高中数学立体图形的直观图课时练习

这是一份高中数学立体图形的直观图课时练习，文件包含人教A版必修二高一数学下学期同步考点讲与练82立体图形的直观图原卷版docx、人教A版必修二高一数学下学期同步考点讲与练82立体图形的直观图解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
难点：能用斜二测画法画出简单空间图形（长方形、球、圆柱、圆锥、棱柱及简单组合体）的直观图。
一、空间几何体的直观图的概念
直观图是观察者在某一点观察一个空间几何体获得的图形；直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形。
二、立体图形的直观图的画法
1、斜二测画法：我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．
斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．
（1）“斜”：在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x'轴承45°或135°
（2）“二测”：两种度量形式，即在直观图中，平行于x'轴或z'轴的线段长度不变；
平行于y'轴的长度变成原来的一半，
2、平面图形直观图的画法及要求
第一步建系：在已知图中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，
画直观图时，把他们弧长对应的x'轴和y'轴，两轴相交于O'，
且使∠x'O'y'=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面；
第二步平行不变：已知图形中平行与x轴和y轴的线段，
在直观图中分别画出平行与x'轴或y'轴的线段；
第三步长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，
平行于y轴的线段，长度变为原来的一半，
3、空间几何体直观图的画法
（1）与平面图形的直观图相比，多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，直观图中与之对应的是z′轴；
（2）平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面；
（3）已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．
（4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．
4、直观图与原图之间的“变”与“不变”
“三变”：（1）坐标轴的夹角改变；（2）与y轴平行的线段长度变为原来的一半；（3）图形改变。
“三不变”：（1）平行性不改变；（2）与x轴和z轴平行的线段长度不改变；（3）相对位置不改变。
三、直观图与原图多边形面积之间的关系
若一个多边形的面积为S原，它的直观图的面积为S直，则有S直=24S原，S原=22S直
举个例子：以三角形为例，如图，设元三角形的底为a，高为h，
则其面积为S直=12ah，
在直观图中，a'=a，h'=12hsin45°=24h，
在直观图中，S直=12a'h'=12∙a∙24h=24S原
题型一 斜二测画法概念辨析
【例1】关于斜二测画法，下列说法错误的是（ ）
A．平行直线的直观图仍然是平行直线
B．垂直直线的直观图仍然是垂直直线
C．直观图中分别与两条坐标轴重合的直线，实际的位置是相互垂直的
D．线段的中点在直观图中仍然是中点
【答案】B
【解析】对于A，平行直线在直观图中长度可能会变化，但平行关系不变，A正确；
对于B，平行于轴和轴的两条直线，在直观图中夹角为，B错误；
对于C，直观图中与两条坐标轴重合的直线，
还原后与平面直角坐标系中的轴重合，实际位置互相垂直，C正确；
对于D，线段的中点在直观图中依然会是该线段直观图画法中的中点，D正确.
故选：B.
【变式1-1】对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述错误的是（ ）
A．三角形的直观图仍然是一个三角形
B．的角的直观图会变为的角
C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半
D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
【答案】B
【解析】对于A，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，
因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；
对于B，的角的直观图会变为或的角，故B错误；
对于C，D，由斜二测画法的特点可知，C，D显然正确．故选：B．
【变式1-2】根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为（ ）
A．90°，90° B．45°，90° C．135°，90° D．45°或135°，90°
【答案】D
【解析】根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与竖轴的夹角，所以度数为90°.故选：D.
【变式1-3】利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.以上说法正确的是（ ）
A．① B．①② C．③ D．①②③④
【答案】B
【解析】由斜二测画法规则知，斜二测画法不改变平行性，即原图形与直观图中对应的相交直线、平行直线的关系不变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形，①②正确，
由于斜二测画法规则中，原图形中x，y轴互相垂直，在直观图中，对应的轴夹角为，
并且原图形中在y轴上或平行于y轴的线段在直观图中长度减半，原图形中在x轴上或平行于x轴的线段在直观图中长度不变，因此斜二测画法会改变角的大小，③④错误.故选：B
题型二 画几何图形的直观图
【例2】用斜二测画法画如图所示的直角三角形的水平放置图，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】可以以直角顶点为坐标原点建立坐标系，由斜二测画法规则知，
在直观图中此角为钝角，排除C和D，
又原三角形的高在轴上，
在直观图中在上，长度减半，排除A，故选：B.
【变式2-1】如图，等腰梯形ABCD上底，下底，高为1cm．用斜二测画法画出该梯形的直观图.
【解析】在等腰梯形中，过D作于O，以直线CB，OD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，
其中，在平面内取点，过作直线，使，如图，
在直线上取点，使，过作线段，使，
在直线上取点，使，连接，抹去辅助线得等腰梯形的直观图，如图梯形.
【变式2-2】用“斜二测”法画出边长为2cm的正三角形的直观图.
【解析】在给定的正三角形中建立如图所示的平面直角坐标系，其中线段是正三角形的高，，
在平面内取点，过作直线，使，如图，
在直线上取点，使，过作线段，
使，连接，抹去辅助线得边长为2cm的正三角形的直观图，如图.
【变式2-3】画出一个正六棱柱的直观图，底面为边长为3的正六边形，高为5．
【解析】（1）画轴.如图，画x,y,z轴，三轴相交于O，使得 .
（2）画底面.在x轴上以O为中点截取线段FC，使FC=6cm，
在y轴上以O为中点取线段GH，使，分别过点G,H作x轴的平行线，
并在平行线上分别以G,H为中点截取AB=3cm,ED=3cm,
连接BC,CD,EF,FA,则六边形ABCDEF就是正六棱柱的底面的直观图.
（3）画侧棱.在z轴正半轴上取线段,使，过A,B,C,D,E,F各点作z轴的平行线，
在这些平行线上分别截取5cm长的线段 .
（4）成图.顺次连接,并加以整理
（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），得到所要求作的正六棱柱的直观图

题型三 由直观图还原几何图形
【例3】如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在直观图中，其一条对角线在y轴上且长度为，所以在原图形中其中一条对角线必在y轴上，且长度为，故选：A．
【变式3-1】如图，是的直观图，其中，，那么是一个（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定
【答案】A
【解析】将直观图还原，则，，所以是正三角形.故选：A.
【变式3-2】如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，，则原图形是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．梯形
【答案】C
【解析】因为矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，，又因为，所以，在直观图中，，，高，，所以，即原图形为菱形.故选：C
【变式3-3】如图为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于轴的边与底边垂直.故选：C.
题型四 斜二测画法中有关量的计算
【例4】某几何体底面的四边形OABC直观图为如图矩形，其中，，则该几何体底面对角线AC的实际长度为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【解析】根据四边形OABC直观图将其还有为平面图形如图：
根据直观图与原图的关系可得：，，，
则点，，，故选：B.
【变式4-1】如图，水平放置的矩形，在直角坐标系下点的坐标为，则用斜二测画法画出的矩形的直观图中，顶点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】矩形的直观图如图所示
过作于，则由直观图的作法可知,
所以，所以顶点到轴的距离为，故选：A
【变式4-2】在直角坐标系中水平放置的直角梯形OABC如图所示．已知O为坐标原点，，，．在用斜二测画法画出的直观图中，四边形的面积为（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】A
【解析】如图，画出直观图，过点作，垂足为
因为，，
所以，，，则，
故四边形的面积为．故选：A
【变式4-3】如图， 是水平放置的斜二测直观图， 其中，， 则原图形 的面积是 _____________．
【答案】
【解析】因为与轴重合，与轴重合，所以，所以在中，，故为直角三角形.又由斜二测画法可知：在中，，，所以，故答案为：.
8.2 立体图形的直观图
【题型1 斜二测画法的概念辨析】
1、对于用斜二侧画法画水平放置的图形的直观图来说，下面说法错误的是（ ）
A．原来平行的边仍然平行
B．原来垂直的边仍然垂直
C．原来是三角形仍然是三角形
D．原来是平行四边形的可能是矩形
【答案】B
【解析】由斜二侧画法可知，平行的线段仍然平行，三角形的直观图仍然是一个三角形，平行四边形的可能是矩形，原来垂直的直线不一定垂直．故选：B
2、若把一个高为的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（ ）
A．平行于轴且大小为 B．平行于轴且大小为
C．与轴成且大小为 D．与轴成且大小为
【答案】A
【解析】平行于z轴（或在z轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．故选：A
3、下列关于直观图的斜二测画法的说法，不正确的是（ ）
A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变
B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的
C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°
D．在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同
【答案】C
【解析】由直观图的画法规则，可知C中∠x′O′y′可以是45°或135°.故选：C.
4、（多选）下列说法中正确的有（ ）
A．画直观图时与x轴、y轴对应的轴、轴之间的夹角应为或
B．长方体直观图的长、宽、高与原长方体的长、宽、高的比例相同
C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形
D．水平放置的圆的直观图是椭圆
【答案】ACD
【解析】由斜二测画法规则知，选项A，C正确；长方体直观图的长、高与原长方体的长、高的比例相同，但在直观图中的宽只是原来的一半， B错误；水平放置的圆的直观图是椭圆，D正确.故选：ACD
5、（多选）对于用斜二测画法所得的直观图，以下说法错误的是（ ）
A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B．正方形的直观图为平行四边形
C．梯形的直观图不是梯形 D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
【答案】ACD
【解析】由直观图的做法可知：原图形中的平行性质仍然保持，而相当长度和角的大小不一定与原来的相等.对于A：等腰三角形的直观图不再是等腰三角形，故A错误；
对于B：因为正方形的对边平行，所以在直观图中仍然平行，故正方形的直观图为平行四边形成立.故B正确；
对于C：梯形的上下底平行，在直观图中仍然平行；两腰不平行，在直观图中仍然不平行；所以梯形的直观图仍是梯形.故C错误；
对于D: 正三角形的直观图不是等腰三角形.故D错误.故选：ACD
【题型2 画几何图形的直观图】
1、利用斜二测画法画出边长为的正方形的直观图，正确的是图中的( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的比为，故选C
2、画出如图所示的水平放置的正方形的直观图（画在原图上）．
【答案】直观图见解析
【解析】该正方形直观图如图所示，
3、画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．
解析】（1）在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，
垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．如图①所示．
（2）画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，在x′轴上截取O′B′＝OB，
在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l，
在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②.
（3）所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.
4、下列空间图形画法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】D选项：遮挡部分应画成虚线．故选:D.
5、画长、宽、高分别为，，的长方体的直观图．
【解析】根据斜二测画法的规则可知, 底面矩形的直观 图为平行四边形,
其中 , ,
作 底面, 在 轴上截取 ,
过 作 , 使 , 过、
分别作 平行于 且等于 ,
连接 可得长、宽、高 分别为，，的长方体的直观图.
【题型3 由直观图还原几何图形】
1、如图，这是一个平面图形的直观图，则它的实际形状（四边形）为（ ）
A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．矩形
【答案】D
【解析】由，得，由边的平行关系可知，原图形为矩形故选：D
2、如图，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则下列结论正确的是（ ）
A．是等腰直角三角形 B．是锐角三角形
C．是钝角三角形 D．是等边三角形
【答案】A
【解析】将其还原成原图，如图，设，则可得，，从而，所以，即，故是等腰直角三角形.故选：A
3、如图所示，梯形是一平面图形的直观图．若，，，．试画出原四边形．
【解析】如图，建立直角坐标系，在轴上截取，， ，
在轴上截取，再过点与轴平行的直线上截取，
连接，，便得到了原图形（如图）．
4、一个三角形水平放置的直观图是正三角形，则原三角形是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能
【答案】C
【解析】令正是水平放置的的直观图，不妨令点在数轴上，如图，
因为，则线段与轴必相交，令交点为，在直角坐标系中，点在轴上，，点在轴上，，如图，
因此点必在线段的延长线上，有，即是钝角三角形，
所以原三角形是钝角三角形，故选：C
5、如图，是水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图，将其恢复成原图形．
【解析】（1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即；
（2）在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取，
过点 作轴，并使．
（3）连接，，则即为原来的图形，如图②所示．
【题型4 斜二测画法中有关量的计算】
1、已知水平放置的的直观图如图所示，，，则边上的中线的实际长度为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】C
【解析】的实际图形应是直角三角形，两条直角边长分别是4和3，
斜边上的中线长度为故选：C
2、在直角坐标系中水平放置的直角梯形如图所示.已知为坐标原点，,,.在用斜二测画法画出的它的直观图中，四边形的周长为（ ）
A．8 B．10 C． D．
【答案】D
【解析】如图，画出直观图，
过点作，垂足为.因为，，
所以，，，则，
故四边形的周长为，所以D正确.故选：D.
3、已知等边三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图①②所示的实际图形和直观图.
由斜二测画法可知，，，
在图②中作于，则.
所以.故选：D.
4、已知在如图所示的等腰梯形中，，，用斜二测画法画出该梯形的直观图，则该梯形的直观图的面积为__________.
【答案】
【解析】如图所示，过作，垂足分别为.依题意，，所以，可知等腰梯形的面积为，
根据斜二测画法规则知，其直观图的面积为原图形面积的，所以该梯形的直观图的面积为.故答案为：.
5、如图，梯形是一水平放置的平面图形在斜二测画法下的直观图.若平行于轴，，求梯形的面积.
【答案】5
【解析】如图，根据直观图画法的规则，直观图中平行于轴，，⇒原图中，
从而得出AD⊥DC，且，直观图中，，⇒原图中，，即四边形ABCD上底和下底边长分别为2，3，高为2，如图．
故其面积.