高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量及其运算的坐标表示达标测试

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【自主学习】
一．空间向量的坐标运算
空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
思考：已知点A(x，y，z)，则点A到原点的距离是多少？
【小试牛刀】
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)且b≠0，则a∥b⇒eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)＝eq \f(z1,z2).( )错
(2)若a＝(1，－2，1)，a＋b＝(－1，2，－1)，则b＝(－2，4，－2).( )
(3)若a＝(1，2，0)，b＝(－2，0，1)，则|a|＝|b|.( )
(4)若a＝(0，0，1)，b＝(1，0，0)，则a⊥b.( )
2.已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b等于( )
A．(16，0，4) B．(8，－16，4)
C．(8，16，4) D．(8，0，4)
【经典例题】
题型一 空间向量的坐标运算
点拨：空间向量的坐标运算注意以下几点
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标．
(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算公式是应用的关键．
(3)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．
例1 （1）设a＝(1，－1，3)，b＝(－2，1，2)，则a＋2b＝________.
设a＝(1，－1，1)，b＝(－2，0，1)，则cs〈a，b〉＝________.
（3）已知点A(－1，2，0)，B(－1，0，2)，则|eq \(AB,\s\up6(→))|＝________.
【跟踪训练】1若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则
x＝________.
题型二 空间向量的平行与垂直
点拨：利用空间向量坐标形式证明两直线平行或垂直的步骤
①建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标;
②求出有关直线的方向向量;
③证明两直线平行即证明方向向量共线（特别注意：证明两直线平行要说明两条直线不重合）;证明两直线垂直即计算两直线方向向量的数量积为0；
④还原到几何问题，得出结论。
例2 设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.
【跟踪训练】2 已知a＝(λ＋1,1,2λ)，b＝(6,2m－1,2)．
(1)若a∥b，分别求λ与m的值；
(2)若|a|＝eq \r(5)，且a与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a．

题型三 空间向量夹角及长度的计算
点拨：利用空间向量的坐标运算求夹角与距离的一般步骤
(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系；
(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标；
(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算；
(4)转化：转化为夹角与距离问题．
例3在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．
(1)求BN的长；
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值．
【跟踪训练】3 已知正三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是棱AC，A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求三棱柱的侧棱长；
(2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值.

【当堂达标】
1.已知向量a＝(0，2，1)，b＝(－1，1，－2)，则a与b的夹角为( )
A.0° B.45° C.90° D.180°
2.设O为坐标原点，M(5，－1，2)，A(4，2，－1)，若eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，则点B应为( )
A.(－1，3，－3) B.(9，1，1) C.(1，－3，3)D.(－9，－1，－1)
3．若△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
4.(多选)已知a＝(2，－3,1)，则下列向量中与a平行的是( )
A．(1,1,1) B．(－4,6，－2) C．(2，－3,5) D．(－2，3, －1)
5.向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A．1 B.eq \f(1,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(7,5)
6.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝eq \f(1,4)CD．
(1)求证：EF⊥B1C；(2)求cs〈eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(C1G,\s\up6(→))〉．

【参考答案】
【自主学习】
一．(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) (λa1，λa2，λa3)
二．a1b1＋a2b2＋a3b3 eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3)) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
思考：OA＝|eq \(OA,\s\up6(→))|＝eq \r(x2＋y2＋z2)．
【小试牛刀】
1.(1) × (2)√ (3)√ (4) √
2.D 解析： 4a＝(12，－8，4)，2b＝(－4，8，0)，所以4a＋2b＝(8，0，4).
【经典例题】
例1（1）(－3，1，7) 解析a＋2b＝(1,－1,3)＋2(－2，1，2)＝(1，－1，3)＋(－4，2，4)
＝(－3，1，7).
（2）－eq \f(\r(15),15) 解析： cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－2＋1,\r(3)·\r(5))＝－eq \f(\r(15),15).
（3）2eq \r(2) 析： |eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(（－1＋1）2＋（2－0）2＋（0－2）2)＝2eq \r(2).
【跟踪训练】1 2 解析：据题意，有c－a＝(0,0,1－x),2b＝(2,4,2)，故(c－a)·2b＝2(1－x)＝－2,解得x＝2.
例2解 (1)ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．因为(ka＋b)∥(a－3b)，所以eq \f(k－2,7)＝eq \f(5k＋3,－4)＝eq \f(－k＋5,－16)，解得k＝－eq \f(1,3).
因为(ka＋b)⊥(a－3b)，所以(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，解得k＝eq \f(106,3).
【跟踪训练】2 解：(1)由a∥b，得(λ＋1,1,2λ)＝k(6,2m－1,2)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＋1＝6k，,1＝k2m－1，,2λ＝2k，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝k＝\f(1,5)，,m＝3.))∴λ＝eq \f(1,5)，m＝3．
(2)∵|a|＝eq \r(5)，且a⊥c，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＋12＋12＋2λ2＝5，,λ＋1，1，2λ·2，－2λ，－λ＝0，))化简，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5λ2＋2λ＝3，,2－2λ2＝0，))解得λ＝－1．
因此，a＝(0,1，－2)．
例3 解：如图，以 eq \(CA,\s\up6(→)) ， eq \(CB,\s\up6(→)) ，CC1为单位正交基底建立空间直角坐标系C­xyz.
(1)依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，
∴| eq \(BN,\s\up6(→)) |＝ eq \r(（1－0）2＋（0－1）2＋（1－0）2) ＝ eq \r(3) ，
∴线段BN的长为 eq \r(3) .
(2)依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，
∴BA1＝(1，－1，2), CB1＝(0，1，2)，
∴BA1·CB1＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.
又|BA1|＝ eq \r(6) ，|CB1|＝ eq \r(5) ，
∴cs 〈BA1，CB1〉＝ eq \f(BA1·CB1,|BA1||CB1|) ＝ eq \f(\r(30),10) .
故A1B与B1C所成角的余弦值为 eq \f(\r(30),10) .
【跟踪训练】3 解(1)设侧棱长为b,则A(0，－1，0)，B1(eq \r(3)，0，b)，B(eq \r(3)，0，0)，C1(0，1，b)，
所以eq \(AB1,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，1，b)，eq \(BC1,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)，1，b).因为AB1⊥BC1，所以eq \(AB1,\s\up6(→))·eq \(BC1,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，1，b)·(－eq \r(3)，1，b)＝－(eq \r(3))2＋12＋b2＝0，解得b＝eq \r(2).故侧棱长为eq \r(2).
(2)由(1)知eq \(AB1,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，1，eq \r(2))，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)，1，0)，因为|eq \(AB1,\s\up6(→))|＝eq \r(（\r(3)）2＋12＋（\r(2)）2)＝eq \r(6)，
|eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(（－\r(3)）2＋12＋02)＝2，eq \(AB1,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，1，eq \r(2))·(－eq \r(3)，1，0)＝－(eq \r(3))2＋1×1＝－2，
所以cs〈eq \(AB1,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝eq \f(|\(AB1,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→))|,|\(AB1,\s\up6(→))||\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(|－2|,\r(6)×2)＝eq \f(\r(6),6).所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为eq \f(\r(6),6).
【当堂达标】
C 解析：∵cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(2－2,\r(5)×\r(6))＝0，0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝90°.
2. B 解析：设B(x，y，z)，由eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))得(5，－1，2)＝(x－4，y－2，z＋1)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－4＝5，,y－2＝－1，,z＋1＝2，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝9，,y＝1，,z＝1.))
3.A解析：eq \(AB,\s\up6(→))＝(3,4,2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(5,1,3)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(2，－3,1)．由eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＞0，得A为锐角；由eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＞0，得C为锐角；由eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＞0，得B为锐角．所以△ABC为锐角三角形．
4. BD 解析：若b＝(－4,6，－2)，则b＝－2(2，－3,1)＝－2a，所以a∥b，同理D也平行.
5.D 解析：依题意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，
而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝eq \f(7,5).
6.解：(1)如图，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点，
则有Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(1,2)))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)，0))．
eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，－\f(1,2)))，
eq \(B1C,\s\up6(→))＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)．
所以eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(B1C,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)×(－1)＋eq \f(1,2)×0＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×(－1)＝0，所以eq \(EF,\s\up6(→))⊥eq \(B1C,\s\up6(→))，即EF⊥B1C．
(2)因为eq \(C1G,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)，0))－(0,1,1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,4)，－1))．
所以|eq \(C1G,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(17),4)．
又eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(C1G,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)×0＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×(－1)＝eq \f(3,8)，|eq \(EF,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(3),2)，
所以cs〈eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(C1G,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(EF,\s\up6(→))·\(C1G,\s\up6(→)),|\(EF,\s\up6(→))||\(C1G,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(51),17)．
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1.已知a＝(2，－3,1)，则下列向量中与a平行的是( )
A．(1,1,1) B．(－2，－3,5)
C．(2，－3,5) D．(－4,6，－2)
2.已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
3. (多选)若向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，则下列结论正确的是( )
A．cs〈a，b〉＝－eq \f(2,5) B．a⊥b
C．a∥b D．|a|＝|b|
4.已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5.若点A(0，1，2)，B(1，0，1)，则 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝________， eq \(|AB|,\s\up6(→)) ＝________．
6.与a＝(2，－1，2)共线且满足a·z＝－18的向量z＝________.
7.已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，O(0,0,0)，eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \(OB,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，求λ的值．
8.已知在空间直角坐标系中，A(1，－2,4)，B(－2，3,0)，C(2，－2，－5)．
(1)求eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(CB,\s\up6(→))－2eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))；
(2)若点M满足eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))，求点M的坐标；
(3)若p＝eq \(CA,\s\up6(→))，q＝eq \(CB,\s\up6(→))，求(p＋q)·(p－q)．

能 力 练
综合应用 核心素养
9.已知A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
10.已知空间向量，，，若，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
11.若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，满足条件(c－a)·2b＝
－2，则x的值为( )
A．2 B．－2 C．0 D．1
12.已知O为坐标原点，向量，点Q在直线上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ）
A．B．C．D．
13.已知边长为1的正方体，M为BC中点，N为平面上的动点，若，则三棱锥的体积最小值为（ ）
A．B．C．D．
14.已知△ABC的三个顶点为A(3，3，2)，B(4，－3，7)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为________．
15.如图,以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在线段AB上,点Q在线段DC上.
(1)当PB=2AP,且点P关于y轴的对称点为M时,求|PM|;
(2)当点P是面对角线AB的中点,点Q在面对角线DC上运动时,探究|PQ|的最小值.
【参考答案】
1. D 解析 若b＝(－4,6，－2)，则b＝－2(2，－3,1)＝－2a，所以a∥b.
2.C解析 ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，3，3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，∴|eq \(AB,\s\up6(→))|＝3eq \r(2)，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，∴cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，∵〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉∈[0°，180°]，∴〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝60°.
3.AD 解析∵向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，∴|a|＝eq \r(5)，|b|＝eq \r(5)，a·b＝1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2，
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(－2,5)＝－eq \f(2,5).由上知A正确，B不正确，D正确．C显然也不正确．
4.B 解析：因为向量，的夹角为钝角，所以，且不共线，
则，得，当时，，∴的取值范围为.故选：B.
5. (1，－1，－1) eq \r(3) 解析： eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(1，－1，－1)，| eq \(AB,\s\up6(→)) |＝ eq \r(12＋（－1）2＋（－1）2) ＝ eq \r(3) .
6.(－4，2，－4) 解析 ∵z与a共线，设z＝(2λ，－λ，2λ)．又a·z＝4λ＋λ＋4λ＝－18，∴λ＝－2，∴z＝(－4，2，－4)．
7.解 ∵eq \(OA,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(0，－1,1)，∴eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \(OB,\s\up6(→))＝(1，－λ，λ)，
∴(eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \(OB,\s\up6(→)))·eq \(OB,\s\up6(→))＝λ＋λ＝2λ，|eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \(OB,\s\up6(→))|＝eq \r(1＋λ2＋λ2)＝eq \r(1＋2λ2)，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝eq \r(2).
∴cs 120°＝eq \f(2λ,\r(2)·\r(1＋2λ2))＝－eq \f(1,2)，∴λ2＝eq \f(1,6).又eq \f(2λ,\r(2)·\r(1＋2λ2))