必修 第二册基本立体图形课后测评

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难点：常见几何体的侧面展开图及截面问题的计算。
一、空间几何体的相关概念
1、空间几何体：在我们的周围存在着各种各样的物体，他们都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。
例如：我们日常接触到的足球、篮球等，吐过只考了他们的形状和大小，他们都是球体，还有其他几何体如长方体、正方体等。
2、多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.
（1）多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；
（2）多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱；
（3）多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
3、旋转体：一条平面曲线（包括直线）绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴。
二、棱柱
1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫棱柱。
（1）有两个互相平行的面叫做棱柱的地面，它们是全等的多边形；
（2）其余各面叫做棱柱的侧面，他们都是平行四边形；
（3）相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；
（4）侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
【注意】
（1）有两个面互相平行，并不代表只有两个面互相平行，如长方体有三组对面互相平行，其中任意一组对面都可以作为底面。
（2）棱柱的另外一种定义一般地，由一个平面沿着某一方向平移形成的空间几何体叫做柱体，平移起止位置的两个面叫做柱体的底面，缩变形的边平移所形成的的面叫做柱体的侧面
2、棱柱的分类：
（1）按底面多边形的边数：可以把棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等；
（2）按侧棱与底面的位置关系：可以把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；
其中直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱．
斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱．
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱．
平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱．
三、棱锥
1、定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
（1）这个多边形面叫做棱锥的底面；
（2）有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；
（3）相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；
（4）各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。
【注意】有一个面是多边形，其余各面都使三角形的几何体不一定是棱锥，如图。
棱锥还需要满足各三角形有且只有一个公共顶点。
2、棱锥的分类：
按底面多边形的边数，可以把棱锥分成三棱锥、四棱锥和五棱锥。
【注意】底面为正多边形的棱锥叫做正棱锥，如正三棱锥、正四棱锥……
四、棱台
1、定义：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面与截面之间的部分叫做棱台。
（1）原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；
（2）其他各面叫做棱台的侧面；
（3）相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；
（4）侧面与底面的公共顶点叫做棱台的定点。
【注意】（1）棱台上下底面是互相平行且相似的多边形；
（2）侧面都是梯形；
（3）各侧棱的延长线交于一点。
2、棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
五、圆柱
定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体角圆柱。
（1）旋转轴叫做圆柱的轴；
（2）垂直于轴的变旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；
（3）平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；
（4）无论转到什么位置，平行与轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
【注意】（1）底面是互相平行且全等的圆面；
（2）母线有无数条，都平行与轴；
（3）轴截面为矩形。
六、圆锥
定义：以直角三角形的一条所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。
（1）垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；
（2）直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；
（3）无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线。
【注意】（1）底面是圆面，横截面是比底面更小的圆面，轴截面是等腰三角形；
（2）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是圆锥的母线；
（3）母线有无数条，且长度相等，侧面由无数条母线组成。
（4）直角三角形绕其任意一边所在的直线旋转一周所形成的几何体不一定是圆锥。
七、棱台
1、第一种定义：用平行与圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。
2、第二种定义：以直角题型处置与底面的腰所在的的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。
【注意】（1）圆台上、下底面是半径不相等且互相平行的圆面；
（2）母线有无数条且长度相等，各母线的延长线交于一点；
（3）轴截面为等腰梯形。
八、球
定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球。
（1）球心：半圆的圆心叫做球的球心；
（2）半径：连接圆心与球面上任意一点的线段叫做球的半径；
（3）直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。
九、组合体的定义
现实世界中物体表示的是几何体，除了柱体、锥体、台体和球等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成，这些几何体称作组合体。
组合体可以由几何体拼接、截去或挖去一部分形成。
题型一 棱柱的几何特征
【例1】以下各几何体中， 是棱柱的是 （ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】下列命题：
①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；
②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；
③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；
④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．
其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式1-2】满足下列条件的棱柱中，一定是直棱柱的是（ ）
A．底面是矩形 B．有一个侧面与底面垂直
C．有一个侧面是矩形 D．相邻两个侧面是矩形
【变式1-3】下列命题正确的是（ ）
A．棱柱的每个面都是平行四边形 B．一个棱柱至少有五个面
C．棱柱有且只有两个面互相平行 D．长方体是正四棱柱
题型二 棱锥和棱台的几何特征
【例2】下面图形中，为棱锥的是（ ）
A．①③ B．①③④ C．①②④ D．①②
【变式2-1】给出下列关于棱锥的说法：①四棱锥共有四条棱；②五棱锥共有五个面；③六棱锥的顶点有六个；④任何棱锥都只有一个底面．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式2-2】下列说法中正确的个数为（ ）
①各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；
②各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥；
③各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；
④底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥．
A． B． C． D．
【变式2-3】一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是（ ）
A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥
【变式2-4】下列关于棱锥､棱台的说法正确的是（ ）
A．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台
B．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间部分所围成的几何体叫做棱台
C．棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的
D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
题型三 旋转体的几何特征
【例3】下列关于圆柱的说法中，不正确的是（ ）
A．分别以矩形（非正方形）的长和宽所在的直线为旋转轴旋转一周而得到的两个圆柱是两个不同的圆柱
B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面
C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面
D．以一个矩形对边中点的连线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆柱
【变式3-1】有下列命题，其中错误命题个数是（ ）
①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②过圆锥顶点的截面是等腰三角形；③以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥；④平行于母线的平面截圆锥，截面是等腰三角形.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3-2】有下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的直线距离是圆柱的母线长；②圆锥顶点与底面所圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长；③圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.其中正确的命题是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【变式3-3】下列说法中正确的是（ ）
A．球的半径可以是球面上任意一点与球心所连的线段
B．球的直径可以是球面上任意两点所连的线段
C．用一个平面截球，得到的截面可以是正方形
D．球不可以用表示球心的字母表示
【变式3-4】下列叙述中，正确的个数是（ ）
①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；
③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；
④圆面绕它的任一直径旋转形成的几何体是球．
A．0 B．1 C．2 D．3
题型四 简单的组合体问题
【例4】如图所示的简单组合体的组成是（ ）
A．棱柱、棱台 B．棱柱、棱锥 C．棱锥、棱台 D．棱柱、棱柱
【变式4-1】如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（ ）
A．一个六棱柱中挖去一个棱柱 B．一个六棱柱中挖去一个棱锥
C．一个六棱柱中挖去一个圆柱 D．一个六棱柱中挖去一个圆台
【变式4-2】指出下图中的几何体是由哪些简单几何体组成的．
【变式4-3】如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为（ ）．
A．一个球体 B．一个球体中间挖去一个圆柱
C．一个圆柱 D．一个球体中间挖去一个长方体
题型五展开图及最短路径问题
【例5】如图，已知正三棱柱底面边长4，高为7，一质点从A出发，沿三棱柱侧面绕行两周到达的最短路线长为（ ）
A．25 B．24 C．31 D．28
【变式5-1】如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到点，则虫子爬行的最短距离是（ ）
A．4 B． C． D．
【变式5-2】“莫言下岭便无难，赚得行人空喜欢．”出自南宋诗人杨万里的作品《过松源晨炊漆公店》．如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形．山脚呈圆形，半径为40km．山高为km，B是山坡SA上一点，且km．为了发展旅游业，要建设一条从A到B的环山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路段长为（ ）
A．60km B．km C．72km D．km
【变式5-3】如图，某圆柱的高为4，底面周长为16，，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为_______.
题型六 几何体的截面问题
【例6】若正方体的一个截面恰好截这个正方体为等体积的两部分，则该截面( )
A．一定通过正方体的中心 B．一定通过正方体一个表面的中心
C．一定通过正方体的一个顶点 D．一定构成正多边形
【变式6-1】如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤
【变式6-2】圆柱内有一内接正三棱锥，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是_____.
8.1 基本立体图形
【题型1 棱柱的几何特征】
1、下列命题中，正确的是（ ）
A．四棱柱是平行六面体
B．直平行六面体是长方体
C．六个面都是矩形的六面体是长方体
D．底面是矩形的四棱柱是长方体
2、下列关于棱柱的说法错误的是（ ）
A．所有的棱柱两个㡳面都平行
B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻两个面的公共边互相平行
C．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
D．棱柱至少有5个面
3、下列结论不正确的是（ ）
A．长方体是平行六面体 B．正方体是平行六面体
C．平行六面体是四棱柱 D．直四棱柱是长方体
4、下列说法中正确的是（ ）
A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
B．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面
C．棱柱的侧面都是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
D．在棱柱的面中，至少有两个面互相平行
5、如图所示的几何体中棱柱的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型2 棱锥和棱台的几何特征】
1、下列几何体中是棱锥的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2、下列说法中，正确的个数为（ ）
（1）有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
（2）由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体
（3）棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥
（4）底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
A．3个 B．2个 C．1个 D．0
3、下面四个几何体中，是棱台的是（ ）
A． B． C． D．
4、下列关于棱台的说法中错误的是（ ）
A．所有的侧棱所在直线交于一点 B．只有两个面互相平行
C．上下两个底面全等 D．所有的侧面不存在两个面互相平行
5、如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是（ ）
A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
【题型3 旋转体的几何特征】
1、将正方形绕其一条边所在的直线旋转一周，所得的几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆台 C．圆锥 D．棱柱
2、有下列四个说法，其中正确的是（ ）
A．圆柱的母线与轴垂直
B．圆锥的母线长等于底面圆直径
C．圆台的母线与轴平行
D．球的直径必过球心
3、如图所示的图形中有
A．圆柱、圆锥、圆台和球 B．圆柱、球和圆锥
C．球、圆柱和圆台 D．棱柱、棱锥、圆锥和球
4、下列说法中，正确的是（ ）
A．在圆柱上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线
B．圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线
C．在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
D．圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的
5、下列命题中正确的是（ ）
①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆；
②以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，半圆的直径叫做球的直径；
③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；
④球面上任意三点可能在一条直线上；
⑤球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段．
A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．①④⑤
【题型4 简单的组合体问题】
1、指出下列空间图形分别由哪些简单空间图形构成.
2、指出图中三个空间图形的构成.
3、如图的组合体是由（ ）组合而成.
A．两个棱柱 B．棱柱和圆柱 C．圆柱和棱台 D．圆锥和棱柱
4、描述下列几何体的结构特征．
5、如图是由哪个平面图形旋转得到的（ ）
A． B． C． D．
【题型5 展开图及最短路径问题】
1、如图，圆柱的轴截面ABCD是一个边长为4的正方形.一只蚂蚁从点A出发绕圆柱表面爬到BC的中点E，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
2、长方体中，，，，则一只小虫从点沿长方体的表面爬到点的最短距离是___________．
3、在正三棱锥中，，，一只蚂蚁从点出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到点，则蚂蚁爬过的最短路程为___________．
4、如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为的正，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是__________m．
5、如图所示，圆台母线长为，上、下底面半径分别为和，从母线的中点M拉条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳长的最小值．
【题型6 几何体的截面问题】
1、如图，从一个正方体中挖掉一个四棱锥，然后从任意面剖开此几何体，下面哪个选项不是该几何体的截面？
A． B． C． D．
2、（多选）一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面的图形可能是（ ）
A． B． C． D．
3、圆柱的母线长为5，底面半径为2，称过圆柱的轴的任意平面与圆柱形成的平面为轴截面，则该圆柱轴截面面积为______.
4、从一个底面半径和高均为R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的棱锥，得到一个如图几何体.如果用一个与圆柱下底面距离为d的平行平面去截这个几何体，截面面积为______.
5、如图所示，正四棱锥的所有棱长都等于a，过不相邻的两条棱作截面，求截面的面积.