人教A版 (2019)选择性必修 第一册直线的方程一课一练

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1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.
2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.
3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的问题．
4.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.
5.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.
6.会用中点坐标公式求线段的中点坐标．
7.掌握直线的一般式方程.
8.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线.
9.会进行直线方程的五种形式之间的转化．
知识解读
知识点一 直线的点斜式方程和斜截式方程
【答案】斜率k 截距b y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b 纵坐标b
知识点二 直线的两点式方程和截距式方程
【答案】eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1) eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1 斜率存在且不为0 斜率存在且不为0，不过原点
知识点三 直线的一般式方程
关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程 (其中A，B不同时为0)叫做直线的 ，简称一般式．
(1)若直线的斜率k存在．直线可表示成y＝kx＋b，可转化为kx＋(－1)y＋b＝0，这是关于x，y的二元一次方程．
(2)若直线的斜率k不存在，方程可表示成x－a＝0，它可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0.
【答案】Ax＋By＋C＝0 一般式方程
知识点四 直线的五种形式的方程
【答案】y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b x1≠x2，y1≠y2 与坐标轴平行及过原点的直线 Ax＋By＋C＝0
知识点五 直线各种形式方程的互化
跟踪训练
一、单选题
1．若直线与直线平行，则m=（ ）
A．4B．C．1D．
【答案】A
【分析】由直线平行的条件可得.
【详解】因为直线与直线平行，所以，解得．
故选：A
2．已知直线过，并与两坐标轴截得等腰三角形，那么直线的方程是（ ）．
A．或B．或
C．或D．或
【答案】C
【分析】根据直线与两坐标轴截得等腰三角形可得直线得斜率为1或-1，利用直线方程得点斜式即可求解.
【详解】解：由题意可知，所求直线的倾斜角为或，即直线的斜率为1或-1，
故直线方程为或，
即或.
故选：C.
3．已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出斜率，再由直线的点斜式方程求解即可.
【详解】由题意知：直线的斜率为，则直线的方程为.故选：C.
4．过点且垂直于直线的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据所求直线垂直于直线，设其方程为，然后将点代入求解.
【详解】因为所求直线垂直于直线，
所以设其方程为，
又因为直线过点，
所以，
解得
所以直线方程为：，
故选：A.
5．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（ ）
A．1B．C．或1D．2或1
【答案】D
【分析】对a分类讨论，由截距相等列方程解出的值.
【详解】当时，直线，此时不符合题意，应舍去；当时，直线，在轴与轴上的截距均为0，符合题意；当且，由直线可得：横截距为，纵截距为.
由，解得：.
故的值是2或1.
故选：D
6．设，为不同的两点，直线.记，则下列结论中正确的个数是（ ）
①不论为何值，点都不在直线上；②若，则过的直线与直线相交；③若，则直线经过的中点.
A．0个B．1个
C．2个D．3个.
【答案】C
【分析】①通过分母不为0，确定，可以判断①的对错；②③通过对条件整理变形，利用直线的相关性质判断.
【详解】因为，分母不为0，所以，所以不论为何值，点都不在直线上，①正确；当时，设，（），则，为直线上的两个点，显然直线与直线平行，故过的直线与直线不会相交，②错误；当时，设，整理得：，因为，，所以的中点坐标为，故若，则直线经过的中点.③正确；正确的个数为2个；故选：C
7．不论实数m为怎样的实数，直线（ ）
A．互相平行
B．都经过一个定点
C．其中某一条直线与另两条直线垂直
D．其中不可能存在两条直线互相垂直
【答案】B
【分析】把直线方程整理为关于的方程，利用恒等知识求得直线过定点坐标，从而得结论．
【详解】直线方程整理为：，
由，得，所以直线过定点，不可能有平行的两条直线，存在两条相互垂直的直线，但不可能有一条直线与其中两条垂直．故选：B．
8．下列说法正确的是（ ）
A．当直线与的斜率，满足时，两直线一定垂直
B．直线的斜率为
C．过（，），（，）两点的所有直线的方程
D．经过点（1，1）且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
【答案】A
【分析】A. 当直线与的斜率，满足时，可得两直线一定垂直；B.分类讨论和两种情况；C.分类讨论：过两点的所有直线的方程为或或；D. 过点且在轴和轴上截距都相等，分类讨论：截距为0和不为0两种情况.
【详解】A.当直线与的斜率，满足时，两直线一定垂直，A项正确；B.直线，当时，其斜率为，所以不正确；C.过两点的所有直线的方程为或或，因此不正确；D.过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或，所以不正确；综上，只有A正确，故选：A.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点
B．直线在y轴上的截距为2
C．直线的倾斜角为60°
D．过点且平行于直线的直线方程为
【答案】AC
【分析】将直线方程化为，即可求出直线过定点坐标，从而判断A，令求出，即可判断B，求出直线的斜率即可得到倾斜角，从而判断C，根据两直线平行斜率相等求出直线方程即可判断D；
【详解】解：对于A，，即，
令，即，所以直线必过定点，故A正确；对于B，对于直线，令得，所以直线在轴上的截距为，故B错误；对于C，直线，即，所以斜率，其倾斜角为，故C正确；对于D，过点且平行于直线的直线方程为：，即，故D错误，
故选：AC．
10．已知直线l的方程是，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则直线l不过原点
B．若，则直线l必过第四象限
C．若直线l不过第四象限，则一定有
D．若且，则直线l不过第四象限
【答案】ABD
【分析】根据直线一般式的特点依次判断即可.
【详解】对A，若，则都不等于0，当时，，所以直线l不过原点，故A正确；对B，若，则直线斜率，则直线一定过第二四象限，故B正确；对C，若直线l不过第四象限，若有直线过第一二象限时，此时，则，故C错误；对D，若且，则，所以直线的斜率大于0，在轴上截距小于0，所以直线经过第一二三象限，不经过第四象限，故D正确.故选：ABD.
11．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角的取值范围是
B．若直线与直线互相垂直，则
C．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为或者
D．过两点的所有直线的方程为
【答案】AC
【分析】根据题意求出斜率的范围，然后求出倾斜角的范围，进而判断A；根据直线垂直，由求出a的范围，进而判断B；分别讨论直线过原点和不过原点两种情况求出直线方程，进而判断C；考虑两点横坐标相同或者纵坐标相同的情况，进而判断D.
【详解】对A，直线斜率，则，A正确；对B，因为两条直线垂直，所以或0，B错误；对C，若直线过原点，设直线方程为，将点（1,1）代入得k=1，则，若直线不过原点，设直线方程为，将点（1,1）代入得a=2，则，C正确；对D，若或，则方程不成立，错误.故选：AC.
12．下列说法正确的是（ ）
A．截距相等的直线都可以用方程表示
B．方程不能表示平行x轴的直线
C．经过点，倾斜角为的直线方程为
D．经过两点，的直线方程为
【答案】BD
【分析】由截距式可判断A；由一般式可判断B；由点斜式可判断C，D．
【详解】对于A，截距相等为0的直线都不可以用方程表示，故错误；对于B，当时，方程表示平行y轴的直线，与x轴不平行；当，直线的斜率为，与x轴不平行.故正确；对于C，经过点，倾斜角为的直线方程不能写成，故错误； 对于D，当时，直线的斜率存在，直线方程为，
即．
当时，直线的斜率不存在，直线方程为，
此时满足方程．
所以D正确；故选：BD．
三、填空题
13．过点且与直线平行的直线方程是______.
【答案】
【分析】根据平行直线系设方程，代点坐标计算可得.
【详解】因为所求直线与直线平行，所以设所求直线方程为
由题可得，即，
所以所求直线方程为.
故答案为：
14．经过直线的定点，且斜率为的直线方程为__________．
【答案】
【分析】先求出直线恒过的定点，由点斜式方程即可求出答案.
【详解】直线化简为，则，则恒过的定点为：，经过，且斜率为的直线方程为：，化简为：.
故答案为：.
15．设直线的方程为，若直线 在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为 ______ ．
【答案】或
【分析】整理直线的方程为，列出方程组，求出直线过点，分截距为0和截距不为0两种情况，得到直线的方程
【详解】直线的方程为，即，
令，求得，，可得该直线经过定点．
由于直线在两坐标轴上的截距相等，若直线过原点，方程为，即．
若直线不过原点，设它的方程为，再把点代入，求得，
故直线的方程为．
综上可得，直线的方程为或．
故答案为：或
16．设、为不同的两点，直线，，以下命题中正确的序号为__________．
（1）存在实数，使得点N在直线l上；
（2）若，则过M、N的直线与直线l平行；
（3）若，则直线l经过的中点；
（4）若，则点M、N在直线l的同侧且直线l与线段的延长线相交；
【答案】②③④
【分析】①点在直线上，则点的坐标满足直线方程，从而得到，进而可判断①不正确．
②若，则，进而得到，根据两直线斜率的关系即可判断②．
③若，即可得到，即可判断③．
④若，则，或，根据点与直线的位置关系即可判定④．
【详解】解：若点在直线上则，
不存在实数，使点在直线上，故①不正确；若，则，
即， ，
即过、两点的直线与直线平行，故②正确；若，则
即，，
直线经过线段的中点，即③正确；若，则，或，
即点、在直线的同侧，且直线与线段不平行．故④正确．
故答案为：②③④．
四、解答题
17．已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），
(1)求AB边所在的直线方程；
(2)求AB边的高所在直线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由两点式可得直线AB的方程,化为一般式即可；
（2）可得直线AB的斜率,由垂直关系可得AB边高线的斜率,可得高线的点斜式方程,化为一般式即可.
【详解】(1)因为A（-1，5）、B（-2，-1），
所以由两点式方程可得，化为一般式可得：；(2)直线AB的斜率为.
所以由垂直关系可得AB边高线的斜率为，
故AB边的高所在直线方程为,化为一般式可得：.
18．请分别确定满足下列条件的直线方程
(1)过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2＝0垂直的直线方程是
(2)求与直线3x-4y+7=0平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l的方程.
【答案】(1)2x+y﹣2＝0；(2)3x-4y-12=0
【分析】（1）设与直线x﹣2y﹣2＝0垂直的直线方程为2x+y+m＝0，把（1，0）代入2x+y+m＝0，解得m即得解．
（2）方法一：由题意知：可设l的方程为，求出l在x轴，y轴上的截距，由截距之和为1，解出m，代回求出直线方程；方法二：设直线方程为，由题意得，解出a，b即可.
【详解】(1)设与直线x﹣2y﹣2＝0垂直的直线方程为2x+y+m＝0，
把（1，0）代入2x+y+m＝0，可得2+m＝0，解得m＝﹣2．
所求直线方程为：2x+y﹣2＝0．
(2)方法一：由题意知：可设l的方程为，
则l在x轴，y轴上的截距分别为.
由知，.
所以直线l的方程为：.
方法二：显然直线在两坐标轴上截距不为0，则设直线方程为，
由题意得
解得
所以直线l的方程为：.
即.
19．已知直线.
(1)若直线不能过第三象限，求的取值范围；
(2)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．
【答案】(1)
(2)的最小值为，此时直线的方程为
【分析】（1）分、两种情况讨论，在时直接验证即可；在时，求出直线与两坐标轴的交点坐标，根据题意可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围；
（2）求出点、的坐标，求得，利用基本不等式结合三角形的面积公式可求得的最最小值，利用等号成立的条件可求得的值，即可得出直线的方程.
【详解】(1)解：由，
当时，直线的方程为，此时直线不过第三象限，合乎题意；当时，在直线的方程中，令，可得，
令，可得，
若直线不过第三象限，则，解得.
综上所述，.
(2)解：由（1）可知，，
又在轴负半轴，在轴正半轴，所以，，可得.
，当且仅当时等号成立，
所以，的最小值为，此时直线的方程.
20．已知直线方程为．
(1)若直线的倾斜角为，求的值；
(2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程．
【答案】(1)；(2)面积的最小值为，此时直线的方程为.
【分析】（1）由直线的斜率和倾斜角的关系可求得的值；
（2）求出点、的坐标，根据已知条件求出的取值范围，求出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求得面积的最小值，利用等号成立的条件可求得的值，即可得出直线的方程.
【详解】(1)解：由题意可得.
(2)解：在直线的方程中，令可得，即点，
令可得，即点，
由已知可得，解得，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即.
类别
点斜式
斜截式
适用范围
斜率存在
已知条件
点P(x0，y0)和
斜率k和在y轴上的
图示
方程


截距
直线l与y轴交点(0，b)的 叫做直线l在y轴上的截距
名称
两点式
截距式
条件
两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
(x1≠x2，y1≠y2)
在x，y轴上的截距分别为a，b
( a≠0，b≠0)
示意图
方程


适用范围


形式
方程
局限
点斜式

不能表示斜率不存在的直线
斜截式

不能表示斜率不存在的直线
两点式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)

截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不能表示
一般式

无