高中数学人教A版 (2019)必修 第二册空间直线、平面的平行优秀课时训练

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册空间直线、平面的平行优秀课时训练，文件包含人教A版高中数学必修第二册考点通关练26线线线面面面垂直常见4种考法归类原卷版doc、人教A版高中数学必修第二册考点通关练26线线线面面面垂直常见4种考法归类解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共56页， 欢迎下载使用。
空间中直线与直线的位置关系——平行、相交、异面
2、证明线面垂直的方法：
一是线面垂直的判定定理；
如果一条直线和平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
二是利用面面垂直的性质定理；
如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面内的一条直线垂直于它们的交线也垂直于另外一个平面.
三是平行线法
如果两条平行线中的一条和一个平面垂直，那么另外一条也和这个平面垂直.
3、常见的证明线线垂直的方法：
（1）相交直线
①等腰三角形（等边三角形）的“三线合一”
如图：AB=AC,D为BC中点，则
②勾股定理的逆定理
如图：如果，则

③正方形、菱形的对角线互相垂直。
如图：四边形ABCD是菱形，所以
④直径所对的圆周角是
如图：AB是圆的直径，
（2）异面直线
①通过证线面垂直证线线垂直
注：若题目要证已知且是异面直线，要证，一般是证所在的平面。
注：直棱柱的侧棱垂直于底面，圆柱的母线垂直于底面
②平移法：通过三角形的中位线或者构造平行四边形进行平移
4、面面垂直的性质
在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
考点一 证线线垂直
考点二 证线面垂直
考点三 证面面垂直
考点四 面面垂直性质的应用
考点一 证线线垂直
1．（2023春·全国·高一专题练习）如图，直三棱柱，.证明：
【答案】证明见解析
【分析】利用线面垂直的判定定理和性质定理求解即可.
【详解】因为直三棱柱，
所以平面，并且平面
所以，
又因为，且，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以.
2．（2023春·上海浦东新·高二上海市洋泾中学校考阶段练习）如图，是圆柱的一条母线，是圆柱的底面直径，在圆柱下底面圆周上，是线段的中点．已知，.
(1)求圆柱的体积；
(2)求证：
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）计算出圆柱的底面半径，再利用柱体的体积公式可求得该圆柱的体积；
（2）推导出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立.
【详解】（1）解：设圆柱的底面半径为，
因为，是圆柱的底面直径，在圆柱下底面圆周上，且，，则，
由勾股定理可得，所以，，
因此，该圆柱的体积为.
（2）证明：因为平面，平面，所以，，
又因为，，、平面，所以，平面.
因为平面，所以，.
3．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，底面为边长为2的菱形且对角线与交于点，底面，点是的中点.
(1)求证：；
(2)若三棱锥的体积为1，求的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将线线垂直转化为平面，根据线面垂直判定定理可证；
（2）根据体积转化，然后由体积公式可得.
【详解】（1）为菱形，
.
平面平面，
.
，平面,平面
平面.
平面，.
（2）点是的中点，，.
，
又，
.
4．（2023·广西·统考模拟预测）如图，三棱柱的侧面为菱形，.
(1)证明：；
(2)若，求四棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明平面，即可根据线面垂直的性质证明结论；
（2）证明平面，即可求出四棱锥的高，根据棱锥的体积公式即可求得答案.
【详解】（1）证明：连接，，设，连接.
为菱形，
，且为的中点，
又平面，
平面，平面，
（2）由（1）知平面，又平面，
又为的中点，，
由菱形，则为正三角形，
，
，
平面，平面，
而,
.
5．（2023·河南焦作·统考模拟预测）如图1，在中，，，为的中点，为上一点，且．现将沿翻折到，如图2．
(1)证明：．
(2)已知，求四棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据条件，证明平面，再由线面垂直的性质得到线线垂直即可；
（2）根据条件，求出四棱锥的底面面积和高，再求出四棱锥的体积即可.
【详解】（1）证明：在中，，
∴，，
∵，平面,平面,
∴平面,又平面，
∴.
（2）作交于,
∵平面，平面，∴，
又,平面，平面，
∴平面.
在中，，，
，，又为的中点，，
，又， .
四边形的面积,
四棱锥的体积.
6．（2023秋·四川广元·高二统考期末）如图，边长为3的正方形ABCD中，点E是线段AB上的动点，点F是线段BC上的动点，均不含端点，且满足，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点P.
(1)求证：；
(2)当时，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线线垂直证平面，再证；
（2）由等体积法求.
【详解】（1）证明：A，C重合于P，∵，∴，∵，∴，
又平面，平面，，∴平面，
∵平面PEF，∴；
（2）由已知得，，，
则在中，边上的高.
则，
∴.
考点二 证线面垂直
7．（2023春·广东广州·高二广州市协和中学校考阶段练习）如图，在三棱柱中，，E、F分别为线段的中点．
(1)求证：∥面；
(2)求证：面．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
【分析】（1）利用三角形中位线证得，由此证得，从而证得平面.
（2）首先通过证明平面，证得，由此证得，
根据等腰三角形的性质证得，由此证得平面.
【详解】（1）因为E，F分别为线段的中点，
所以，因为，所以．
又因为平面，，
所以面．
（2）因为，平面,平面
所以平面．因为平面，所以．
又因为，所以．
因为，E为的中点，所以，
因为，面,面,
所以面．
8．（2023春·河南周口·高三校考阶段练习）在直三棱柱中，，，，D在线段上，且．
(1)求证：平面；
(2)求四棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面垂直和面面垂直的判定定理和性质定理即可证明；
（2）由知，求出，代入即可得出答案.
【详解】（1）证明：在中，由，，得．
又，∴，．
易证，∴，即，
又平面平面，平面平面，
，∴AC⊥平面，而平面，∴，
由，，，平面ACD，知平面ACD．
（2）由知，
而，
∴.
9．（2023秋·山东东营·高二统考期末）如图，在平行六面体中，底面是菱形，E为的中点，．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
【答案】(1)证明见解析.
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论；
（2）作平面于点I，作于点G，于点K，连接，需证明I在上，再证明，结合，根据线面垂直的判定定理即可证明结论.
【详解】（1）证明：如图，在平行六面体中，底面是菱形，
连接，交于O点，则O为的中点，连接，
因为E为的中点，故,
因为平面，平面，
故平面；
（2）证明：作平面于点I，作于点G，于点K，
连接，
因为，,故≌,
所以,
∵平面，平面，∴,
故≌,故,
又平面，平面,故,又，
平面,故平面，
平面，故,同理可证,结合，
可知I在的平分线上，即I在上，则平面，
而平面，平面,故,
又底面是菱形，则 ,
平面，故平面.
10．（2023·河北·高三学业考试）如图，已知矩形ABCD所在平面，BD与AC相交于O点，M，N分别是AB，PC的中点.
(1)求证：平面PAD；
(2)若，求证：平面PCD.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析
【分析】（1）利用线面平行判定定理即可证明平面PAD；
（2）先利用，求得，再利用线面垂直判定定理即可证明平面PCD.
【详解】（1）∵M，O分别是AB，BD的中点，∴.
又∵平面PAD，平面PAD，
∴平面PAD.
（2）如图，连接PM，MC，NO，
∵，∴.
由矩形ABCD所在平面，可得，
易证，得.
∵N为PC的中点，∴.
∵N，O分别是PC，AC的中点，∴.
∵平面ABCD，∴平面ABCD，又平面ABCD，
∴，∵，，∴.
又∵，平面MNO，平面MNO.
∴平面MNO,又∵平面MNO，∴.
又，，平面PCD，平面PCD
∴平面PCD.
11．（2023·青海·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，是棱上的一点，且．
(1)证明：平面．
(2)若，，求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用菱形、等腰三角形的性质以及线面垂直的判定定理.
（2）利用线面垂直的判定定理、性质定理以及等体积法进行求解.
【详解】（1）证明：记，连接，则是，的中点．
因为四边形是菱形，所以．
因为，且是的中点，所以．
因为，平面，且，
所以平面．
（2）
连接．因为，且是的中点，所以．
因为，，平面，且，所以平面．
因为，，所以，，所以，
故三棱锥的体积，
因为，所以．
过点作，垂足为，
由题中数据可得，，则．
因为平面，且平面，所以，
则的面积．
设点到平面的距离为，则，解得．
12．（2023秋·广东河源·高二龙川县第一中学校考期末）如图,在四棱锥中,底面ABCD为正方形,底面ABCD,,E为线段PB的中点,F为线段BC的中点．
(1)证明:平面PBC;
(2)求点P到平面AEF的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】(1)先根据底面ABCD,得到,再根据,利用线面垂直的判定定理证明平面PAB,即,再根据一次线面垂直的判定定理证明平面PBC;
(2)先根据长度及垂直关系得到进而得到的面积,再计算出,根据等体积法即可求得点P到平面AEF的距离.
【详解】（1）证明:因为底面ABCD,平面ABCD,所以．
因为ABCD为正方形,所以,
因为,平面PAB,平面PAB,所以平面PAB,
因为平面PAB,所以,
因为,E为线段PB的中点,所以,
又因为,平面PBC,平面PBC,所以平面PBC.
（2）由F是BC的中点．所以,
因为底面ABCD,平面ABCD,
所以,因为E为线段PB的中点,
所以,
由(1)知平面PBC,平面PBC,
所以,所以,
所以,
因为,所以,
由(1)知平面PAB,所以平面PAB,
设点P到平面AEF的距离为h,
则有,
解得,所以点P到平面AEF的距离为．
13．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形是正方形，平面，，．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线线垂直证明线面垂直即可；
（2）通过图形中的垂直关系得到三棱锥的底面积和高，利用三棱锥的体积公式求解即可.
【详解】（1）因为四边形是正方形，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为，平面，所以平面．
（2）因为平面，平面，所以，
因为，所以点到的距离为4，，
因为，，，平面，
所以平面,
所以点到平面的距离为4，
所以．
14．（2023·全国·高三对口高考）如题图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形．为上一点，.
(1)求证：平面；
(2)若，圆锥的侧面积为．求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，先证明平面，进而可得，再结合，即可证明平面；
（2）根据题意，结合勾股定理与侧面积公式，即可求出圆锥底面半径为和母线长为，再根据棱锥的体积公式，即可求解.
【详解】（1）证明：连接OC，因为，所以，
因为为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，
所以平面，平面，
所以，，即
因为是底面的内接正三角形，O是圆锥底面的圆心，
所以，
因为平面，
所以平面POC，
因为平面POC，
所以，
因为，平面，
所以平面．
（2）解：设圆锥的母线为，底面半径为，则圆锥的侧面积为，即，
因为，，解得，，
所以，，
所以，在等腰直角三角形中，，
在中，，
所以，三棱锥的体积．
15．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)在对角线上是否存在点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【分析】（1）连结，交于点，连结．利用线面平行的判定定理证明出平面；
（2）利用等体积可得，即可解出点到平面的距离；
（3）在对角线上存在点，且，使得平面．由平面，得到，即可求得时，平面．
【详解】（1）连结，交于点，连结．
因为四边形是正方形，所以是的中点，又是的中点，
所以．因为平面，平面，所以平面．
（2）因为正方体的棱长为1，是的中点，
所以,所以边上的高为，所以.
因为，所以，解得：，即点到平面的距离为．
（3）在对角线上存在点，且，使得平面．
证明如下：因为四边形是正方形，所以．
因为平面，平面，所以．因为，所以平面．
因为平面，所以平面平面．作于，因为，所以．
因为平面，平面平面，所以平面．
由,得．所以当时，平面．
16．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点．
（1）求证：BM//平面PAD．
（2）平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在；N为AE的中点．
【分析】（1）取PD的中点E，连接EM，AE，由中位线性质可证ABME是平行四边形，根据线面平行的判定可证BM∥平面PAD．
（2）由线面垂直的判定及性质可得PD⊥平面ABME，作MN⊥BE，交AE于点N，由线面垂直的性质得MN⊥PD，即有MN⊥平面PBD，利用△BME∽△MEN得到线段比例关系证N为AE的中点.
【详解】（1）证明：取PD的中点E，连接EM，AE，则有且，而且，
∴，.
∴四边形ABME是平行四边形，即BM∥AE．
∵AE⊂平面PAD，BM⊄平面PAD，
∴BM∥平面PAD．
（2）解：当N为AE的中点时，MN⊥平面PBD．理由如下：
∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD＝A，即AB⊥平面PAD，
∵PD⊂平面PAD，
∴AB⊥PD，又PA＝AD，E是PD的中点，即AE⊥PD，而AB∩AE＝A，
∴PD⊥平面ABME．
作MN⊥BE，交AE于点N，
∴MN⊥PD，又PD∩BE＝E，
∴MN⊥平面PBD．
易知△BME∽△MEN，而，
∴，即，而，
∴N为AE的中点．
【点睛】关键点点睛：
（1）由中位线性质证平行四边形，根据线面平行的判定证线面平行；
（2）综合应用线面垂直的判定及性质证MN⊥平面PBD，结合三角形相似确定N的位置.
考点三 证面面垂直
17．（2023·全国·高一专题练习）已知平面，，是正三角形，.求证：平面平面；
【答案】证明见解析
【分析】取中点为，通过证明面，即可由线面垂直证明面面垂直；
【详解】取中点分别为，连接，如下所示:
因为面，面，故；又为等边三角形，故；
又面，，故面；
又在中，分别为的中点，故，；
因为面，面，故，又；
故，则四边形为平行四边形，则，
故面，又面，故面面.
18．（2023·河南安阳·统考二模）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为菱形，，，，，，点F在平面ABCD内的射影恰为BC的中点G．
(1)求证：平面平面BED；
(2)求该几何体的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)20
【分析】（1）设AC与BD交于点O，连接OG，OE．由题可证，从而可得OE⊥平面ABCD，由此可证明结论；
（2）由（1）及题目条件，可得.过G点向CD作垂线，垂足为H，连接FH，过G作GQ垂直于FH，垂足为Q，可得B点到平面CDEF的距离，由此可得.则该几何体的体积为.
【详解】（1）如图，设AC与BD交于点O，连接OG，OE．
因为O，G分别为BD，BC的中点，所以，．
因为，，所以四边形EFGO为平行四边形，所以.
又FG⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD．
因为平面ABCD，所以OE⊥AC，
又四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD．
因为平面BED，平面BED，，所以AC⊥平面BED.
又平面ACE，故平面ACE⊥平面BED；
（2）因为FG⊥平面ABCD，所以，，
所以，所以．
由（1）可知，由题可知，所以，
所以四边形CDEF为等腰梯形．
过G点向CD作垂线，垂足为H，连接FH．
因为，，平面FGH，平面FGH，，
所以平面FGH.又平面CDEF，故平面平面FGH．
过G作GQ垂直于FH，垂足为Q，则平面CDEF．
由题可知，，
因为，所以．
因为G为BC的中点，所以B点到平面CDEF的距离为．
又，
故．
又，
故该几何体的体积为．
19．（2023·四川遂宁·统考二模）如图，在三棱锥中，H为的内心，直线AH与BC交于M，，.
(1)证明：平面平面ABC；
(2)若，，，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设平面ABC于点N，过N作于E，于F，连接PE，PF，通过全等三角形及角平分线性质可证N与H重合，从而可证平面平面ABC；
（2）由（1）知平面ABC，且由已知可求长度，再由角平分线性质可求面积，从而可求三棱锥的体积．
【详解】（1）如图，设平面ABC于点N，过N作于E，于F，连接PE，PF．
∵平面ABC，平面ABC
∴
又∵ ∴平面PNE ∴，
同理
在，中，，
∴ ∴
在，中，，
∴，∴，即N到AB，AC的距离相等
同理N到BC，AC的距离相等，故N为的内心，N与H重合
∴平面ABC
又∵平面APM ∴平面平面ABC
（2）由已知可得，设的内切圆半径为r，
则，故，
因为H为的内心，所以AH平分，所以，
，所以，，
故的面积为，
因为， 所以，所以，得，
所以，，
故三棱锥的体积为．
20．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，，点在棱上，平面平面.
(1)证明：；
(2)若平面，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据面面垂直的性质得到平面，即可得证；
（2）连接交于点，连接，根据线面平行的性质得到，则为的中点，再证平面，从而得到，最后根据计算可得.
【详解】（1）证明：因为平面平面，平面平面，，平面．
平面，平面，
；
（2）解：
连接交于点，连接，
因为平面，平面平面，平面，
所以，因为为的中点，则为的中点，
因为，底面为平行四边形，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，
因为，，所以，
又，所以，则，所以，
所以，
所以.
21．（2023·河南·许昌实验中学校联考二模）在四棱锥中，四边形ABCD为等腰梯形，，，，．
(1)证明：平面平面PBC．
(2)若，，求点D到平面PBC的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据勾股定理及线面垂直的判定定理可得平面PBC，然后根据面面垂直的判定定理即得；
（2）根据面面垂直的性质定理结合条件可得三棱锥的体积，然后根据等积法即得.
【详解】（1）在等腰梯形ABCD中，，，，
过点C作于E，则，，，
所以，
则，所以．
又，，BC，平面PBC，
所以平面PBC，又平面ABCD，
所以平面平面PBC；
（2）连接BD，由（1）知平面平面PBC，因为，平面平面，平面，
所以平面BCD．
又，所以，
所以三棱锥的体积．
在中，因为，所以．
设点D到平面PBC的距离为d，所以三棱锥的体积．
由，得，
解得．
22．（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）如图，在几何体ABCDE中，面ABE，，，.
(1)求证：平面平面；
(2)，，CE与平面DAE所成角的正弦值为，求几何体ABCDE的体积.
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）根据线线平行证得，再结合线面垂直的性质定理与面面垂直的判定定理即可得证；
（2）首先确定直线CE与平面DAE所成角的平面角为，进而可求得，再结合锥体的体积公式运算求解.
【详解】（1）分别取的中点，连接，
则，，
由题意可得：，，则，，
故为平行四边形，则，
∵为的中点，且，则，
又∵平面ABE，平面ABE，则，
，平面，
故平面，
由，可得平面，
平面，故平面平面.
（2）由（1）可知：平面，故CE与平面DAE所成角为，
设，
∵平面ABE，平面ABE，则，
且，则，
可得，
由题意可得，且为锐角，
则，可得，
解得，即或（舍去），
又∵，则，
，，平面，
则平面，即四棱锥的高为，
故四棱锥的体积.
23．（2023·全国·模拟预测）四棱锥中，面，，底面ABCD中，，，.
(1)若点在线段上，试确定的位置，使面面，并给出证明；
(2)若，求四棱锥的体积.
【答案】(1)点是的中点，证明见解析
(2)
【分析】(1) 先取点是的中点，再应用面面垂直判定定理证明面面.
(2) 根据面面垂直得出面，EO的长就是四棱锥E-ABCD的高，再根据锥体体积公式计算即可.
【详解】（1）当点是的中点时，面面.证明如下：
由点是的中点，得，又，，
所以，，四边形是平行四边形.
根据，得四边形是矩形，故.
因为面，面，所以，
因为，面，面，
于是面，由于面，因此面面.
（2）因为面面，面面，
所以过点作于点，面,则面，EO的长就是四棱锥的高.
因为面EBC.所以，在中，，，
由勾股定理，得，所以，
于是，，根据，得.
根据，以及，，，
得四边形ABCD的面积为，
因此四棱锥的体积.
24．（2023春·浙江温州·高三统考开学考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形且，，．
(1)求的值；
(2)若，是否存在，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，.
【分析】（1）取线段的中点，连接、，证明出平面，可得出，进而可得出，利用勾股定理可求得的长；
（2）过点在平面内作，垂足为点，证明出平面，过点作，分别交、于点、，可得出平面平面，求出的长，可得出，即可得解.
【详解】（1）解：取线段的中点，连接、，
因为四边形是边长为的菱形，则，，
因为，由余弦定理可得，
，所以，即，
又且是的中点，,
，、平面，平面，
平面，，，，
，；
（2）解：过点在平面内作，垂足为点，
因为平面，平面，
所以，平面平面，
平面平面，平面，，
所以，平面，
过点作，分别交、于点、，
因为，则，
所以，、、、四点共面，
因为平面，
所以，平面平面，
因为，，，
则，
因为，，由余弦定理可得，
所以，，
，
所以，,
，
因为，所以，.
考点四 面面垂直性质的应用
25．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，平面底面，，，，．证明：
【答案】证明见解析
【分析】利用余弦定理和勾股定理可得，根据面面垂直的性质定理可得平面，进而即得.
【详解】证明：在四边形中，因为，，，，
由余弦定理得，，
解得，
所以，即，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，
所以．
26．（2023·青海西宁·统考二模）如图，在直角梯形ABCD中，，，四边形CDEF为平行四边形，平面平面ABCD，．
(1)证明：平面ABE；
(2)若，，，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接交于点，取的中点，连接，根据条件证明四边形为平行四边形，然后得到即可；
（2）取的中点为，连接，依次证明平面、平面，然后可求出点到平面的距离，然后根据算出答案即可.
【详解】（1）
证明：连接交于点，取的中点，连接，
因为四边形为平行四边形，所以为的中点，
所以，
因为，，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，即，
因为平面，平面，所以平面ABE，
（2）
取的中点为，连接，
因为，，所以为等边三角形，
所以，，
因为平面平面ABCD，平面平面ABCD ，平面，
所以平面，所以点到平面的距离为，
因为，平面，平面，
所以平面，
所以点到平面的距离为，
因为是直角梯形，，，，，
所以，
所以.
27．（2023·全国·高一专题练习）如图，四面体中，，，，E为AC的中点，且平面平面，若，．证明：
【答案】证明见解析
【分析】根据已知关系有得到，结合等腰三角形性质得到垂直关系，结合线面垂直的判定即可证明平面，再由线面垂直的性质证得结论即可.
【详解】如图，连接
因为，E为的中点，所以；
在和中，因为，
所以，所以，
又因为E为的中点，所以；
又因为平面，，所以平面，
因为平面，所以，.
28．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）如图，在三棱锥中，侧面底面，，，，、分别是、的中点.
(1)求证：；
(2)求四棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）在平面内作直线于、连接，根据三角形全等得到，即可得到平面，即可得到，再根据，即可得证；
（2）由（1）及题意可得底面，再由、、及锥体的体积公式计算可得.
【详解】（1）在平面内作直线于、连接，
∵，，
∴，
在与中，，、，
∴与全等，
∴，即，即，
∵，，，平面，
∴平面，又在平面内，∴，
∵、分别是、的中点，得，∴.
（2）由（1）和题意知，侧面底面，侧面底面，，平面，
所以底面，且，
∵为的中点，得，又与互补，
∴的面积与的面积相等，
∴①，
又∵是的中点，得点到平面的距离与点到平面的距离相等，
∴②，
由①②得
，
∴四棱锥的体积为.
29．（2023春·河南·高三清丰县第一高级中学校联考阶段练习）在直四棱柱中，四边形为平行四边形，平面平面．
(1)求证：；
(2)若，分别为，的中点，求到平面BDF的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明出平面，再利用线面垂直的判定定理证明出；
（2）连接，证明出平面BDF．进而求出点到平面BDF的距离.
【详解】（1）由题意知平面，平面，所以．
过在平面内作直线；交于点G，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
又平面，所以．
因为，，平面，所以平面，
又平面，所以．
（2）连接，由（1）知，因为，所以．
因为为中点，且，
所以，
，，，
，，
所以，因此，又因为，
所以平面BDF．
因为为的中点，所以点到平面BDF的距离为．
30．（2023·江西上饶·统考一模）如图，在中，，，D是线段AC上靠近点A的三等分点，现将沿直线BD折成，且使得平面平面CBD.
(1)证明：平面平面PCB；
(2)求点B到平面PCD的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据三角形中的边角关系由余弦定理可求解的长度，进而可得垂直关系，由面面垂直的性质即可求解，
（2）利用等体积法即可求解.
【详解】（1）在中，由余弦定理得，故,
在中，,,所以，
由于,故，所以,
由于平面平面CBD，平面平面,平面CBD, 所以平面,
又平面PCB,所以平面平面PCB，
（2）由平面，平面,所以,
所以,
故在中，,则，
故,
设B到平面PCD的距离为，则由等体积法得,即