高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量基本定理达标测试

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1.掌握空间向量基本定理.
2.会用空间向量基本定理对向量进行分解.
3.会用基底法表示空间向量.
4.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的思想．
知识解读
知识点一 空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c ，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
我们把{a，b，c}叫做空间的一个 ，a，b，c都叫做基向量．
【答案】不共面 基底
知识点二 空间向量的正交分解
1．单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量 ，且长度都是 ，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示．
2．向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个 的向量，叫做把空间向量进行 ．
【答案】两两垂直 1 两两垂直 正交分解
知识点三 证明平行、共线、共面问题
(1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
知识点四 求夹角、证明垂直问题
(1)θ为a，b的夹角，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|).
(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.
知识点五 求距离(长度)问题
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝eq \r(a·a)( eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))＝eq \r(\(AB,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→))) )．
跟踪训练
一、单选题
1．已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则一定有（ ）
A．，，共线B．O，A，B，C中至少有三点共线
C．与共线D．O，A，B，C四点共面
2．如图，在三棱柱中，E，F分别是BC，的中点，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．已知三棱锥O—ABC，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在四面体OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC的中点，则（ ）．
A．B．
C．D．
5．如图，设，若，则（ ）
A．B．
C．D．
6．已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（ ）
A．B．=
C．=D．=
8．在以下命题中，真命题的是（ ）．
A．是、共线的充要条件
B．若，则存在唯一的实数，使
C．对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若，则P、A、B、C四点共面
D．若、、是不共面的向量，则、、的线性组合可以表示空间中的所有向量
二、多选题
9．如图，在长方体中，、、分别是棱、、上的点，且满足，，，则（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．的长为D．
11．给出下列命题，其中正确的是（ ）
A．若，则必有直线平行直线
B．对空间中任意一点和不共线的三点，，，若（其中，，，则，，，四点共面
C．若，则直线与直线的夹角为
D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
12．已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点在线段上，且，现用基组表示向量，有，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
13．已知是所在平面外一点，，且，则实数的值为____________.
14．设是空间的一个单位正交基底，且向量 ， 是空间的另一个基底，则用该基底表示向量____________.
15．已知四面体中，，分别在，上，且，，若，则________.
16．如图所示，三棱柱中，，分别是和上的点，且，设，则的值为___________.
四、解答题
17．如图所示，已知是平行六面体．
(1)化简；
(2)设是底面的中心，是侧面对角线上的分点，设，试求，，的值．
18．如图，在空间四边形中，已知是线段的中点，在上，且．
(1)试用，，表示向量；
(2)若，，，，，求的值．
19．如图，在平行六面体中，，．
(1)求证：、、三点共线；
(2)若点是平行四边形的中心，求证：、、三点共线．
20．如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N是棱BC的中点，P是线段MN的中点．设，，．
(1)用，，表示向量；
(2)若，且满足 （从下列三个条件中任选一个，填上序号：
①；②；
③，则可求出的值；并求出的大小．