人教A版 (2019)必修 第二册空间直线、平面的平行公开课教案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册空间直线、平面的平行公开课教案，共5页。

素养目标·定方向
必备知识·探新知
知识点1 基本事实4
平行于同一条直线的两条直线__平行__.
知识点2 定理
[知识解读] 1．对基本事实4的认识
(1)基本事实4，它表述的性质通常叫做平行线的传递性.
(2)基本事实4是论证平行问题的主要依据.
2．对等角定理的两点认识
(1)等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是基本事实4的直接应用.
(2)当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补.因此等角定理用来证明两个角相等或互补.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 证明直线与直线平行
典例1 如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点.
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形.
[证明] (1)因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，
所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝eq \f(1,2)AC，
所以EF∥HG，EF＝HG，
所以四边形EFGH是平行四边形.
(2)因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，
所以EH∥BD，EH＝eq \f(1,2)BD.
因为EF＝eq \f(1,2)AC，AC＝BD，所以EH＝EF.
又因为EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形.
[归纳提升] 证明空间两条直线平行的方法
(1)平面几何法
三角形中位线、平行四边形的性质等.
(2)定义法
用定义证明两条直线平行，要证明两个方面：一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点.
(3)基本事实4
用基本事实4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得a∥b，同时b∥c，由基本事实4即可得到a∥c.
【对点练习】❶ 如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，若E，F分别为AA′，CC′的中点，求证：四边形BFD′E是平行四边形.
[证明] 如图所示，取BB′的中点G，连接GC′，GE.
因为F为CC′的中点，
所以BG∥FC′，且BG＝FC′.
所以四边形BFC′G是平行四边形.
所以BF∥GC′，BF＝GC′，
又因为EG∥A′B′，EG＝A′B′，
A′B′∥C′D′，A′B′＝C′D′，
所以EG∥C′D′，EG＝C′D′.
所以四边形EGC′D′是平行四边形.
所以ED′∥GC′，ED′＝GC′，
所以BF∥ED′，BF＝ED′，
所以四边形BFD′E是平行四边形.
题型二 等角定理的应用
典例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是棱AB、AD、B1C1、C1D1的中点.求证：
(1)EFE1F1；
(2)∠EA1F＝∠E1CF1．
[分析] (1)eq \x(EF\f(1,2)BD，E1F1\f(1,2)B1D1)→eq \x(BDB1D1)→eq \x(EFE1F1)
(2)eq \x(CF1∥A1E，A1F∥CE1)→eq \x(∠EA1F＝∠E1CF1)
[解析] (1)如图，连接BD、B1D1，在△ABD中，因为E、F分别为AB、AD的中点，所以EFeq \f(1,2)BD.
同理，E1F1eq \f(1,2)B1D1．
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1DD1，
所以四边形BB1D1D为平行四边形，所以BDB1D1，
又EFeq \f(1,2)BD，E1F1eq \f(1,2)B1D1，
所以EFE1F1．
(2)取A1B1的中点M，连接F1M、BM，则MF1B1C1．
又B1C1BC，所以MF1BC，
所以四边形BMF1C为平行四边形，
所以BM∥CF1．
因为A1M＝eq \f(1,2)A1B1，BE＝eq \f(1,2)AB，且A1B1AB，
所以A1MBE，
所以四边形BMA1E为平行四边形，
所以BM∥A1E，所以CF1∥A1E.
同理可证A1F∥CE1．
因为∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，所以∠EA1F＝∠E1CF1．
[归纳提升] 求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似.
【对点练习】❷ 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E.
[证明] 因为F为BB1的中点，所以BF＝eq \f(1,2)BB1，
因为G为DD1的中点，所以D1G＝eq \f(1,2)DD1．
又BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以BF∥D1G，BF＝D1G.
所以四边形D1GBF为平行四边形.
所以D1F∥GB，同理D1E∥GC.
所以∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同，
所以∠BGC＝∠FD1E.
易错警示
等角定理理解不准确
典例3 设已知空间两个角α，β且α，β的两边分别平行，α＝60°，则β＝__60°或120°__.
[错解] 60°
[错因分析] 在应用等角定理解题时一定要注意“两组边对应平行且方向相同”这一条件，在求解本题时容易忽略此条件而出错误答案60°.
[正解] 因为角α，β的两边分别平行，所以α，β相等或互补，又α＝60°，所以β＝60°或120°.
【对点练习】❸ 下列结论中，正确的结论有( B )
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；
④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析] ②④是正确的.素养目标
学法指导
1．掌握基本事实4及等角定理.(逻辑推理)
2．会用基本事实4证明线线平行.(逻辑推理)
借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线平行的关系.
文字语言
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角__相等__或__互补__
图形语言
作用
判断或证明两个角相等或互补