数学空间直线、平面的平行当堂检测题

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一、必备知识分层透析
二、重点题型分类研究
题型1:判断线面平行
题型2:证明线面平行
题型3:补全线面平行的条件
题型4:线面平行的性质
题型5:由线面平行的性质判断线段比例或点的位置
题型6:由线面平行求线段长度
题型7：直线与平面平行的判定定理与性质定理的综合运用
三、高考（模拟）题体验
一、必备知识分层透析
知识点1：直线与平面平行
(1)直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
符号表述：
图形语言
直线与平面的平行关系(空间问题)转化为直线间的平行关系(平面问题) 即
线线平行 线面平行
(2)直线与平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
符号表述：，，
简记：线线平行 线面平行
注意：①定理中三个条件缺一不可
②简记：线面平行，则线线平行
③定理的作用：判断直线与直线平行的重要依据
④定理的关键：寻找平面与平面的交线
二、重点题型分类研究
题型1:判断线面平行
典型例题
例题1．已知直线、和平面，下面说法正确的是( )
A．若，，则B．若，，则
C．若，，，则D．若，，则
例题2．如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（ ）
A．B．
C．D．
例题3．已知为三条不重合的直线，是两个不重合的平面，给出下列四个说法：
①，则；
②，则；
③，则；
④，则.
其中正确的是（ ）
A．①④B．①②C．②④D．③④
同类题型演练
1．在棱长为的正方体中，直线BD到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在四面体中，分别为的中点，分别在上，且.给出下列四个命题：
①平面；
②平面；
③平面；
④直线交于一点.
其中正确命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．已知点E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，则四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
题型2:证明线面平行
典型例题
例题1．如图，在四棱锥中，底面是正方形，与交于点，为的中点，求证：平面
例题2．某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，、、分别是边长为4的正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”（如图2）.
(1)若是四边形对角线的交点，求证：平面；
(2)若，求三棱锥的体积.
例题3．在直三棱柱中，是棱的中点，，．
(1)求证：平面；
(2)求异面直线与所成的角的余弦值．
同类题型演练
1．如图，在四棱锥中，底面为矩形，为中点，证明：平面
2．在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，求证：平面.
3．如图，长方体中，，，点为的中点.
(1)求证：直线平面PAC；
(2)求异面直线与AP所成角的大小.
4．小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．
(1)证明：平面；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
题型3:补全线面平行的条件
典型例题
例题1．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件：________时，平面.
例题2．在直三棱柱中，为中点，点在侧面上运动，当点满足条件___________时，平面(答案不唯一，填一个满足题意的条件即可)
例题3．在正三棱柱中，，过且与平行的平面交直线于点，则＝______．
例题4．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点是上一点，当________时，平面.
同类题型演练
1．（多选）已知、是两条互相平行的直线，是一个平面．若要使得，则需添加下列哪些条件（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在三棱台中，，E，F分别是的中点，点M在上，，若点N在平面内，且平面，则点N的位置是____________．（写出一种即可）
3．如图，已知正方体，，分别为，的中点，点在上底面（含边界）上运动.请补充一个恰当条件，当点满足___________时，有平面.
4．如图，在五面体中，，底面ABC是正三角形，．四边形是矩形，问：D在AC上运动，当D在何处时，有平面，并说明理由．
题型4:线面平行的性质
典型例题
例题1．在空间中，直线∥面，直线平面，则（ ）
A．与平行B．与平行或相交 C．与异面或相交D．与平行或异面
例题2．长方体的底面是正方形，，分别是侧棱，上的动点，，在棱上，且.若平面，则_________.
例题3．如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面，分别是，的中点.记平面与平面的交线为，求证：直线平面
例题4．已知四棱锥中，且，点分别是中点，平面交．
(1)证明：平面；
(2)试确定点的位置，并证明你的结论．
同类题型演练
1．已知直线平面，点平面，且P不在l上，那么过点且平行于直线的直线（ ）
A．有无数条，仅有一条在平面内B．只有一条，且不在平面内
C．有无数条，均不在平面内D．只有一条，且在平面内
2．如图，长方体的底面是正方形.其侧面展开图是边长为4的正方形，E、F分别是侧棱上的动点，点P在棱上，且，若平面，则的长=___________.
3．如图，在四棱锥中，平面PAD，，求证：.
4．如图所示，在多面体中，四边形，，ABCD均为正方形，E为的中点，过，D，E的平面交于F．证明：.
5．如图，四边形ABCD为长方形，平面ABCD，，，点E、F分别为AD、PC的中点．设平面平面．
(1)证明：平面PBE；
(2)证明：；
(3)求三棱锥的体积．
题型5:由线面平行的性质判断线段比例或点的位置
典型例题
例题1．如图，已知圆锥的顶点为，是底面圆的直径，点在底面圆上且，点为劣弧的中点，过直线作平面，使得直线平面，设平面与交于点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例题2．如图，三棱柱在圆柱中，等腰直角三角形，分别为上、下底面的内接三角形，点，分别在棱和上，，，平面，求的值
例题3．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为棱的中点，平面与棱交于点．
(1)求证：平面；
(2)求证：为的中点；
(3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
例题4．已知四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面，，为中点，过作平面分别与线段、交于点，，且，则________；四边形的面积为________.
同类题型演练
1．如图，在三棱锥P—ABC中，点D，E分别为棱PB，BC的中点.若点F在线段AC上，且满足AD平面PEF，则的值为（ ）
A．1B．2C．D．
2．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，且，点在棱上，若直线平面，求的值
3．如图所示正四棱锥S-ABCD，，，P为侧棱SD上的点，且，求：
(1)正四棱锥S-ABCD的表面积；
(2)侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.
4．如图，在四棱锥中，，，，为边的中点，异面直线与所成的角为.在直线上找一点，使得直线平面，并求的值.
题型6:由线面平行求线段长度
典型例题
例题1．已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
例题2．如图所示，正方体中，，点为的中点，点在上．若平面，则线段的长度等于______．
例题3．如图，四棱锥的所有棱长都等于，点为线段的中点，过、、三点的平面与交于点，则四边形的周长为____________．
例题4．如图所示，正四棱锥的各棱长均为13，为上的点，且.
(1)在线段上是否存在一点，使直线平面？如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由；
(2)假设存在满足条件（1）的点，求线段的长.
同类题型演练
1．在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是上底面内一点（含边界），若平面，则点的轨迹长为___________.
2．正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为2，点，分别在和上，并且，平面，则线段的长为______．
3．如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形.
(1)求证：AB∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围.
4．如图所示，直线平面，点A在另一侧，点B，C，，线段AB，AC，AD分别交于点E，F，G．若BD＝4，CF＝4，AF＝5，求EG的长．
5．如图，是棱长为正方体的棱上的一点，且平面，求线段的长．
题型7：直线与平面平行的判定定理与性质定理的综合运用
典型例题
例题1．（多选）分别是正方体的棱的中点，则（ ）
A．平面B．
C．直线与直线相交D．与平面所成的角大小是
例题2．如图，四边形中，，，分别在，上，，现将四边形沿折起，使．
(1)若，在折叠后的线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
(2)求三棱锥的体积的最大值，并求出此时点到平面的距离．
例题3．如图，四棱锥中，平面
.是中点，是上一点.
(1)若求三棱锥的体积；
(2)是否存在点,使得平面,若存在求的长；若不存在，请说明理由.
例题4．如图，已知在四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，在上任取一点，过和作平面交平面于，求证：.
例题5．如图，在正方体中，分别是的中点.
(1)证明：平面；
(2)棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
三、高考（模拟）题体验
1．在正方体中，P是平面内的一动点，M为线段的中点，则下列说法错误的是（ ）
A．平面内任意一条直线都不与平行
B．平面和平面的交线不与平面平行
C．平面内存在无数条直线与平面平行
D．平面和平面的交线不与平面平行
2．如图，在正方体中，点E，F分别是棱，的中点，点G是棱的中点，则过线段AG且平行于平面的截而图形为（ ）
A．等腰梯形B．三角形C．正方形D．矩形
3．设P，E，F分别是长方体的棱，，的中点，且，M是底面上的一个动点，若平面，则线段长度的最小值为___________.
4．三棱锥中，，过线段中点E作平面与直线、都平行，且分别交、、于F、G、H，则四边形的周长为_________．
5．如图，“复兴”桥为人行天桥，其主体结构是由两根等长的半圆型主梁和四根竖直的立柱吊起一块圆环状的桥面．主梁在桥面上方相交于点S且它们所在的平面互相垂直，S在桥面上的射影为桥面的中心O．主梁连接桥面大圆，立柱连接主梁和桥面小圆，地面有4条可以通往桥面的上行步道．设CD为其中的一根立柱，A为主梁与桥面大圆的连接点．
(1)求证：平面SOA；
(2)设AB为经过A的一条步道，其长度为12米且与地面所成角的大小为30°．桥面小圆与大圆的半径之比为，当桥面大圆半径为20米时，求点C到地面的距离．
6．如图，已知在三棱柱中，，，F是线段BC的中点，点O在线段AF上，.D是侧棱中点，.
(1)证明：平面；
(2)F，E，三点在同一条直线上吗？说明理由，求的值.
7．如图1，在梯形中，于E，且，将梯形沿折叠成如图2所示的几何体，,为的中点.
(1)证明：平面；
(2)《九章算术》中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”，若图1中且，判断三棱锥是否为“鳖臑”，并说明理由.