为,的外接圆半径为,则,因为球心O到平面的距离等于球O半径的,所以,得,即,故D错误;
球O的外切正方体的棱长b满足,故A正确;
所以球O的表面积,故B错误;
球O的内接正方体的棱长a满足,即,故C错误.故选:A.
12.若四面体的各棱长是1或2,且该四面体不是正四面体,则其体积不可能是( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析根据三角形的两边之和大于第三边可知四面体中棱长为1的棱最多有3条,
(1)若只有一条棱长为1,如图,其余棱长都为2,
取中点,中点,连接,则,又是平面内两相交直线,则平面,由已知,则,,
,;
(2)若有两条棱长度为1,还是如(1)中图形,,
解法如(1),只是有,,;
(3)若有三条棱长度为1,如图,,四面体为正三棱锥,
设是正三棱锥的高,是的外心,
则,,
所以,,故选:D
13已知直三棱柱的底面为直角三角形,如图所示,,,,,则四面体的体积为__________,四棱锥的外接球的表面积为_________.
【答案】 1
【解析】由题意可得,且,则
因为外接圆的圆心即为中点,设为,外接圆的圆心即为中点,设为,
则的中点到六个顶点的距离相等,则的中点为外接球的球心,即为半径,
,所以,
即外接球的表面积为.故答案为:,
14.将个边长为1的正三角形纸片,按如图方法将它拼剪成一个三棱柱,则这个三棱柱的体积为__________.
【答案】
【解析因为三棱柱的上下底面全等,所以如图所示:
底面边长,又因为,所以,解得底面边长,
所以上下底面面积和,因为纸片的面积,
所以每个小长方形的面积,所以三棱柱的高,
所以三棱柱的体积.故答案为:.
15.已知在正方体中,截下一个四棱锥,,E为棱中点.
(1)求四棱锥的表面积;
(2)求四棱锥的体积与剩余部分的体积之比;
(3)若点F是AB上的中点,求三棱锥的体积.
【答案】(1);(2);(3)
【解析(1)四棱锥的表面由正方形ABCD和四个直角三角形所围成,
,,,则与全等,与全等,
因为,,,
所以
(2)设剩余部分的体积为,因为EC为四棱柱的高,且
所以
又正方体体积,
(3),其中平面ABCD,
故.
几何体
体积
说明
棱柱
S为棱柱的底面积,h为棱柱的高
棱锥
S为棱锥的底面积,h为棱锥的高
棱台
,S分别为棱台的上底面面积与下底面面积,h为棱台的高
名称
图形
表面积公式
体积公式
圆柱
底面积:S底=2πr2
侧面积:S侧=2πrl
表面积:S=2πr(r+l)
V圆柱=Sh=πr2h
圆锥
底面积:S底=πr2
侧面积:S侧=πrl
表面积:S=πr(r+l)
V圆锥=eq \f(1,3)Sh=eq \f(1,3)πr2h
圆台
上底面面积:S上底=πr′2
下底面面积:S下底=πr2
侧面积:S侧=π(r′l+rl)
表面积:S=π(r′2+r2+r′l+rl)
V圆台=eq \f(1,3)(S+eq \r(SS′)+eq \r(S′))h
=eq \f(1,3)π(r2+rr′+r′2)h
球
S=4πR2(R为球的半径)
V=eq \f(4,3)πR3
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