人教A版 (2019)必修 第二册简单几何体的表面积与体积精品导学案及答案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册简单几何体的表面积与体积精品导学案及答案，共11页。学案主要包含了自学评价，布置作业，课堂总结等内容，欢迎下载使用。
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
自主学习【学】
1．了解棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积公式及体积公式．(重点)
2．能运用公式求棱柱、棱锥、棱台的表面积及体积，理解棱柱、棱锥、棱台的体积之间的关系．(难点)
3．会求组合体的表面积及体积．(难点、易错点)
[巧梳理]
1．表面积
棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积．
2．体积
(1)一般地，如果棱柱的底面积是S，高是h，那么这个棱柱的体积V棱柱＝Sh．
(2)一般地，如果棱锥的底面积是S，高是h，那么这个棱锥的体积V棱锥＝eq \f(1,3)Sh．
(3)如果棱台的上、下底面面积分别为S′，S，高是h，那么这个棱台的体积V棱台＝eq \f(1,3)h(S′＋eq \r(S′S)＋S)．
【自学评价】阅读课本P114~P116，阅读完课本后尝试回答下列问题：
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
问题1.棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
问题2.棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
问题3.棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
结论： 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
2.棱柱、棱锥、棱台的体积
（1）一般棱柱的体积公式也是V = Sh，其中S为底面面积，h为高（即两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离。
（2）棱锥的体积是与它同底同高的棱柱的体积的三分之一，即。
其中棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离。
问题4.根据台体的特征，如何求台体的体积？
问题5.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？
研习探究【研】
例1. 如图，四面体的各棱长均为，求它的表面积.
变式1.正三棱锥的地面边长为a,高为，求它的侧面积。
变式2.一个正四棱锥P-ABCD的侧棱长为5，底面边长为6，求它的表面积．
变式3. 一个正四棱锥P-ABCD的侧棱长为5，高为3，求它的表面积。
例2. 如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到）？
达标练习【练】
练习
1. 某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的表面积为________.体积为________
2.已知正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为,则该正四棱锥的体积为( )
A. 43 B. 23 C. 43 D.433
3 . 四棱台的上、下底面均是正四边形，边长分别是6cm和10cm，侧面面积为448 cm2，求它的体积？
4.如图,已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E为AA1的中点，F为CC1上一点,求三棱锥A1－D1EF的体积.
.
5.如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.

6.如图，组合体下面是一个直三棱柱．△A1B1C1为等腰直角三角形，BC＝CE＝2.上面是一个三棱锥，且三棱锥的高AE＝3，三棱柱的高A1E＝3，求组合体的表面积和体积．
总结：求几何体体积的常用方法
【布置作业】训练(二十二).
总结提升【结】
【课堂总结】总结与评价
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积参考答案
自主学习【学】
1．了解棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积公式及体积公式．(重点)
2．能运用公式求棱柱、棱锥、棱台的表面积及体积，理解棱柱、棱锥、棱台的体积之间的关系．(难点)
3．会求组合体的表面积及体积．(难点、易错点)
[巧梳理]
1．表面积
棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积．
2．体积
(1)一般地，如果棱柱的底面积是S，高是h，那么这个棱柱的体积V棱柱＝Sh．
(2)一般地，如果棱锥的底面积是S，高是h，那么这个棱锥的体积V棱锥＝eq \f(1,3)Sh．
(3)如果棱台的上、下底面面积分别为S′，S，高是h，那么这个棱台的体积V棱台＝eq \f(1,3)h(S′＋eq \r(S′S)＋S)．
【自学评价】阅读课本P114~P116，阅读完课本后尝试回答下列问题：
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
问题1.棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
问题2.棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
问题3.棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
结论： 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
2.棱柱、棱锥、棱台的体积
（1）一般棱柱的体积公式也是V = Sh，其中S为底面面积，h为高（即两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离。
（2）棱锥的体积是与它同底同高的棱柱的体积的三分之一，即。
其中棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离。
问题4.根据台体的特征，如何求台体的体积？
问题5.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？
研习探究【研】
例1. 如图，四面体的各棱长均为，求它的表面积.
【答案】
【解析】
【分析】
因为四面体的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍.
【详解】解：因为是正三角形，其边长为，所以.
因此，四面体的表面积.
【点睛】本题考查锥体的表面积，是基础题.
变式1.正三棱锥的地面边长为a,高为，求它的侧面积。
答案：
变式2.一个正四棱锥P-ABCD的侧棱长为5，底面边长为6，求它的表面积．
答案：84
变式3. 一个正四棱锥P-ABCD的侧棱长为5，高为3，求它的表面积。
答案：
例2.. 如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到）？
【答案】
【解析】
【分析】
漏斗由两个多面体组成，其容积就是两个多面体的体积和.
【详解】解：由题意知
长方体的体积，
棱锥的体积，
所以这个漏斗的容积
.
【点睛】本题考查多面体的体积，是基础题.
达标练习【练】
练习
1. 某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的表面积为_.体积为______
【详解】由题意，该几何体是由棱长为的正方体截去八个四面体构成的多面体，截去的八个四面体是全等的三棱锥，
同时几何体是由8个底面边长为的等边三角形和边长为的6个正方形组成的一个14面体，所以该几何体的表面积为：
.
2.已知正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为,则该正四棱锥的体积为( D )
A. 43 B. 23 C. 43 D.433
3 . 四棱台的上、下底面均是正四边形，边长分别是6cm和10cm，侧面面积为448 cm2，求它的体积？
4.如图,已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E为AA1的中点，F为CC1上一点,求三棱锥A1－D1EF的体积.
.
5.如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积。
6.如图，组合体下面是一个直三棱柱．△A1B1C1为等腰直角三角形，BC＝CE＝2.上面是一个三棱锥，且三棱锥的高AE＝3，三棱柱的高A1E＝3，求组合体的表面积和体积．
总结：求几何体体积的常用方法
【布置作业】训练(二十二).

【课堂总结】总结与评价