高中数学人教A版 (2019)必修 第二册空间直线、平面的平行同步练习题

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1．已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】C
【详解】对于A，垂直于同一平面的两平面相交或平行，如图1，，，而，相交，故A错误；
对于B，平行于同一直线的两平面相交或平行，如图2，
满足，，但相交，B错误；
对于C，垂直于同一平面的两直线平行，故C正确；
对于D，平行于同一平面的两直线相交、平行或异面，
如图3，满足，，但相交，故D错误.
故选：C.
2．已知是不同的直线,是不同的平面,下列命题中真命题为（ ）
A．若,则
B．若,则
C．若,则
D．若,则
【答案】C
【详解】解:由题知,不妨将, 放在长方体中可知,关于选项A,如图所示可知A错误,
关于选项B,如图所示可知B错误,
关于选项D,如图所示可知D错误,
根据面面平行的性质定理可知,选项C正确.故选:C
3．已知为不同的平面，a，b为不同的直线，那么下列条件中能推出与平行的是（ ）
A．内有无数条直线与平行B．
C．直线，且D．内任何直线都与平行
【答案】D
【详解】解：对于A，内有无数条直线与平行，则与相交或平行，故A错误；
对于B，若，则与相交或平行，故B错误；
对于C，若直线，且，则与相交或平行，故C错误；
对于D，若内任何直线都与平行，则与平行，故D正确.
故选：D.
4．已知，，为三条不同的直线为三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，则D．若，，，，则
【答案】D
【详解】若，，则或，故A选项错误；若，，，则或与相交，故B选项错误．若，，则或，故C选项错误；若，，，，则，正确，证明如下：，，，，又，且，，则，故D选项正确；故选：D．
5．已知四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，且，点E是PD的中点，点F是棱PC上的点且，则平面BEF截四棱锥所得的截面图形是（ ）
A．斜三角形B．梯形
C．平行四边形D．两组对边均不平行的四边形
【答案】D
【详解】如图，延长EF和DC，设其交点为G，连接BG，延长DA并与直线BG交于点H，连接HE交PA于点K，连接KB，得四边形EFBK，假设，平面，平面，得平面PAD，（线面平行的判定定理的应用）因为，平面，平面，平面PAD，且,平面，所以平面平面PAD，（面面平行的判定定理的应用）与平面PBC与平面PAD有公共点P矛盾，故假设不成立，因此KE与BF不平行，同理可证KB与EF不平行，因此四边形EFBK的两组对边均不平行.
故选：D
6．如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
如图所示，分别取的中点，连接,因为为所在棱的中点，所以,所以，又因为平面，平面，所以平面；
因为 所以四边形为平行四边形，所以又平面，平面，所以平面；又因为,且平面,平面,
所以平面平面，因为是侧面内一点，且平面，则点必在线段上，
在直角三角形中，,
在直角三角形中，,
当在中点时，时，最短，
在时，最长，,,
所以线段长度的取值范围是故选:C.
7．在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F是侧面内的动点，若平面，则点F轨迹的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】如图所示：
取中点，中点，连接，因为，，所以，
平面，平面，所以平面，同理可证明平面，
又因为，平面，所以平面平面，当F的轨迹为线段时，此时平面，则有平面，此时.故选：B.
8．在如图所示的长方体中点为棱的中点，若为底面内一点，满足面，设直线与直线所成角为，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】取中点，取中点，连接，，，，，.
在长方体中，，，所以四边形为平行四边形，所以，
又因为，分别为，的中点，所以，所以，又因为平面，平面，所以平面.因为，，所以四边形为平行四边形，所以，又因为，分别为，的中点，所以，所以，
又因为平面，平面，所以平面.因为，平面，平面，所以平面平面.所以底面内满足满足面的点在线段上，又因为，所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角.
在线段上任取一点，连接，，因为底面，底面，所以，
所以为直角三角形，，在中，，，，因为点在线段上，所以当时，的长度最小，
此时可利用等面积法，解得，
所以的最小值为，当点和点重合时的长度最长为，
所以的最大值为，所以的取值范围是.故选：C.
二、多选题
9．下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中正确的关系有（ ）
A．B．DE∥平面ABFG
C．平面BDE∥平面AFHD．BE∥平面DGC
【答案】BC
【详解】还原为原正方体如图所示，
由图可知，与异面，故A错误；
因为，平面，所以平面，故B正确；
因为，平面，所以平面，因为，平面，所以平面，而，平面，所以平面平面，故C正确；
因为，与平面相交，所以与平面相交，故D错误.故选：BC.
10．如图，正方体的棱长为1，，，分别为线段，，上的动点（不含端点），则（ ）
A．异面直线与成角可以为
B．当为中点时，存在点，使直线与平面平行
C．当，为中点时，平面截正方体所得的截面面积为
D．存在点，使点与点到平面的距离相等
【答案】BC
【详解】对A：因为//，故与的夹角即为与的夹角，
又当与重合时，取得最大值，为；
当与点重合时，取得最小值，设其为，则，故；
又点不能与重合，故，故A错误；
对B：当为中点时，存在分别为的中点，满足//面，证明如下：
取的中点为，连接，如下所示：
显然//，又面面，故//面；
又易得//，面面，故//面；
又面，故面//面，
又面，故//面，故B正确；
对C：连接，如下所示：
因为////，故面即为平面截正方体所得截面；
又，故该截面为等腰梯形，又，，
故截面面积，故C正确；
对D：连接，取其中点为，如下所示：
要使得点到平面的距离等于点到平面的距离，只需经过的中点，显然当点分别为所在棱的中点时，不存在这样的点满足要求，故D错误.故选：BC.
三、填空题
11．已知正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，则与平面ADE的关系是______．
【答案】平面ADE
【详解】平面ADE，证明如下：
取的中点H，连接FH，，
因为E，F分别是，的中点，所以，
所以四点共面，且AE，又平面AED，平面AED，所以平面AED，
又AD FH，平面AED，平面AED，所以FH 平面AED，又，所以平面 平面ADE，因为平面，所以平面ADE
故答案为：平面ADE
12．已知正方体的棱长为2，点M、N在正方体的表面上运动，分别满足：，平面，设点M、N的运动轨迹的长度分别为m、n，则_______________.
【答案】
【详解】点M、N在正方体的表面上运动，由，则的轨迹为半径为2的球与正方体表面的交线，即3个半径为2的圆弧，故.
正方体中，平面，平面，故平面平面，当在上时，即满足平面且N在正方体的表面上，故，故.故答案为：
四、解答题
13．已知P是矩形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD.
【详解】证明：取DC中点H，联结HM，HN，
因为H是DC中点，N是PC中点，所以HN∥DP，因为平面PAD，平面PAD
则平面PAD；因为是PC中点，ABCD为矩形，所以HM∥DA，
因为平面PAD，平面PAD，则平面PAD；
又平面HNM，平面HNM，故平面HNM∥平面PAD，
∵MN⊂平面HNM，∴MN∥平面PAD．
14．如图，已知正方体的棱长为分别是的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)求证：平面；
(3)求三棱锥的体积.
【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3).
（1）由正方体的性质可得，∴四边形为平行四边形，
∴，平面，平面，∴平面，
同理可得平面，又，∴平面平面；
（2）由题可知，又，
∴，又平面，平面，∴平面；
（3）由题可知三棱锥的体积为.
15．如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，M，N分别为BC，PD的中点．
(1)证明：平面；
(2)若K为AD的中点，证明：平面平面．
（1）因为在四棱锥中，M，N分别为BC，PD的中点．取PA的中点R，连接NR，BR，
所以，且，，因为四边形ABCD是矩形，所以，且，
所以，且，所以四边形BMNR是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面；
（2）由（1）知平面，
因为K为AD的中点，M为BC的中点．四边形ABCD是矩形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，所以平面平面．
B能力提升
16．如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)若正方体棱长为1，过，，三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积．
【答案】(1)证明见解析；(2)作图见解析；截面的面积为
【详解】（1）证明：如下图所示，连接SB，
由为△的中位线，可得，
由平面，平面，可得EG平面；
由为△的中位线，可得，
由平面，平面，可得平面，
又，面，可得平面平面；
（2）取的中点N，连接，，显然，
所以为平行四边形，可得，，
取的中点M，连接，，显然，
所以为平行四边形，可得，，
综上，截面为平行四边形，又，
所以截面为菱形，截面的面积为．
17．如图①，在棱长为的正方体木块中，是的中点.
(1)求四棱锥的体积；
(2)要经过点将该木块锯开，使截面平行于平面，在该木块的表面应该怎样画线？（请在图②中作图，并写出画法，不必说明理由）.
【答案】(1)；(2)答案见解析.
【详解】（1）在正方体中，连接，如图，
且，则四边形为平行四边形，有，
三棱锥的体积，
所以四棱锥的体积.
（2）取棱的中点，连接、、，则就是所求作的线，如图：
在正方体中，连，因是的中点，为的中点，则，且，于是得四边形是平行四边形，有，而平面，平面，
因此平面，又，，即四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，于是有平面，
而，平面，从而得平面平面，所以就是所求作的线.
C综合素养
18．几何体是四棱锥，为正三角形，，，为线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得四点共面？若存在，请找出点，并证明；若不存在，并说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)存在，点为线段上靠近点的三等分点，证明见解析.
【详解】（1）取的中点，连接，如图，
因为分别为的中点，有，而平面平面，
则平面，又为正三角形，为等腰三角形，，有，
即有，而，于是得，平面平面，
因此平面，因，平面，则平面平面，又平面，所以平面.
（2）延长相交于点，连接交于点，连接，过点作交于点，如图，
因为平面，平面，平面平面，则，
即四点共面，由（1）及已知，，
得，即，又，则，
则有，即，点为线段上靠近点的三等分点，
所以线段上存在点，使得四点共面，点为线段上靠近点的三等分点.
19．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，且侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝2AD＝4．E，F，H分别是PA，PD，AB的中点，点G在线段PD上，且．
(1)当时，证明：平面BEF；
(2)当三棱锥F－EGH的体积为时，求的值．
【答案】(1)证明见解析;(2)或.
【详解】解：（1）证明：依题意，当时，G为FD中点，取AE中点M，连接MG，MH，
∵E，F分别是PA，PD的中点，∴，
又G，M分别是DF，AE的中点，∴，
∵平面BEF，平面BEF，∴平面BEF，
同理，M，H分别是AE，AB的中点，∴，
∵平面BEF，平面BEF，∴平面BEF，
又∵平面，∴平面平面BEF，
∵平面MHG，∴平面BEF；
（2）∵，∴，∴，
∴，解得或．