数学选择性必修 第一册空间向量及其运算习题

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1.理解空间向量的有关概念.
2.类比平面向量，会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.
3.理解向量运算的交换律、结合律和分配律．
4.理解向量共线、向量共面的定义.
5.掌握共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线、四点共面．
6.会识别空间向量的夹角，掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.
7.能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题．
知识解读
知识点一 空间向量的概念
1．定义：在空间，具有 和 的量叫做空间向量．
2．长度或模：向量的 ．
3．表示方法：
①几何表示法：空间向量用 表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq \(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq \(AB,\s\up6(→))|.
4．几类特殊的空间向量
【答案】大小 方向 大小 有向线段 长度为0 模为1 相等 相反 相同 相等
知识点二 空间向量的线性运算
知识点三 共线向量
1．空间两个向量共线的充要条件
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是 .
2．直线的方向向量
在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的 ．
【答案】存在实数λ，使a＝λb 方向向量
知识点四 共面向量
1．共面向量
如图，如果表示向量a的有向线段eq \(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l 或 ，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA 于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做 ．
2．向量共面的充要条件
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，
使 .
【答案】平行 重合 平行 共面向量 p＝xa＋yb.
知识点五 空间向量的夹角
1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则 叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
2．范围：0≤〈a，b〉≤π.
特别地，当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时， .
【答案】∠AOB a⊥b
知识点六 空间向量的数量积
【答案】数量积 0
知识点七 向量a的投影
1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cs〈a，b〉eq \f(b,|b|)，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．
2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到eq \(A′B′,\s\up6(———→))，向量eq \(A′B′,\s\up6(———→))称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，eq \(A′B′,\s\up6(———→))的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
跟踪训练
一、单选题
1．直线的方向向量，直线的方向向量，则不重合直线与的位置关系是（ ）
A．相交B．平行C．垂直D．不能确定
2．正六棱柱中，设，，，那么等于（ ）
A．B．C．D．
3．化简所得的结果是（ ）
A．B．C．D．
4．四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，连接AC，BD，SB，SC，SD，下列各组运算中，不一定为零的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（ ）
A．B．
C．D．
6．四面体中，，则（ ）
A．B．C．D．
7．在正方体中，点P满足，且，若二面角的大小为，O为的中心，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知正方体的棱，的中点分别为M，N，经过M，N，A三点的平面与该正方体的棱交于点H，则异面直线AH与CD所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知斜三棱柱中，底面是直角三角形，且，，，，，则（ ）
A．
B．
C．
D．异面直线与所成角的余弦值为
10．给出下列四个命题，其中是真命题的有（ ）
A．若存在实数，，使，则与，共面；
B．若与，共面，则存在实数，，使；
C．若存在实数，，使则点，，A，共面；
D．若点，，A，共面，则存在实数，，使．
11．已知直三棱柱的所有棱长均为1，点P满足（其中，），则下列说法不正确的是（ ）
A．当时，的面积是定值B．当时，的周长是定值
C．当时，的面积是定值D．当时，三棱锥的体积为定值
12．已知空间向量、、都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（ ）
A．向量的模是3B．、、两两垂直
C．向量和夹角的余弦值为D．向量与共线
三、填空题
13．如图，，，，则______．
14．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点，分别是，的中点，则的值为_________.
15．已知MN是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别为1、1、，则的取值范围为________.
16．在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，_______．
四、解答题
17．如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？
18．已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量，，，.
(1)求证：四点共面；
(2)平面平面.
19．平行六面体，
(1)若，，，，，，求长；
(2)若以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则AC与所成角的余弦值．
20．如图，三棱柱中，，，点，分别在和上，且满足，.
(1)证明：平面；
(2)若为中点，求的长.
名称
定义及表示
零向量
的向量叫做零向量，记为0
单位向量
的向量称为单位向量
相反向量
与向量a长度 而方向 的向量，称为a的相反向量，记为 －a
共线向量(平行向量)
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a
相等向量
方向 且模 的向量称为相等向量
空间向量的线性运算
加法
a＋b＝eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→)) ＝eq \(OB,\s\up6(→))
减法
a－b＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))
数乘
当λ>0时，λa＝λeq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(PQ,\s\up6(→))；
当λ