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    人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.5 空间直线、平面的平行巩固练习

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    这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.5 空间直线、平面的平行巩固练习,文件包含人教A版高中数学必修第二册同步讲义第28讲直线与直线平行原卷版doc、人教A版高中数学必修第二册同步讲义第28讲直线与直线平行含解析doc等2份试卷配套教学资源,其中试卷共60页, 欢迎下载使用。

    目标导航
    知识精讲
    知识点01 基本事实4
    【即学即练1】 如图所示,在三棱锥S-MNP中,E,F,G,H分别是棱SN,SP,MN,MP的中点,则EF与HG的位置关系是( )
    A.平行B.相交
    C.异面D.平行或异面
    答案 A
    解析 在△MPN中,H,G分别为MP,MN的中点,∴GH∥PN,同理EF∥PN,∴GH∥EF.
    知识点02 空间等角定理
    1.定理
    2.推广
    如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
    反思感悟 等角定理的结论是两个角相等或互补,在实际应用时一般是借助于图形判断是相等还是互补,还是两种情况都有可能.
    【即学即练2】 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是AB,BB1,BC的中点,求证:△EFG∽△C1DA1.
    证明 如图所示,连接B1C.
    因为G,F分别为BC,BB1的中点,
    所以GF∥B1C.
    又ABCD-A1B1C1D1为正方体,
    所以CD綊AB,A1B1綊AB,
    由基本事实4知CD綊A1B1,
    所以四边形A1B1CD为平行四边形,
    所以A1D綊B1C.
    又B1C∥FG,由基本事实4知A1D∥FG.
    同理可证A1C1∥EG,DC1∥EF.
    又∠DA1C1与∠EGF,∠A1DC1与∠EFG,∠DC1A1与∠GEF的两条边分别对应平行且均为锐角,
    所以∠DA1C1=∠EGF,∠A1DC1=∠EFG,∠DC1A1=∠GEF.
    所以△EFG∽△C1DA1.
    能力拓展
    考法01 基本事实4的应用
    【典例1】如图所示,在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.
    证明 因为在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,
    所以EF∥AC,HG∥AC,EF=HG=eq \f(1,2)AC,
    所以EF∥HG,EF=HG,
    所以四边形EFGH是平行四边形.
    反思感悟 基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性,解题时首先找到一条直线,使所证的直线都与这条直线平行.
    【变式训练】如图,已知在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,AD的中点.求证:四边形MNA1C1是梯形.
    证明 如图 ,连接AC,在△ACD中,
    ∵M,N分别是CD,AD的中点,
    ∴MN是△ACD的中位线,
    ∴MN∥AC,且MN=eq \f(1,2)AC.
    由正方体的性质,得
    AC∥A1C1,且AC=A1C1.
    ∴MN∥A1C1,且MN=eq \f(1,2)A1C1,
    即MN≠A1C1,
    ∴四边形MNA1C1是梯形.
    考法02 等角定理的应用
    【典例2】如图所示,△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′,BB′,CC′交于同一点O,且eq \f(OA,OA′)=eq \f(OB,OB′)=eq \f(OC,OC′)=eq \f(2,3),则eq \f(S△ABC,S△A′B′C′)=________.
    答案 eq \f(4,9)
    解析 ∵AA′∩BB′=O,且eq \f(OA,OA′)=eq \f(OB,OB′)=eq \f(2,3),
    ∴AB∥A′B′,同理AC∥A′C′,BC∥B′C′.
    ∵A′B′∥AB,A′C′∥AC,∴∠BAC=∠B′A′C′,
    同理∠ABC=∠A′B′C′,
    ∴△ABC∽△A′B′C′且eq \f(AB,A′B′)=eq \f(OA,OA′)=eq \f(2,3),
    ∴eq \f(S△ABC,S△A′B′C′)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2=eq \f(4,9).
    反思感悟
    【变式训练】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,E1分别是棱AD,A1D1的中点.求证:∠BEC=∠B1E1C1.
    证明 如图,连接EE1.
    ∵E1,E分别为A1D1,AD的中点,
    ∴A1E1綊AE,
    ∴四边形A1E1EA为平行四边形,
    ∴A1A綊E1E,
    又A1A綊B1B,∴E1E綊B1B,
    ∴四边形E1EBB1是平行四边形.
    ∴E1B1∥EB.同理E1C1∥EC.
    又∠B1E1C1与∠BEC的两边分别对应平行,
    ∴∠B1E1C1=∠BEC.
    分层提分
    题组A 基础过关练
    一、单选题
    1.空间两个角α,β的两边分别对应平行,且α=60°,则β为( )
    A.60°B.120°C.30°D.60°或120°
    【答案】D
    【详解】试题分析:根据等角定理,两个角的两边分别对应平行,则两个角相等或互补,所以为或,故选D.
    考点:等角定理
    2.若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是( )
    A.异面或平行B.异面或相交
    C.异面D.相交、平行或异面
    【答案】D
    【分析】根据空间中直线的位置关系,结合已知条件,即可容易判断.
    【详解】a和b是异面直线,b和c是异面直线,
    根据异面直线的定义可得:
    SKIPIF 1 < 0 可以是异面直线,如下所示:
    也可以相交
    也可以平行
    故选: SKIPIF 1 < 0 .
    【点睛】本题考查空间中直线之间的位置关系,属简单题.
    3.过平面 SKIPIF 1 < 0 外的直线l作一组平面与 SKIPIF 1 < 0 相交,若所得交线分别为a,b,c…,则这些交线的位置关系为( )
    A.相交于同一点B.相交但交于不同的点
    C.平行D.平行或相交于同一点
    【答案】D
    【分析】对 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 的位置关系进行分类讨论,由此确定正确选项.
    【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时,根据线面平行的性质定理以及平行公理可知:所得交线平行.
    当 SKIPIF 1 < 0 时,所得交线交于同一点 SKIPIF 1 < 0 .
    所以所得交线平行或相交于同一点.
    故选:D
    4.已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
    C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
    【答案】B
    【解析】根据等角定理,即可得到结论.
    【详解】 SKIPIF 1 < 0 的两边与 SKIPIF 1 < 0 的两边分别平行,
    根据等角定理易知 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
    故选:B.
    【点睛】本题考查等角定理,属基础题.
    5.在空间,下列说法正确的是
    A.两组对边相等的四边形是平行四边形
    B.四边相等的四边形是菱形
    C.正方形确定一个平面
    D.三点确定一个平面
    【答案】C
    【解析】考虑特殊情况即可,四边形有可能是空间四边形,三点有可能共线,进而可以确定答案
    【详解】四边形可能是空间四边形,故A,B错误;当三点在同一直线上时,存在无数个平面,故D错误.故选C.
    【点睛】本题考查点、线、面的空间关系,属于基础题
    6.如图所示,在空间四边形ABCD中,点E,H分别是边AB,AD的中点,点F,G分别是边BC,CD上的点,且 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ,则下列说法正确的是( )
    A.EF与GH平行
    B.EF与GH异面
    C.EF与GH的交点M可能在直线AC上,也可能不在直线AC上
    D.EF与GH的交点M一定在直线AC上
    【答案】D
    【分析】连接EH,FG,根据F,G分别是边BC,CD上的点,且 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ,和点E,H分别是边AB,AD的中点,得到EH//GF,且EH≠GF判断.
    【详解】解:如图所示:
    连接EH,FG.
    因为F,G分别是边BC,CD上的点,且 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ,
    所以GF//BD,且GF= SKIPIF 1 < 0 BD.
    因为点E,H分别是边AB,AD的中点,
    所以EH//BD,且EH= SKIPIF 1 < 0 BD,
    所以EH//GF,且EH≠GF,
    所以EF与GH相交,设其交点为M,
    则M∈平面ABC,同理M∈平面ACD.
    又平面ABC∩平面ACD=AC,
    所以M在直线AC上.
    故选:D.
    二、多选题
    7. SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是空间三条不同的直线,则下列结论错误的是( )
    A. SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
    C. SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 共面D. SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 共点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 共面
    【答案】ACD
    【分析】根据线线的位置关系,结合平面的基本性质判断各选项正误即可.
    【详解】解:由 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 平行、异面都有可能,故A错误;
    由 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,故B正确;
    当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 不一定共面,如三棱柱的三条侧棱,互相平行但不共面,故C错误;
    当 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 共点时, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 不一定共面,如三棱柱共顶点的三条棱不共面,故D错误;
    故选:ACD.
    8.(多选题)下列命题中,错误的结论有( )
    A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等
    B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
    C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补
    D.如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行
    【答案】AC
    【分析】由等角定理可判断A、B的真假;举反例可判断C的真假;由平行公理可判断D的真假.
    【详解】对于选项A:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,故选项A错误;
    对于选项B:由等角定理可知B正确;
    对于选项C:如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,这两个角的关系不确定,既可能相等也可能互补,也可能既不相等,也不互补.反例如图,在立方体中, SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,但是 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,二者不相等也不互补.故选项C错误;
    对于选项D:如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线平行,故选项D正确.
    故选:AC.
    三、填空题
    9.在长方体 SKIPIF 1 < 0 中,与 SKIPIF 1 < 0 平行的棱有____________(填写所有符合条件的棱)
    【答案】 SKIPIF 1 < 0
    【分析】根据长方体结构特点直接写出与 SKIPIF 1 < 0 平行的棱即可.
    【详解】长方体具有三组互相平行的棱,并且每一组棱都有四条,
    由图可知与 SKIPIF 1 < 0 平行的棱还有: SKIPIF 1 < 0 ,
    故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
    10.如图是正方体的表面展开图,E,F,G,H分别是棱的中点,则EF与GH在原正方体中的位置关系为______.
    【答案】平行
    【分析】将正方体的表面展开图还原构造成正方体,取AB,AA1的中点Q,P,连接EP,FQ,PQ,A1B,得到EF∥PQ,根据PQ∥A1B,HG∥A1B,即可得到EF∥GH.
    【详解】由题意,将正方体的表面展开图还原构造成正方体,如图所示:
    分别取AB,AA1的中点Q,P,连接EP,FQ,PQ,A1B,
    由正方体的结构特征可得EF∥PQ,
    又因为点Q,P,H,G分别是AB,AA1,A1B1,BB1的中点,故PQ∥A1B,HG∥A1B,
    故PQ∥HG,所以EF∥GH.
    故答案为:平行
    11.如图,空间四边形 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 分别是△ SKIPIF 1 < 0 和△ SKIPIF 1 < 0 的重心,若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ___.
    【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
    【分析】连接 SKIPIF 1 < 0 并延长交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ,连接 SKIPIF 1 < 0 并延长交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ,再连接 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,可知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,从而可求出答案.
    【详解】连接 SKIPIF 1 < 0 并延长交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ,连接 SKIPIF 1 < 0 并延长交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ,再连接 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴ SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴ SKIPIF 1 < 0 ,
    又∵ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 .
    故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
    12.已知矩形 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点,现将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻转,直到与 SKIPIF 1 < 0 首次重合,则此过程中,线段 SKIPIF 1 < 0 的中点的运动轨迹长度为____________.
    【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
    【分析】先分析出点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是一个半圆,再结合三角形中位线定理可得 SKIPIF 1 < 0 中
    点的轨迹也是一个半圆,即可得出结果
    【详解】由已知得:
    四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形, SKIPIF 1 < 0 沿DM翻转的过程中,点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为
    以 SKIPIF 1 < 0 为圆心, SKIPIF 1 < 0 为半径的半圆,其半径为 SKIPIF 1 < 0 ,这个半圆与DM垂直
    设线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ,线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ,线段EF的中点为 SKIPIF 1 < 0 ,在以 SKIPIF 1 < 0
    为半径的半圆上取一点 SKIPIF 1 < 0 ,连接 SKIPIF 1 < 0 ,并取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ,连接 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    由三角形中位线定理可得: SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为以 SKIPIF 1 < 0 为圆心, SKIPIF 1 < 0 为半径的半圆,其半径为 SKIPIF 1 < 0 ,
    线段AC的中点的运动轨迹长度为 SKIPIF 1 < 0 .
    故答案为: SKIPIF 1 < 0
    四、解答题
    13.如图1所示,在梯形 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的中点,将平面 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折起来,使 SKIPIF 1 < 0 到达 SKIPIF 1 < 0 的位置(如图2), SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的中点,求证:四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形.
    图1 图2
    【答案】证明见详解.
    【解析】通过证明EF//GH,且EF=GF,即可证明.
    【详解】在题图1中,∵四边形 SKIPIF 1 < 0 为梯形, SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点,
    ∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
    在题图2中,易知 SKIPIF 1 < 0 .
    ∵ SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的中点,
    ∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形.即证.
    【点睛】本题考查通过线线平行证明平行四边形,主要借助几何关系进行证明.
    14.如图所示, SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的对应顶点的连线 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 交于同一点O,且 SKIPIF 1 < 0 .
    (1)证明: SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
    (2)求 SKIPIF 1 < 0 的值.
    【答案】(1)证明见解析;(2) SKIPIF 1 < 0 .
    【分析】(1)根据已知条件可证 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ,即可证明 SKIPIF 1 < 0 ,同理可证 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ;
    (2)根据等角定理得出 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 进而可得 SKIPIF 1 < 0 ,即可求解.
    【详解】(1)因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点O,所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共面,
    在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中,可得 SKIPIF 1 < 0 ,
    又因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0
    同理 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
    (2)因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的方向相反,
    ∴ SKIPIF 1 < 0 .
    同理 SKIPIF 1 < 0 ,因此 SKIPIF 1 < 0 ,
    又 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 .
    15.在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 分别是边 SKIPIF 1 < 0 的中点.
    (1)求证:四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形;
    (2)若 SKIPIF 1 < 0 ,求证:四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形.
    【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
    【分析】(1)利用三角形中位线的性质,根据平行四边形的判断方法,即可得到结论;
    (2)利用有一组邻边相等的平行四边形,可证结论.
    【详解】(1)∵ SKIPIF 1 < 0 分别是边 SKIPIF 1 < 0 的中点.
    ∴ SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形;
    (2)若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    ∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形,
    ∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形.
    【点睛】本题解题的关键是利用三角形中位线的性质,平行四边形的判断方法进行证明,属于基础题.
    16.如图,在正方体 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别是棱 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点.
    (1)求证:四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形;
    (2)求证: SKIPIF 1 < 0 .
    【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
    【分析】(1)根据正方体的性质和平面几何知识可得证;
    (2)根据空间两个角相等定理或三角形全等可得证.
    【详解】解:(1)∵ SKIPIF 1 < 0 为正方体.∴ SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,
    又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别为棱 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的中点,∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形,∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
    又 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形.
    (2)法一:由(1)知四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形,∴ SKIPIF 1 < 0 .
    同理可得四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形,∴ SKIPIF 1 < 0 .∵ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 方向相同,
    ∴ SKIPIF 1 < 0 .
    法二:由(1)知四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形,∴ SKIPIF 1 < 0 .
    同理可得四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形,∴ SKIPIF 1 < 0 .
    又∵ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 .
    题组B 能力提升练
    一、单选题
    1.在空间四边形ABCD中,AC=BD,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,顺次连接各边中点E,F,G,H,所得四边形EFGH的形状是( )
    A.梯形B.矩形
    C.正方形D.菱形
    【答案】D
    【分析】根据空间四边形中各点的位置,结合中位线的性质可得EFGH是平行四边形,再由AC=BD即可判断四边形EFGH的形状.
    【详解】如图所示,空间四边形ABCD中,连接AC,BD可得一个三棱锥,
    将四个中点连接,得到四边形EFGH,
    由中位线的性质及基本性质4知,EH∥FG,EF∥HG;
    ∴四边形EFGH是平行四边形,又AC=BD,
    ∴HG= SKIPIF 1 < 0 AC= SKIPIF 1 < 0 BD=EH,
    ∴四边形EFGH是菱形.
    故选:D
    2.已知在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点,则下列结论正确的是( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
    C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】D
    【详解】如图所示,
    取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ,连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,在 SKIPIF 1 < 0 中,∵ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,同理可得 SKIPIF 1 < 0 ,在 SKIPIF 1 < 0 中,∵三角形两边之和大于第三边即 SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,故选D.
    3.对于空间三条直线,有下列四个条件:
    ①三条直线两两相交且不共点;
    ②三条直线两两平行;
    ③三条直线共点;
    ④有两条直线平行,第三条直线和这两条直线都相交.
    其中,使三条直线共面的充分条件有( )
    A.1个B.2个C.3D.4个
    【答案】B
    【分析】根据公理2以及推论进行判断,对于②③列举出三条直线两两平行在不同平面内的,三条相交直线不共面时,如三棱锥的侧面进行判断.
    【详解】①中两直线相交确定平面,则第三条直线在这个平面内,故①正确;
    ②中可能有其中一条直线和另外两条直线确定的平面平行,还有可能三条直线分别在三个相互平行的平面内,故②不对;
    ③中三条相交直线不共面时.则它们可确定3个平面,如三棱锥的侧面,故③不对;
    ④中两直线平行确定一个平面,则第三条直线在这个平面内,故④正确;
    故答案为B
    【点睛】本题考查了平面公理2以及推论的应用,主要利用公理的作用和公理中的关键条件进行判断,考查了空间想象能力,属于基础题.
    4.如图,在棱长为 SKIPIF 1 < 0 的正方体 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点, SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点,则直线 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】D
    【分析】根据给定条件,证明 SKIPIF 1 < 0 ,把直线 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离转化为点F到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离求解作答.
    【详解】在棱长为 SKIPIF 1 < 0 的正方体 SKIPIF 1 < 0 中,取 SKIPIF 1 < 0 中点G,连接 SKIPIF 1 < 0 ,如图,
    因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点,则 SKIPIF 1 < 0 ,即有四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形,
    有 SKIPIF 1 < 0 ,则四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形,有 SKIPIF 1 < 0 ,
    又 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点,则 SKIPIF 1 < 0 ,四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形,则有 SKIPIF 1 < 0 ,
    因此直线 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离等于点F到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 ,
    则四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形,有 SKIPIF 1 < 0 ,在 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 ,
    边 SKIPIF 1 < 0 上的高 SKIPIF 1 < 0 ,由三角形面积得: SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    所以直线 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
    故选:D
    5.如图所示,在空间四边形ABCD中,点E,H分别是边AB,AD的中点,点F,G分别是边BC,CD上的点,且 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ,则下列说法正确的是( )
    A.EF与GH平行
    B.EF与GH异面
    C.EF与GH的交点M可能在直线AC上,也可能不在直线AC上
    D.EF与GH的交点M一定在直线AC上
    【答案】D
    【分析】连接EH,FG,根据F,G分别是边BC,CD上的点,且 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ,和点E,H分别是边AB,AD的中点,得到EH//GF,且EH≠GF判断.
    【详解】解:如图所示:
    连接EH,FG.
    因为F,G分别是边BC,CD上的点,且 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ,
    所以GF//BD,且GF= SKIPIF 1 < 0 BD.
    因为点E,H分别是边AB,AD的中点,
    所以EH//BD,且EH= SKIPIF 1 < 0 BD,
    所以EH//GF,且EH≠GF,
    所以EF与GH相交,设其交点为M,
    则M∈平面ABC,同理M∈平面ACD.
    又平面ABC∩平面ACD=AC,
    所以M在直线AC上.
    故选:D.
    6.如图,在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 分别为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点,则下列说法正确的是
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】C
    【详解】由题意结合三角形中位线的性质可得: SKIPIF 1 < 0 ,
    由平行公理可得: SKIPIF 1 < 0 .
    本题选择C选项.
    二、多选题
    7.已知三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的棱长均相等,则( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
    C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】BC
    【分析】根据题意结合异面直线夹角逐项分析判断.
    【详解】对A:∵ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,则AB与CF的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ,不一定是直角,A错误;
    对B:由题意: SKIPIF 1 < 0 为菱形,则 SKIPIF 1 < 0 ,B正确;
    对C:由题意: SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,C正确;
    对D:由题意: SKIPIF 1 < 0 为菱形,则 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 大小无法确定, D错误.
    故选:BC.
    8.(多选题)下列说法中,正确的结论有( )
    A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等
    B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
    C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补
    D.如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行
    【答案】BD
    【分析】由等角定理可判断A的真假;根据直线夹角的定义可判断B的真假;举反例可判断C的真假;由平行公理可判断D的真假.
    【详解】对于选项A:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,故选项A错误;
    对于选项B:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或直角相等,故选项B正确;
    对于选项C:如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,这两个角的关系不确定,既可能相等也可能互补,也可能既不相等,也不互补.反例如图,在立方体中, SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,但是 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,二者不相等也不互补.故选项C错误;
    对于选项D:如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线平行,故选项D正确.
    故选:BD.
    三、填空题
    9.如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是平行直线的图是________(填序号).
    【答案】①②
    【分析】根据正方体的结构特征,以及两直线的位置关系的判定方法,即可求解.
    【详解】根据正方体的结构特征,可得①②中RS与PQ均是平行直线,④中RS和PQ是相交直线,③中RS和PQ是是异面直线.
    故答案为:①②.
    10.已知长方体 SKIPIF 1 < 0 的体积为9, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,且异面直线AC与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ,则该长方体的表面积为___________.
    【答案】 SKIPIF 1 < 0
    【分析】根据异面直线夹角的定义分析可得 SKIPIF 1 < 0 ,结合题意列式求长方体的长、宽、高,进而求长方体的面积.
    【详解】连接 SKIPIF 1 < 0 ,设 SKIPIF 1 < 0 ,
    ∵ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形,
    ∴ SKIPIF 1 < 0 .
    又∵异面直线AC与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴ SKIPIF 1 < 0 .
    设 SKIPIF 1 < 0 ,
    根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
    则该长方体的表面积为 SKIPIF 1 < 0 .
    故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
    11.如图所示,在空间四边形ABCD中,E,H分别为AB,AD的中点,F,G分别是BC,CD上的点,且 SKIPIF 1 < 0 ,若BD=6 cm,梯形EFGH的面积为28 cm2,则平行线EH,FG间的距离为________.
    【答案】8
    【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的中点, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 上的点,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 间的距离为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ),故答案为 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ).
    12.已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 是空间中的三条相互不重合的直线,给出下列说法:①若 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ;②若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交, SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交,则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交;③若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 一定是异面直线;④若 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 成等角,则 SKIPIF 1 < 0 .其中正确的说法是______(填序号).
    【答案】①
    【分析】根据平行公理可判断①,在空间考虑两直线都与第三条直线直线相交的所有可能情况可判断②,考虑在两个平面内的两条直线的所有位置关系可判断③,两条直线与第三条直线成等角,这两条直线可相交可平行可异面判断④.
    【详解】由公理4知①正确;
    当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交, SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交时, SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 可能相交、平行,也可能异面,故②不正确;
    当 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 可能平行、相交或异面,故③不正确;
    当 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 成等角时, SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 可能相交、平行,也可能异面,故④不正确.
    故答案为:①
    【点睛】本题主要考查了空间中线与线的位置关系,考查了空间想象力,属于中档题.
    四、解答题
    13.如图,E,F分别是长方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1A,C1C的中点.求证:四边形B1EDF为平行四边形.
    【答案】证明见解析
    【分析】结合线线平行以及平行四边形的知识来证得结论成立.
    【详解】由于 SKIPIF 1 < 0 分别是长方体 SKIPIF 1 < 0 的中点,
    设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点,连接 SKIPIF 1 < 0 ,
    根据长方体的性质可知 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形.
    14.如图,E,F,G,H分别是空间四边形ABCD各边上的点,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
    (1)证明:E,F,G,H四点共面.
    (2)m,n满足什么条件时,四边形EFGH是平行四边形?
    【答案】(1)见解析(2)当 SKIPIF 1 < 0 时,四边形EFGH是平行四边形.
    【分析】(1)根据平行线分线段成比例的性质,可得 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ,即可根据空间中平行线的传递性证明 SKIPIF 1 < 0 ,即可得E,F,G,H四点共面.
    (2)根据平行线分线段成比例,分别用 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 表示出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ,由平行四边形对边相等即可求得 SKIPIF 1 < 0 .
    【详解】(1)证明:连接BD
    因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
    又 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
    所以 SKIPIF 1 < 0
    所以E,F,G,H四点共面
    (2)当 SKIPIF 1 < 0 时,四边形EFGH为平行四边形
    由(1)可知 SKIPIF 1 < 0
    因为 SKIPIF 1 < 0
    所以 SKIPIF 1 < 0
    同理可得 SKIPIF 1 < 0
    由 SKIPIF 1 < 0
    可得 SKIPIF 1 < 0
    得 SKIPIF 1 < 0
    故当 SKIPIF 1 < 0 时,四边形EFGH是平行四边形
    【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的性质,由线段比例关系及平行关系得线段关系,属于基础题.
    15.梯形ABCD中,AB∥CD,E、F分别为BC和AD的中点,将平面DCEF沿EF翻折起来,使CD到C′D′的位置,G、H分别为AD′和BC′的中点,求证:四边形EFGH为平行四边形.
    【答案】详见解析
    【详解】试题分析:根据梯形中位线的性质可得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,同理可得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,根据传递性可得 SKIPIF 1 < 0 ,进而可得结论.
    试题解析:∵梯形 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点,
    ∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
    又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 .
    ∵ SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点,
    ∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴ SKIPIF 1 < 0 ,∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形.
    16.在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别是棱AB,AD,B1C1,C1D1的中点,
    求证:(1) SKIPIF 1 < 0 ;
    (2)∠EA1F=∠E1CF1.
    【答案】(1)见解析;(2)见解析
    【详解】试题分析:(1)连接 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,由三角形中位线定理可得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,根据正方体的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ,故而可得结论;(2)取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ,连接 SKIPIF 1 < 0 ,首先证明四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形,得到 SKIPIF 1 < 0 ,再证四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形及平行的传递性,得到 SKIPIF 1 < 0 ,同理得 SKIPIF 1 < 0 ,结合角两边的方向相反,进而可得结论成立.
    试题解析:(1)连接 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,在 SKIPIF 1 < 0 中,因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的中点,
    所以 SKIPIF 1 < 0 ,同理 SKIPIF 1 < 0 ,在正方体 SKIPIF 1 < 0 中,因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形,所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 .
    (2)取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ,连接 SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形,所以 SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形,所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,同理可证: SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 两边的方向均相反,所以 SKIPIF 1 < 0 .
    题组C 培优拔尖练
    一、单选题
    1.在正六棱柱 SKIPIF 1 < 0 任意两个顶点的连线中与棱AB平行的条数为( )
    A.2B.3C.4D.5
    【答案】D
    【分析】作出几何体的直观图观察即可.
    【详解】解:连接CF,C1F1,与棱AB平行的有 SKIPIF 1 < 0 ,共有5条,
    故选:D.
    2.已知E,F,G,H分别为空间四边形ABCD各边AB,BC,CD,DA的中点,若对角线BD=2,AC=4,则EG2+HF2的值是( )
    A.5B.10
    C.12D.不能确定
    【答案】B
    【分析】根据中位线定理判断四边形EFGH是平行四边形,再由 SKIPIF 1 < 0 计算可得解.
    【详解】如图所示,由三角形中位线的性质可得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
    所以四边形EFGH是平行四边形,
    因为 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 .
    故选:B.
    3.如图所示,在空间四边形ABCD中,点E,H分别是边AB,AD的中点,点F,G分别是边BC,CD上的点,且 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ,则下列说法正确的是( )
    A.EF与GH平行
    B.EF与GH异面
    C.EF与GH的交点M可能在直线AC上,也可能不在直线AC上
    D.EF与GH的交点M一定在直线AC上
    【答案】D
    【分析】连接EH,FG,根据F,G分别是边BC,CD上的点,且 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ,和点E,H分别是边AB,AD的中点,得到EH//GF,且EH≠GF判断.
    【详解】解:如图所示:
    连接EH,FG.
    因为F,G分别是边BC,CD上的点,且 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ,
    所以GF//BD,且GF= SKIPIF 1 < 0 BD.
    因为点E,H分别是边AB,AD的中点,
    所以EH//BD,且EH= SKIPIF 1 < 0 BD,
    所以EH//GF,且EH≠GF,
    所以EF与GH相交,设其交点为M,
    则M∈平面ABC,同理M∈平面ACD.
    又平面ABC∩平面ACD=AC,
    所以M在直线AC上.
    故选:D.
    4.如图,在棱长为 SKIPIF 1 < 0 的正方体 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点, SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点,则直线 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】D
    【分析】根据给定条件,证明 SKIPIF 1 < 0 ,把直线 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离转化为点F到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离求解作答.
    【详解】在棱长为 SKIPIF 1 < 0 的正方体 SKIPIF 1 < 0 中,取 SKIPIF 1 < 0 中点G,连接 SKIPIF 1 < 0 ,如图,
    因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点,则 SKIPIF 1 < 0 ,即有四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形,
    有 SKIPIF 1 < 0 ,则四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形,有 SKIPIF 1 < 0 ,
    又 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点,则 SKIPIF 1 < 0 ,四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形,则有 SKIPIF 1 < 0 ,
    因此直线 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离等于点F到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 ,
    则四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形,有 SKIPIF 1 < 0 ,在 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 ,
    边 SKIPIF 1 < 0 上的高 SKIPIF 1 < 0 ,由三角形面积得: SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    所以直线 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .
    故选:D
    5.如图,在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 分别为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点,则下列说法正确的是
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    【答案】C
    【详解】由题意结合三角形中位线的性质可得: SKIPIF 1 < 0 ,
    由平行公理可得: SKIPIF 1 < 0 .
    本题选择C选项.
    6.如图所示,在直角梯形 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 上的点, SKIPIF 1 < 0 且, SKIPIF 1 < 0 (如图1).将四边形 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折起,连接 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 (如图2).在折起的过程中,则下列表述:
    ① SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ;
    ②四点B、C、E、F可能共面;
    ③ SKIPIF 1 < 0 ,则平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ;
    ④平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 可能垂直.
    其中正确的是( )
    A.①④B.①③C.②③④D.①②④
    【答案】B
    【分析】连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ,取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ,证明四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形,可判断命题①的正误;利用线面平行的性质定理和空间平行线的传递性可判断命题②的正误;连接 SKIPIF 1 < 0 ,证明出 SKIPIF 1 < 0 ,结合线面垂直和面面垂直的判定定理可判断命题③的正误;假设平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 垂直,利用面面垂直的性质定理可判断命题④的正误.综合可得出结论.
    【详解】对于命题①,连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ,取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,如下图所示:
    则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点,
    SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点, SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形, SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,命题①正确;
    对于命题②, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
    若四点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 共面,则这四点可确定平面 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,由线面平行的性质定理可得 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,但四边形 SKIPIF 1 < 0 为梯形且 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为两腰, SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交,矛盾,所以,命题②错误;
    对于命题③,连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
    在 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形,
    且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,
    由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 内的两条相交直线,所以, SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,命题③正确;
    对于命题④,假设平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 垂直,过点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内作 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,显然 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不垂直,命题④错误.
    所以正确的选项为:①③,
    故选:B.
    二、解答题
    7.在长方体 SKIPIF 1 < 0 中,求证:
    (1) SKIPIF 1 < 0 ;
    (2) SKIPIF 1 < 0 .
    【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
    【分析】(1)根据 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 且方向相同可证得结论;
    (2)根据 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 且方向相同可证得结论.
    【详解】
    (1)由长方体的性质可得: SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,且方向相同,
    由等角定理可得: SKIPIF 1 < 0 .
    (2)由长方体的性质可得: SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,且方向相同,
    由等角定理可得: SKIPIF 1 < 0 .
    8.如图,P是△ABC所在平面外一点,D、E分别是△PAB和△PBC的重心.求证:DE//AC, SKIPIF 1 < 0 .
    【答案】证明见解析
    【分析】连接 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 并延长分别交 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,根据重心的性质得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的中点,故 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,进而可得结论成立.
    【详解】如图,连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 并延长分别交 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .
    因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的重心,
    所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的中点,
    连接 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ①,
    在 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ,
    所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ②,
    由①②及平行线的传递性得: SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
    9.如图,在正方体 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别是棱 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点.
    (1)求证:四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形;
    (2)求证: SKIPIF 1 < 0 .
    【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
    【分析】(1)根据正方体的性质和平面几何知识可得证;
    (2)根据空间两个角相等定理或三角形全等可得证.
    【详解】解:(1)∵ SKIPIF 1 < 0 为正方体.∴ SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,
    又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别为棱 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的中点,∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形,∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
    又 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,
    ∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形.
    (2)法一:由(1)知四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形,∴ SKIPIF 1 < 0 .
    同理可得四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形,∴ SKIPIF 1 < 0 .∵ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 方向相同,
    ∴ SKIPIF 1 < 0 .
    法二:由(1)知四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形,∴ SKIPIF 1 < 0 .
    同理可得四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形,∴ SKIPIF 1 < 0 .
    又∵ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 .
    10.正方体 SKIPIF 1 < 0 中:
    (1)求AC与 SKIPIF 1 < 0 所成角的大小;
    (2)若F分别为AD的中点,求 SKIPIF 1 < 0 与CF所成角的余弦值.
    【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ;(2) SKIPIF 1 < 0 .
    【分析】(1)由 SKIPIF 1 < 0 是正方体,可得从而 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角就是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角,根据三角形的几何性质即可求解.
    (2)连接 SKIPIF 1 < 0 ,交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ,作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角就是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角,在 SKIPIF 1 < 0 中利用余弦定理可求得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值.
    【详解】(1)如图所示,连接 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 是正方体,
    易知 SKIPIF 1 < 0 ,从而 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角就是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角,
    SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
    即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 .
    (2)连接 SKIPIF 1 < 0 ,交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ,作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角就是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角,在底面正方形 SKIPIF 1 < 0 中,由正方形性质可知, SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的三等分点,也是 SKIPIF 1 < 0 的三等分点,由 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的三等分点,设正方体边长为2,得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,利用勾股定理可知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,在 SKIPIF 1 < 0 中, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,利用余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0
    课程标准
    课标解读
    1.会判断空间两直线的位置关系.2.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题.

    1.本节内容包含一个基本事实、一个定理,是对学生原有的平面知识结构基础的拓展,同时 也是后面研究空间直线与平面平行、平面与平面平行的基础,它在知识结构上起着承上启下的 作用.教材以长方体为载体,让学生直观认识空间中直线与直线的位置关系,通过观察得出基 本事实 4.基本事实 4 表明了平行线的传递性,可以作为判断空间两条直线平行的依据, 同时它 给出了空间两条直线平行的一种证法
    2.通过本节内容的学习,为学生学习立体几何知识打下基础, 同时能更好地提升学生直观想 象和罗辑推理等数学学科核心素养.
    文字语言
    平行于同一条直线的两条直线平行
    图形语言
    符号语言
    直线a,b,c,a∥b,b∥c⇒a∥c
    作用
    证明两条直线平行
    说明
    基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性
    文字语言
    如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
    符号语言
    OA∥O′A′,OB∥O′B′⇒∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=180°
    图形语言
    作用
    判断或证明两个角相等或互补
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