高中数学人教A版 (2019)必修 第二册简单几何体的表面积与体积优秀教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册简单几何体的表面积与体积优秀教案，共6页。

素养目标·定方向
必备知识·探新知
知识点1 棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体__各个面__的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它的__各个面__的面积的和.
知识点2 棱柱、棱锥、棱台的体积
[知识解读] 1．棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积
(1)将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开分别是平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积.
(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和.
2．对于棱柱、棱锥、棱台的体积公式的几点认识
(1)等底、等高的两个棱柱的体积相同.
(2)等底、等高的棱锥和棱柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.
(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
V＝Sheq \(――→,\s\up7(S′＝S))V＝eq \f(1,3)(S′＋eq \r(S′S)＋S)heq \(――→,\s\up7(S′＝0))V＝eq \f(1,3)Sh.
(4)求棱台的体积可转化为求棱锥的体积.根据棱台的定义进行“补形”，还原为棱锥，采用“大棱锥”减去“小棱锥”的方法求棱台的体积.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
典例1 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积.
[分析] 利用体对角线的长求出底面对角线长，由此求出菱形的边长.
[解析] 如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，
体对角线A1C＝15，B1D＝9，
∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，
∴a2＝200，b2＝56．
∵该直四棱柱的底面是菱形，
∴AB2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AC,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(BD,2)))2
＝eq \f(a2＋b2,4)＝eq \f(200＋56,4)＝64，
∴AB＝8．
∴直四棱柱的侧面积S侧＝4×8×5＝160．
∴直四棱柱的底面积S底＝eq \f(1,2)AC·BD＝20eq \r(7).
∴直四棱柱的表面积S表＝160＋2×20eq \r(7)＝160＋40eq \r(7).
[归纳提升] 棱柱、棱锥、棱台的表面积求法
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.
(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和.
【对点练习】❶ 已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S－ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积.
[解析] ∵四棱锥S－ABCD的各棱长均为5，
∴各侧面都是全等的正三角形.
设E为AB的中点，连接SE，则SE⊥AB，
∴S侧＝4S△SAB＝4×eq \f(1,2)AB×SE＝2×5×eq \r(52－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))2)＝25eq \r(3)，S表＝S侧＋S底＝25eq \r(3)＋25＝25(eq \r(3)＋1).
题型二 棱柱、棱锥、棱台的体积
典例2 (1)已知高为3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1－ABC的体积为( D )
A．eq \f(1,4) B．eq \f(1,2)
C．eq \f(\r(3),6) D．eq \f(\r(3),4)
(2)正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2．求其体积.
[分析] 利用体积公式计算求解.
[解析] (1)设三棱锥B1－ABC的高为h，则V三棱锥B1－ABC＝eq \f(1,3)S△ABCh＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)×3＝eq \f(\r(3),4).
(2)正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高.设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形.
∵S侧＝4×eq \f(1,2)×(10＋20)×EE1＝780(cm2)，
∴EE1＝13 cm.
在直角梯形EOO1E1中，
O1E1＝eq \f(1,2)A1B1＝5 cm，OE＝eq \f(1,2)AB＝10 cm，
∴O1O＝eq \r(132－10－52)＝12(cm).
故该正四棱台的体积为
V＝eq \f(1,3)×12×(102＋202＋10×20)＝2 800(cm3).
【对点练习】❷ 如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D的体积为__eq \f(1,3)__.
[解析] 由题意可知四棱锥A1－BB1D1D的底面是矩形，边长为1和eq \r(2)，四棱锥的高为eq \f(1,2)A1C1＝eq \f(\r(2),2)，则四棱锥A1－BB1D1D的体积为V＝eq \f(1,3)×1×eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1,3).
题型三 求体积的等积法与分割法
典例3 (1)如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积.
(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.
[分析] (1)适合用等积法；(2)适合用分割法.
[解析] (1)由V三棱锥A1－D1EF＝V三棱锥F－A1D1E，
∵S△A1D1E＝eq \f(1,2)EA1·A1D1＝eq \f(1,4)a2，
又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a，
∴V三棱锥F－A1D1E＝eq \f(1,3)×a×eq \f(1,4)a2＝eq \f(1,12)a3，
∴V三棱锥A1－D1EF＝eq \f(1,12)a3．
(2)如图，连接EB，EC，AC.
V四棱锥E－ABCD＝eq \f(1,3)×42×3＝16．
∵AB＝2EF，EF∥AB，
∴S△EAB＝2S△BEF.
∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB
＝eq \f(1,2)V三棱锥C－ABE＝eq \f(1,2)V三棱锥E－ABC
＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)V四棱锥E－ABCD＝4．
∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20．
[归纳提升] 求几何体体积的常用方法
【对点练习】❸ 如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距离d.
[解析] 在三棱锥A1－ABD中，AB＝AD＝AA1＝a，A1B＝BD＝A1D＝eq \r(2)a，
∵VA1－ABD＝VA－A1BD，
∴eq \f(1,3)×eq \f(1,2)a2×a＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \r(2)a×eq \f(\r(3),2)×eq \r(2)a×d.
解得d＝eq \f(\r(3),3)a.∴A到平面A1BD的距离为eq \f(\r(3),3)a.
易错警示
忽略对侧面展开图的分类讨论而致错
典例4 已知一个正三棱柱的侧面展开图是一个长为9 cm，宽为6 cm的矩形，求此正三棱柱的体积.
[错解] 由题知正三棱柱的底面周长为9 cm，宽为6 cm，则底面等边三角形的边长为3 cm.
∴S底面＝eq \f(1,2)×3×3×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(9\r(3),4)(cm2).
∴V正三棱柱＝Sh＝eq \f(9\r(3),4)×6＝eq \f(27\r(3),2)(cm3).
[错因分析] 若侧面展开图是一个长、宽不等的矩形，其长和宽都可能是正三棱柱的底面周长.该解法中忽略了另一种情况，导致答案不完整.
[正解] 设正三棱柱的高为h cm，底面等边三角形的边长为a cm.
①若正三棱柱的底面周长为9 cm，则高h＝6 cm,3a＝9 cm，∴a＝3 cm.
∴S底面＝eq \f(1,2)×3×3×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(9\r(3),4)(cm2).
∴V正三棱柱＝Sh＝eq \f(9\r(3),4)×6＝eq \f(27\r(3),2)(cm3).
②若正三棱柱的底面周长为6 cm，则高h＝9 cm,3a＝6 cm，∴a＝2 cm.
∴S底面＝eq \f(1,2)×2×2×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)(cm2).
∴V正三棱柱＝Sh＝eq \r(3)×9＝9eq \r(3)(cm3).
故该正三棱柱的体积为eq \f(27,2)eq \r(3) cm3或9eq \r(3) cm3．
[误区警示] 解答此类问题一定要注意侧面展开图的长、宽都可能是底面的周长，不要漏解.
【对点练习】❹ 如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是__eq \f(\r(2),6)__.
[解析] 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为eq \f(\r(3),2)，连接顶点和底面中心即为高，可求高为eq \f(\r(2),2)，所以体积为V＝eq \f(1,3)×1×1×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),6).素养目标
学法指导
1．了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.(逻辑推理)
2．理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系.(逻辑推理)
3．能利用计算公式求几何体的表面积与体积.(数学运算)
1．求棱柱、棱锥、棱台的表面积时，要充分利用侧面展开图与原几何体的关系；
2．求体积时，要准确把握底面积和高，尤其是四面体.优先选面积容易求出的面作为底面.
几何体
体积
说明
棱柱
V棱柱＝Sh
S为棱柱的__底面积__，h为棱柱的__高__
棱锥
V棱锥＝eq \f(1,3)Sh
S为棱锥的__底面积__，h为棱锥的__高__
棱台
V棱台＝eq \f(1,3)(S′＋eq \r(S′S)＋S)h
S′，S分别为棱台的__上、下底面面积__，h为棱台的__高__
公式法
直接代入公式求解
等积法
例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可
补体法
将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等
分割法
将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积