高中人教A版 (2019)空间点、直线、平面之间的位置关系一课一练

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一、必备知识分层透析
二、重点题型分类研究
题型1:空间中两条直线位置关系的判断
题型2：直线与平面的位置关系
题型3：平面与平面的位置关系
题型4：异面直线
题型5：异面直线所成角
题型6：由异面直线所成角求参数
题型7：空间点、直线、平面之间的位置关系的综合问题
题型8：平面分空间问题
一、必备知识分层透析
知识点1：异面直线
（1）异面直线的概念
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线
（2）异面直线的画法
画异面直线时,为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托
（3）异面直线的判定
①定义法 ②两直线既不平行也不相交
知识点2：空间中直线与直线的位置关系
eq \a\vs4\al(位置,关系)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共面直线\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；,平行直线：同一平面内，没有公共点；)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.))
知识点3：空间中直线与平面的位置关系
（1）直线与平面的位置关系
（2）直线与平面的位置关系的分类
①按公共点个数分类：
②按直线是否在平面内分类：
（3）直线与平面的位置关系的画法
①直线在平面内的画法
把直线画在表示平面的平行四边形内
②直线与平面相交的画法
把直线的一部分画在表示平面的平行四边形外，作出有且只有一个的交点，直线被平面遮挡的部分不画或画为虚线
③直线与平面平行的画法
把直线画在表示平面的平行四边形外，并使直线与表示平面的平行四边形的组对边平行.
知识点4：空间中平面与平面的位置关系
（1）平面与平面的位置关系
（2）平面与平面的位置关系的分类
（3）平面与平面的位置关系的画法
①两个平面平行的画法
当两个平面平行时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行
②两个平面相交的画法：
被遮住的线，可以用虚线表示，也可以不画
二、重点题型分类研究
题型1:空间中两条直线位置关系的判断
典型例题
例题1．已知三条直线，，满足且，则与（ ）
A．平行B．垂直C．共面D．异面
例题2．如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线相交的是（ ）．
A．直线 B．直线
C．直线 D．直线．
例题3．在正方体中，点，分别在上，且，则与的位置关系是____________．
同类题型演练
1．已知直线m，n是平面的两条斜线，若m，n为不垂直的异面直线，则m，n在平面内的射影（ ）
A．不可能平行，也不可能垂直B．可能平行，但不可能垂直
C．可能垂直，但不可能平行D．可能平行，也可能垂直
2．如图，在正方体中，E，F分别为CC1，D1C1的中点，则下列直线中与直线相交的是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
3．若空间三条直线、、满足，，则直线与（ ）
A．一定平行B．一定垂直C．一定是异面直线D．一定相交
题型2：直线与平面的位置关系
典型例题
例题1．如果直线，和平面满足，，那么．( )
例题2．已知，且，那么直线与平面的位置关系是（ ）
A．必相交B．必平行
C．相交或平行D．平行或在平面内
例题3．（多选）若存在直线和直线，满足与不平行，则下列说法正确的是（ ）
A．内一定存在直线与平行B．可能与平面平行
C．内一定存在直线与垂直D．可能与平面垂直
同类题型演练
1．已知直线a∥平面α，直线b⊂平面α，则（ ）
A．a∥bB．a与b异面
C．a与b相交D．a与b无公共点
2．“直线与平面没有公共点”是“直线与平面平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知直线m、n，平面，在下列命题中，真命题的个数是______．
（1）若，，则；
（2）若，，则．
4．在长方体所有的表面所在的平面中，与直线平行的平面有______．
题型3：平面与平面的位置关系
典型例题
例题1．平面∥平面，，则直线和的位置关系（ ）
A．平行B．平行或异面C．平行或相交D．平行或相交或异面
例题2．，是两个平面，，是两条直线，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，,则B．若，，则
C．若，，则D．若，，，则
例题3．已知直线，和平面，，若，，，，则，的位置关系是________．
同类题型演练
1．设为平面，点，则下列结论正确的是（ ）
A．过点有且只有一条直线与平行B．过点没有直线与平行
C．过点有且只有一个平面与平行D．过点有无数个平面与平行
2．已知平面，且，，则直线a，b的关系为（ ）
A．一定平行B．一定异面
C．不可能相交D．相交、平行或异面都有可能
3．在空间中，给出下列说法：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则；④过平面的一条斜线，有且只有一个平面与平面垂直.其中正确的是（ ）
A．①③B．②④C．①④D．②③
题型4：异面直线
典型例题
例题1．异面直线指的是（ ）
A．两条不相交的直线B．两条不平行的直线
C．不同在某个平面内的两条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线
例题2．在底面半径为1的圆柱中，过旋转轴作圆柱的轴截面，其中母线，是弧的中点，是的中点，则（ ）
A．，与是共面直线B．，与是共面直线
C．，与是异面直线D．，与是异面直线
例题3．如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有________条.
同类题型演练
1．如图所示，长方体中，，P是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（ ）
A．B．C．D．
2．正方体中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有（ ）．
A．4条B．6条C．8条D．10条
3．已知直线．如果直线同时满足条件：①与异面；②与成定角；③与的距离为定值．那么这样的直线有__________条．
题型5：异面直线所成角
典型例题
例题1．若直线，为异面直线，则与所成的角的大小可以为( )
例题2．在正方体中，异面直线与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
例题3．已知异面直线和所成的角为，为空间一定点，则过点且与，所成角都是的直线有且仅有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
例题4．已知四面体中，、、分别为、、的中点，且异面直线与所成的角为，则_________.
例题5．如图，圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长，过的中点作的垂线交圆于点，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．
同类题型演练
1．如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则EF和AC所成的角等于
A．30°B．45°C．60°D．90°
2．在正方体中与成角的面对角线的条数是（ ）
A．条B．条C．条D．条
3．在正方体中，P为的中点，则直线PB与所成的角的正切值为（ ）
A．B．1C．D．2
4．如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．异面直线a与b成60°角，若，则c与b所成的角等于__________
题型6：由异面直线所成角求参数
典型例题
例题1．在空间四边形中，，，，分别是，，，的中点．若，且与所成的角为，则的长为（ ）
A．1B．C．1或D．或
例题2．在长方体中，底面是边长为1的正方形，异面直线与所成角的大小为，则该长方体的表面积与体积的比值是（ ）
A．B．
C．D．
例题3．如图，已知空间四边形两对角线和的长分别为8和10，所成的角为，依次连接各边中点所得四边形的面积是_________;
例题4．如图，在空间四边形中，，，分别是，的中点．若异面直线与所成的角为，求的长．
例题5．已知四棱锥，底面为正方形，边长为3，平面.
(1)若，求四棱锥的体积；
(2)若直线与的夹角为，求的长.
同类题型演练
1．在长方体中，与所成的角为30°，则
A．B．3C．D．
2．在空间四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点，若，且与所成的角为60°，则的长为（ ）
A．1或B．或C．1或D．或
3．某圆柱的高为2，其正视图如图所示，圆柱上下底面圆周及侧面上的点A，B，D，F，C在正视图中分别对应点A，B，E，F，C，且，异面直线所成角的余弦值为，则该圆柱的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
4．已知四面体中，，E、F分别为、的中点，且异面直线与所成的角为，则___________.
5．如图所示，四面体A－BCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝2.求EF的长度.
题型7：空间点、直线、平面之间的位置关系的综合问题
典型例题
例题1．在正方体中，，分别是线段，的中点，则异面直线，所成角余弦值是（ ）
A．B．C．D．
例题2．在正方体中，直线是底面所在平面内的一条动直线，记直线与直线所成的角为，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例题3．手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展.某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形.其直观图如图所示，，，，，分别是棱，，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
例题4．如图所示，在正方体中，点在线段上运动，设异面直线与所成的角为，则的最小值是___________.
同类题型演练
1．如图，在正方体中，点E为棱的中点，则异面直线AC与DE所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．在正方体中，E为的中点，平面与平面的交线为l，则l与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知某圆锥的侧面积等于底面的3倍，直线是底面所在平面内的一条直线，则该直线与母线所成的角的余弦值的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4．（多选）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线AM与BN是平行直线
B．直线BN与MB1是异面直线
C．直线MN与AC所成的角为60°
D．平面BMN截正方体所得的截面面积为
题型8：平面分空间问题
典型例题
例题1．两个不重合的平面只能把空间分成四个部分．( )
【答案】错误
【详解】当两平面平行时，这两个平面把空间分成了3个部分.故答案为：错误.
例题2．三个互不重合的平面把空间分成六个部分时，它们的交线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．1条或2条
例题3．空间三个平面能把空间分成（ ）
A．4部分或6部分B．7部分或8部分
C．5部分或6部分或7部分D．4部分或6部分或7部分或8部分
例题4．将一个长方体的四个侧面和两个底面延展成平面后，可将空间分成____部分.
同类题型演练
1．（多选）设三个不同的平面将空间分成个不同的部分，则的可能的取值为（ ）
A．4B．5C．7D．8
2．正方体的6个面无限延展后把空间分成______个部分
3．互不重合的三个平面最多可以把空间分成_____个部分．
4．一个正三棱柱各面所在的平面将空间分成______部分．
位置关系
直线在平面内
直线在平面外
直线与平面相交
直线与平面平行
公共点
有无数个公共点
只有1个公共点
没有公共点
符合表示
图形表示
位置关系
两平面平行
两平面相交
公共点
没有公共点
有无数个公共点(在一条直线上)
符号表示
图形表示