数学人教A版 (2019)空间直线、平面的平行当堂达标检测题

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难点：利用直线与平面平行的判定定理与性质定理证明空间平行问题.
一、空间直线与平面的位置关系有以下三种：
1、直线在平面内：如果一条直线a与平面α有两个不同的公共点，那么这条直线就在这个平面内，记作a⊂α.
2、直线与平面相交：直线a与平面α只有一个公共点A，叫做直线与平面相交，记作a∩α＝A，公共点A叫做直线a与平面α的交点．
3、直线与平面平行：如果一条直线a与平面α没有公共点，叫做直线与平面平行，记作a∥α.
二、直线与平面平行的判定定理：
1、文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，该直线与此平面平行
2、符号：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.
3、图形：
三、直线与平面平行的性质定理
1、文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．
2、符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.
3、图形语言：
题型一 线面平行的判定与性质定理
【例1】下列条件中，能得出直线与平面平行的是（ ）
A．直线与平面内的所有直线平行
B．直线与平面内的无数条直线平行
C．直线与平面没有公共点
D．直线与平面内的一条直线平行
【答案】C
【解析】对A，直线与平面内的所有直线平行不可能，故A错误；
对B，当直线在平面内时，满足直线与平面内的无数条直线平行，但与不平行，故B错误；对C，能推出与平行；对D，当直线在平面内时，与不平行.故选：C.
【变式1-1】下列命题正确的是（ ）
A．若直线上有无数个点不在平面内，则直线和平面平行
B．若直线与平面相交，则直线与平面内的任意直线都是异面直线
C．若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内
D．若直线与平面平行，则这条直线与平面内的直线平行
【答案】C
【解析】对于A，若直线上有无数个点不在平面内，则直线可能与平面相交，故A错误；
对于B，若直线与平面相交，则直线与平面内的任意直线可能相交，也可能是异面直线，故B错误；
对于C，根据平面的基本性质可知若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内，故C正确；
对于D，若直线与平面平行，则这条直线与平面内的直线平行或异面，故D错误.故选：C.
【变式1-2】直线a与平面不平行，则内与a平行的直线有（ ）
A．无数条 B．0条 C．1条 D．以上均不对
【答案】D
【解析】因为直线与平面不平行，所以直线与平面的关系有两种，即以及直线与平面相交.当时，显然在内与a平行的直线有无数条；
当直线与平面相交时，设.当，且时，此时，即直线、相交；
当，且时，可知直线、异面.
综上所述，当直线与平面相交时，内与a平行的直线有0条.所以，直线a与平面不平行，则内与a平行的直线有无数条或0条.故选：D.
【变式1-3】下列命题中正确的个数是（ ）
①若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥α；
②若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都平行；
③若直线a∥直线b，直线b∥平面α，则直线a∥平面α；
④若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】对于①，若直线a上有无数个点不在平面α内，则直线a可能与平面α相交，
也可能与平面α平行，所以①错误，
对于②，当直线a∥平面α时，直线a与平面α内直线平行或异面，所以②错误，
对于③，当直线a∥直线b，直线b∥平面α，则直线a∥平面α，或直线a在平面α内，所以③错误，
对于④，当直线a∥平面α时，则直线a与平面α无公共点，所以直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点，所以④正确，故选：B
题型二 线面平行的判断
【例2】已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若m//，m//n，则n// B．若m//，n//，则m//n
C．若m//，n，则m//n D．若m//，m，＝n，则m//n
【答案】D
【解析】如图，长方体中，平面视为平面，
对于A，直线AB视为m，直线视为n，满足m//，m//n，而，A不正确；
对于B，直线AB视为m，直线BC视为n，满足m//，n//，
而m与n相交，B不正确；
对于C，直线AB视为m，直线视为n，满足m//，n，显然m与n是异面直线，C不正确；
对于D，由直线与平面平行的性质定理知，D正确.故选：D
【变式2-1】已知a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题（ ）
①，；②，；
③，；④，；
⑤，，．
A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤
【答案】A
【解析】由题意，①，，故，故正确；
②，，则与有可能平行、相交、异面，故错误；
③，则或，故错误；
④，；则与可能平行或相交，故错误；
⑤，，，由线面平行的判定定理可得，故正确.故选：A.
【变式2-2】已知A、B、C、D是不共面四点，M、N分别是、的重心．以下平面中与直线平行的是（ ）
①平面； ②平面； ③平面； ④平面．
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】B
【解析】如图，取中点为，连结、.
由已知以及重心定理可得，，，
则，.
所以，所以.
因为平面，平面，所以平面，故①正确；
因为平面，平面，所以平面，故②正确；
因为平面，平面，所以与平面不平行，故③错误；
因为平面，平面，所以与平面不平行，故④错误.故选：B.
【变式2-3】如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于选项B，如图1，连接CD，
因为M，N，Q为所在棱的中点，所以CDMQ，
由于ABCD，所以ABMQ，
因为平面，平面，
所以AB平面MNQ，B选项不满足题意；
对于选项C，如图2，连接CD，
因为M，N，Q为所在棱的中点，所以CDMQ，
由于ABCD，所以ABMQ，
因为平面，平面，
所以AB平面MNQ，C选项不满足题意；
对于选项D，如图3，连接CD，
因为M，N，Q为所在棱的中点，所以CDNQ，
由于ABCD，所以ABNQ，
因为平面，平面，所以AB平面MNQ，
可知D不满足题意；
如图4，取BC的中点D，连接QD，
因为Q是AC的中点，所以QDAB，
由于QD与平面MNQ相交，
故AB与平面MNQ不平行，A正确.故选：A
题型三 中位线法证明线面平行
【例3】长方体中，是矩形的中心，是矩形的中心．证明：平面.
【解析】证明：连结、、.由已知可得，点是的中点，点是的中点，所以，是的中位线，所以.
又平面，平面，所以平面.
【变式3-1】如图，四棱锥中，O为底面平行四边形DBCE对角线的交点，F为AE的中点．求证：平面DCF．
【解析】连接OF，O为底面平行四边形DBCE对角线的交点，则
△中，，，则
又平面，平面，则平面DCF．
【变式3-2】如图，P为圆锥的顶点，四边形ABCD为底面圆的内接平行四边形，AC为底面圆的直径，为的中点．求证：平面．
【解析】由题意可知，设，如图所示
因为四边形ABCD为底面圆的内接平行四边形，AC为底面圆的直径，
所以为的中点，为的中点. 连接，
即为的中位线，所以，
又因为平面，平面，
所以平面
【变式3-3】如图，在正四棱柱中，底面的边长为2，侧棱，是棱的中点，是与的交点．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）在正四棱柱中，四边形为矩形，则为的中点，
又为的中点，则有，
而平面，平面，所以平面．
（2）在正四棱柱中，，，的面积，
所以求三棱锥的体积．
题型四 平行四边形法证明线面平行
【例4】如图，四棱锥中，底面是平行四边形，、分别是、的中点．证明：平面．
【解析】证明：取的中点，连接、，
因为、分别是、的中点，所以且．
因为四边形为平行四边形，则且，
为的中点，则且，且，
所以，四边形为平行四边形，故，
平面，平面，平面.
【变式4-1】如图，在四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，，，E、、F分别为棱AD、、AB的中点．证明：直线平面．
【解析】证明：如图，取的中点，连接，，
因为，所以平面，
因此，平面即为平面．
连接，，因为，
所以四边形为平行四边形，
因此，又，所以，
而平面，平面，故平面．
【变式4-2】如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，为侧棱的中点，求证：平面
【解析】取的中点，连接，，
在中，，
在梯形中，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，又平面，平面，∴平面；
【变式4-3】在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，求证：平面.
【答案】证明见解析
【解析】证明：取的中点，连接，，
因为在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，
所以且，又且，
所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
题型五 利用定理证明线线平行
【例5】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
【解析】证明：如图，连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．
又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.
又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，
∴AP∥平面BDM.
又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，
∴AP∥GH.
【变式5-1】如图所示，在多面体中，四边形，，ABCD均为正方形，E为的中点，过，D，E的平面交于F．证明：.
【解析】因四边形，ABCD均为正方形，则，且，
因此四边形为平行四边形，
于是得，又平面，平面，则平面，
而平面平面，平面，所以.
【变式5-2】如图，E、F分别是空间四边形中边和的中点，过平行于的平面与交于点．求证：是中点．
【解析】证明：由已知可得，平面.
又平面，平面平面，所以.
又因为点是的中点，所以是中点．
【变式5-3】已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连接，，则过点.如图所示
∵平面，平面平面，平面，
∴，∵，∴.故选：B.
题型六 利用定理解决动点问题
【例6】如图，在三棱柱中，点，分别是棱，上的点，点是棱上的动点，，当点在什么位置时，平面？
【答案】当是的中点时，平面.
【解析】证明：过，，作平面交于点，连接，，
易知平面，又平面，
平面平面，所以.
又平面，平面，平面平面，
所以，所以四边形是平行四边形，所以.
而，，所以，，
故是的中位线.
所以当是的中点时，平面.
【变式6-1】如图所示，在四棱锥中，平面，，E是的中点．
（1）求证：；
（2）若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析.
【解析】证明：（1）在四棱锥中，
平面，平面，平面平面，∴，
（2）线段存在点N，使得平面，理由如下：取中点N，连接，，
∵E，N分别为，的中点，∴，
∵平面，平面，∴平面，
取AP中点F,连结EF,BF，，且，
因为，，所以，且，
所以四边形BCEF为平行四边形，所以.
又面PAB，面PAB，所以平面；
又，∴平面平面，
∵M是上的动点，平面，∴平面PAB，
∴线段存在点N，使得MN∥平面．
【变式6-2】如图，在正方体中，分别是的中点.
（1）证明：平面；
（2）棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，
【解析】（1）连接，
分别为中点，，
，，
四边形为平行四边形，，
，又平面，平面，
平面.
（2）假设在棱上存在点，使得平面，
延长交于，连接交于，
，为中点，为中点，
，，，
平面，平面，平面平面，
，又，
四边形为平行四边形，，
；
当时，平面.
【变式6-3】如图，在正四棱柱中，，点为棱上的点，且满足．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】（1）∵是正四棱柱，
∴，四边形是矩形，∴，
∴求异面直线与所成角的余弦值即是求与所成角的余弦值，
在中，，，
∴；
（2）如图，当点为的三等分点（靠近点）时，使得平面，
作的中点，连接，，连接交于点，连接，
由棱柱的性质可知，∴四边形是平行四边形，∴，
又∵点，分别是，的中点，∴，
由平面公理4可得，又∵平面，平面，
∴平面，此时．
8.5.2 直线与平面平行
【题型1 线面平行的判定与性质定理】
1、下列说法中，与“直线a∥平面α”等价的是（ ）
A．直线a上有无数个点不在平面α内
B．直线a与平面α内的所有直线平行
C．直线a与平面α内无数条直线不相交
D．直线a与平面α内的任意一条直线都不相交
【答案】D
【解析】A.无数个点不是所有点，所以不正确；B. 可以平行 可以异面，所以不正确；
C. 无数条直线不是所有的直线，所以不正确；D. 由直线与平面平行的定义，正确.故选：D.
2、过直线外两点，作与平行的平面，则这样的平面（ ）
A．不可能作出 B．只能作出一个 C．能作出无数个 D．上述三种情况都存在
【答案】D
【解析】过直线l外两点作与l平行的平面，如果两点所在的直线与已知直线相交,则这样的平面不存在;如果两点所在的直线与已知直线平行,则这样的平面有无数个;如果两点所在的直线与已知直线异面,则这样的平面只有一个.因此只有D正确.故选：D
3、直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（ ）
A．只有一条，不在平面α内 B．有无数条，不一定在平面α内
C．只有一条，且在平面α内 D．有无数条，一定在平面α内
【答案】C
【解析】由推论1可知：，则，，过与确定一平面β，由基本事实3可知：平面α与平面β有一交点，则有一条唯一的交线，设为b，因为直线a∥平面α，，，所以a∥b.故选：C．
4、（多选）若直线不平行于平面，且，则下列说法正确的是（ ）
A．内存在一条直线与平行 B．内不存在与平行的直线
C．内所有直线与异面 D．内有无数条直线与相交
【答案】BD
【解析】A. 若内存在一条直线与平行，则由线面平行的判定定理知 ，故错误；
B. 因为直线不平行于平面，且，所以直线与平面相交，
故内不存在与平行的直线，故正确；
C. 因为直线不平行于平面，且，所以直线与平面相交，
在内过交点的直线与共面，故错误；
D. 因为直线不平行于平面，且，所以直线与平面相交，
在内过交点的直线有无数条与相交，故正确；故选：BD
5、（多选）为平面，有下列命题，其中假命题的是（ ）
A．若直线l平行于平面内的无数条直线，则
B．若直线a在平面外，则
C．若直线，直线，则
D．若直线，则a平行于平面内的无数条直线
【答案】ABC
【解析】A选项， 若直线l平行于平面内的无数条直线，则可能含于，A为假命题.
B选项，若直线a在平面外，则可能与相交，B为假命题.
C选项，若直线，直线，则可能含于，C为假命题.
D选项，由于直线，不妨设，则，所以，
所以a平行于平面内的无数条直线，D为真命题.故选：ABC
【题型2 线面平行的判断】
1、在三棱锥中，点E，F分别在上．若，则直线与平面的位置关系为（ ）
A．平行 B．相交 C．平面 D．不能确定
【答案】A
【解析】因为，所以．又平面平面，所以平面．故选：A
2、已知直线a、b和平面，下面说法正确的是( )
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，则
【答案】C
【解析】对于A，若，，则或，故A错误；
对于B，若，，则或，故B错误；
对于C，若，，，则，故C正确；
对于D，若，，则，a与b相交，或a与b异面，故D错误．故选C．
3、设，，为不同的直线，，，为不同的平面，则下列结论中正确的有（ ）
①若，，则；
②若，，则；
③若，，，则；
④若，，则．
A．①③ B．②④ C．②③ D．②
【答案】A
【解析】由平行的传递性知①正确；若，，可能平行，也可能相交或异面，②错误；由线面平行的性质知③正确；若，，则或，④错误.故选：A.
4、在正方体中，分别是的中点，则下列说法中错误的是（ ）
A．平面 B．平面 C．平面 D．平面
【答案】C
【解析】如图所示，连接和相交于点O，则O为，的中点.
对于A，连接，则,因为平面，平面，
所以平面，故A正确；
对于B，易知,因为平面，平面，所以平面，故B正确；
对于C，因为,所以与平面相交，故C错误；
对于D，易知,因为平面,平面，
所以平面，故D正确.故选:C.
5、（多选）如图所示，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列满足平面ABC的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】对于A，如图所示，点，为正方体的两个顶点，则，所以、、、四点共面，同理可证，即、、、四点共面，平面，故A错误；
对于B，如图所示，为正方体的一个顶点，则，，平面，平面，所以平面，同理可证平面，又，、平面，平面平面，又平面，平面，故B正确；
选项C，如图所示，为正方体的一个顶点，则平面平面，
平面，平面，故C正确；
对于D，连接，则，，，，四点共面，
平面，与平面相矛盾，故D错误．
故选：BC．
【题型3 中位线法证明线面平行】
1、如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，D为BC的中点，连接AD，DC1，A1B，AC1，求证：A1B∥平面ADC1.
【解析】证明：如图，连接A1C，设A1C∩AC1＝O，再连接OD.
由题意知，A1ACC1是平行四边形，所以O是A1C的中点，
又D是CB的中点，
因此OD是△A1CB的中位线，即OD∥A1B.
又A1B平面ADC1，OD⊂平面ADC1，
所以A1B∥平面ADC1.
2、如图，在正方体中，M，O分别是，AC的中点．求证：平面．
【解析】证明：连接.
因为为正方形，所以M是的中点，
所以，又O是AC的中点，所以.
因为平面，平面，
所以OM∥平面.
3、如图，正四棱锥的高，，，为侧棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：因为四边形为正方形，，则为的中点，
因为为的中点，则，
又因为平面，平面，所以，平面.
（2）在正四棱锥中，为底面的中心，则底面，
因为为的中点，则点到平面的距离为，
，
因此，.
4、如图，在直三棱柱中，点为的中点，，，.
（1）证明：平面.
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：连接，交于，连接，
因为是直三棱柱，所以为中点，
而点为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面．
（2）过作于，
因为是直三棱柱，点为的中点，
所以，且底面，所以,
因为，所以，则 ,
所以．
5、如图所示，在直三棱柱中，是的中点.
（1）证明：平面；
（2）设，求几何体的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）连接交于，连接，如图，则是中点，
又是中点，所以，
又平面，平面，所以平面；
（2）因为，，所以，
所以，，
．
【题型4 平行四边形法证明线面平行】
1、如图，三棱柱中，分别是棱的中点，求证：平面．
【解析】连接，因为分别是的中点，
所以且，
因为是三棱柱，
所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以且．
因为是的中点，
所以且，
所以且，
所以四边形是平行四边形，所以．
又平面平面，所以平面．
2、已知正方形，如图，，分别是，的中点，将沿折起，如图所示，求证：平面.
【解析】因为，分别是，的中点，所以
又，所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，而平面，所以平面.
3、如图，在棱长为4的正方体中，E是上的动点，F是CD的中点.
（1）求三棱锥的体积；
（2）若E是的中点，求证：平面.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）在正方体中，平面，
所以点在上运动时，到平面的距离为4，
所以.
（2）连接交于点，连接，，，
因为，且，，且，
所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
4、如图，正方形和四边形所在平面相交．，，．求证：平面．
【解析】设，交于点，连接，
因为四边形是正方形，，
所以，，，
又因为，所以，
又，所以四边形为平行四边形，所以．
又因为平面，平面，所以平面．
5、如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，点B、C、D在底面圆周上，∥，，，M为线段OD上一点，，A为PC的中点.
（1）证明：∥平面POB；
（2）求四棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）如图，由已知得.
取BP的中点T，连接OT，TA，
因为A为PC中点，
所以∥，.
因为∥，所以∥，，
所以四边形为平行四边形，所以∥，
因为平面，平面，所以∥平面.
（2）因为A为PC的中点，所以A到平面OBCM的距离为.
取BC的中点E，连接OE，OC.由得，.
由∥得四边形为梯形，故.
所以四棱锥的体积.
【题型5 利用定理证明线线平行】
1、如图，四棱锥的底面为正方形，且平面，设平面与平面的交线为，证明：.
【解析】证明：因为四边形为正方形，，
平面，平面，平面，
平面，平面平面，因此，.
2、如图E、H分别是空间四边形ABCD的边AB，AD的中点，平面过EH分别交BC、CD于F、G，求证：EH//FG.
【解析】因为E、H分别是AB，AD的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，平面平面，所以.
3、已知：直线a∥平面M，直线a∥平面N，平面M∩平面N＝b.求证：a∥b.
【解析】证明：如图，过直线a任意作两个平面P，Q与平面M和平面N分别交于直线c，d.
因为直线a∥平面M，平面P，平面P平面M，
所以a∥c，同理可得a∥d，从而c∥d，
因为c平面N，d平面N，所以c∥平面N，
又因为c平面M，平面M∩平面N＝b，所以c∥b，
因为a∥c，所以a∥b.
4、如图所示，四边形是矩形，平面，过作平面交于点，交于点，求证：四边形是梯形．
【解析】因为，平面，平面．
所以平面．又因为平面，
平面平面．所以．
又因为．所以四边形是梯形．
5、如图，三棱柱在圆柱中，等腰直角三角形，分别为上、下底面的内接三角形，点，分别在棱和上，，，平面，求的值
【答案】
【解析】如图，过点作交于点，连接，
，，与确定一个平面，
平面，平面平面，，
四边形为平行四边形，，
又，，
，.
【题型6 利用定理解决动点问题】
1、如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置.
【答案】M是AC的中点
【解析】若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBMN交AE于点N，连接MN，NF.
因为BF∥平面AA1C1C，BF⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，所以BF∥MN.
又MB∥平面AEF，MB⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF＝FN，
所以MB∥FN，所以BFNM是平行四边形，
所以MN∥BF，MN＝BF＝1.
而EC∥FB，EC＝2FB＝2，
所以MN∥EC，MN＝EC＝1，
故MN是△ACE的中位线.
所以当M是AC的中点时，MB∥平面AEF.
2、如图，四边形为正方形，为等腰直角三角形，，是线段的中点，在直线上是否存在一点，使得平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】存在，当点是线段的中点时，平面.
【解析】存在点，当点是线段的中点时，平面，利用如下：
如图，取的中点，连接，，则且，
又且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
3、如图所示，在四棱柱中，已知，．在DC上是否存在一点E，使平面？若存在，试确定点E的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】存在，理由见解析
【解析】存在，当点E是DC的中点时，有平面．
连接BE，∵E是DC的中点，∴．
又∵，，∴，
∴四边形为平行四边形，
∴．
又∵，∴，
∴四边形为平行四边形，∴．
又∵平面，平面，∴平面．
4、如图，四棱锥中，平面
.M是CD中点，N是PB上一点.
（1）若求三棱锥的体积；
（2）是否存在点N,使得平面,若存在求PN的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】（1），
由面面且交线是，又，面，
所以平面，又MD，
点到平面的距离是，
又，则，
三棱锥的体积.
（2）存在.
，连接并延长至于交于点，
，在中：，
在中：在上取点，使得，
而，则，又平面，平面，平面，
在中，，.
5、如图所示，正四棱锥P—ABCD的各棱长均为13，M为PA上的点，且PM∶MA=5∶8.
（1）在线段BD上是否存在一点N，使直线MN平面PBC？如果存在，求出BN∶ND的值，如果不存在，请说明理由；
（2）假设存在满足条件（1）的N点，求线段MN的长.
【答案】（1）存在，；（2）7
【解析】（1）存在，；理由如下：
连接并延长，交于，连接.
因为正方形中，，所以;
又因为，
所以；平面，平面，
所以平面.
（2）由（1）得，所以；
中，，所以；
因为，所以所以.